Критический показатель

Критические показатели описывают поведение физических величин вблизи непрерывных фазовых переходов . Считается, хотя и не доказано, что они универсальны, т. Е. Зависят не от деталей физической системы, а только от некоторых ее общих характеристик. Например, для ферромагнитных систем критические показатели зависят только от:

размер системы
диапазон взаимодействия
спин измерение

Эти свойства критических показателей подтверждаются экспериментальными данными. Аналитические результаты могут быть теоретически достигнуты в теории среднего поля в больших измерениях или когда известны точные решения, такие как двумерная модель Изинга . Теоретическая трактовка общих размерностей требует подхода ренормгруппы или конформного бутстрапа.техники. Фазовые переходы и критические показатели появляются во многих физических системах, таких как вода при переходе жидкость-пар, в магнитных системах, в сверхпроводимости, в перколяции и в турбулентных жидкостях. Критический размер, выше которого допустимы средние показатели поля, зависит от системы и может даже быть бесконечным. Он равен 4 для перехода жидкость-пар, 6 для перколяции и, вероятно, бесконечен для турбулентности. ^[1] Критические показатели среднего поля также действительны для случайных графов, таких как графы Эрдеша – Реньи, которые можно рассматривать как бесконечномерные системы. ^[2]

Определение [ править ]

Управляющим параметром, который управляет фазовыми переходами , часто является температура, но также могут быть другие макроскопические переменные, такие как давление или внешнее магнитное поле. Для простоты следующее обсуждение работает с точки зрения температуры; перевод в другой управляющий параметр прост. Температура, при которой происходит переход, называется критической температурой $T c$ . Мы хотим описать поведение физической величины $f$ в терминах степенного закона вокруг критической температуры; вводим пониженную температуру

{\ Displaystyle \ тау: = {\ гидроразрыва {Т-Т _ {\ mathrm {c}}} {Т _ {\ mathrm {c}}}}}

равный нулю при фазовом переходе , и определим критический показатель : ${\ displaystyle k}$

k\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log |f(\tau )|}{\log |\tau |}}

Это приводит к искомому степенному закону:

f(\tau )\propto \tau ^{k}\,,\quad \tau \to 0

Важно помнить, что это представляет собой асимптотическое поведение функции $f (τ)$ при $τ \to 0$ .

В более общем плане можно было ожидать

f(\tau )=A\tau ^{k}\left(1+b\tau ^{k_{1}}+\cdots \right)

Наиболее важные критические показатели [ править ]

Предположим , что система имеет две различные фазы , характеризующиеся порядка параметра $Ф$ , которое обращается в нуль на уровне и выше $Т с$ .

Рассмотрим отдельно неупорядоченную фазу ( $τ > 0$ ), упорядоченную фазу ( $τ <0$ ) и фазы с критической температурой ( $τ = 0$ ). Согласно стандартному соглашению, критические показатели, относящиеся к упорядоченной фазе, штрихуются. Это также еще одно стандартное соглашение об использовании надстрочного / подстрочного индекса + (-) для неупорядоченного (упорядоченного) состояния. Обычно в упорядоченной фазе происходит спонтанное нарушение симметрии .

Определения
$Ψ$	параметр порядка (например, $ρ - ρ c / ρ c$ для критической точки жидкость – газ, намагниченности для точки Кюри и т. д.)
$τ$	$Т - Т с / Т с$
$ж$	удельная свободная энергия
$C$	удельная теплоемкость ; $- Т \partial 2 f / \partial Т 2$
$J$	исходное поле (например, $P - P c / P c$ где $Р$ является давление и $Р с$ к критическому давлению на жидкость-газ критической точки, уменьшается химический потенциал , то магнитное поле $Н$ для точки Кюри )
$χ$	восприимчивость , сжимаемость и т.д .; $\partial ψ / \partial J$
$ξ$	длина корреляции
$d$	количество пространственных измерений
$⟨ Г \| (х \to) г \| (г \to)⟩$	корреляционная функция
$р$	пространственное расстояние

Следующие записи оцениваются при $J = 0$ (за исключением записи $δ$ )

Критические показатели при $τ > 0$ (неупорядоченная фаза)
Греческая буква	связь
$α$	$С \propto τ - α$
$γ$	$χ \propto τ - γ$
$ν$	$ξ \propto τ - ν$

Критические показатели при $τ <0$ (упорядоченная фаза)
Греческая буква	связь
$α'$	$C \propto (- τ) - α'$
$β$	$Ψ \propto (- τ) β$
$γ'$	$χ \propto (- τ) - γ'$
$ν'$	$ξ \propto (- τ) - ν'$

Критические показатели при $τ = 0$
Греческая буква	связь
$δ$	$J \propto Ψ δ$
$η$	$⟨ Г \| (0) г \| (г)⟩ & alpha ; г - г + 2 - η$

Критические показатели могут быть получены из удельной свободной энергии $f (J, T)$ как функции источника и температуры. Длина корреляции может быть получена из функционала $F [J; Т]$ .

Эти соотношения точны вблизи критической точки в двух- и трехмерных системах. Однако в четырех измерениях степенные законы изменяются логарифмическими коэффициентами. Они не появляются в размерах, произвольно близких к четырем, но не точно, что можно использовать как способ решения этой проблемы . ^[3]

Критические показатели среднего поля систем типа Изинга [ править ]

Классическая теория Ландау (также известная как теория среднего поля ) значения критических показателей для скалярного поля ( прототипом которого является модель Изинга ) даются как

\alpha =\alpha ^{\prime }=0\,,\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1\,,\quad \delta =3

Если мы добавим производные члены, превратив ее в теорию среднего поля Гинзбурга – Ландау , мы получим

\eta =0\,,\quad \nu ={\tfrac {1}{2}}

Одно из главных открытий в изучении критических явлений состоит в том, что теория среднего поля критических точек верна только тогда, когда пространственная размерность системы превышает определенное измерение, называемое верхним критическим измерением.что в большинстве случаев исключает физические размеры 1, 2 или 3. Проблема с теорией среднего поля состоит в том, что критические показатели не зависят от размерности пространства. Это приводит к количественному расхождению ниже критических размеров, где истинные критические показатели отличаются от значений среднего поля. Это может даже привести к качественному несоответствию при низкой размерности пространства, когда критическая точка фактически больше не может существовать, хотя теория среднего поля все еще предсказывает, что она есть. Так обстоит дело с моделью Изинга в размерности 1, где фазовый переход отсутствует. Пространственная размерность, в которой теория среднего поля становится качественно неверной, называется нижней критической размерностью.

Экспериментальные значения [ править ]

Наиболее точно измеренное значение $α$ составляет -0,0127 (3) для фазового перехода сверхтекучего гелия (так называемый лямбда-переход ). Значение было измерено на космическом шаттле, чтобы минимизировать перепады давления в образце. ^[4] Это значение существенно не согласуется с наиболее точными теоретическими определениями ^[5]^[6]^[7], полученными на основе методов высокотемпературного расширения, методов Монте-Карло и конформного бутстрапа . ^[8]

Нерешенная проблема в физике :

Объяснить расхождение между экспериментальными и теоретическими определениями теплоемкостей критического показателем $альфа$ для сверхтекучего перехода в гелии-4 . ^[8]

(больше нерешенных задач по физике)

Теоретические предсказания [ править ]

Критические показатели можно оценить с помощью моделирования решеточных моделей методом Монте-Карло . Точность этого первопринципного метода зависит от доступных вычислительных ресурсов, которые определяют возможность перехода к пределу бесконечного объема и уменьшения статистических ошибок. Другие методы основаны на теоретическом понимании критических колебаний. Наиболее широко применяемый метод - это ренормализационная группа . Конформные самозагрузками являются более недавно разработанной методикой, которая достигается непревзойденная точностью для изинговских критических показателей .

Функции масштабирования [ править ]

В свете критических масштабов мы можем повторно выразить все термодинамические величины в терминах безразмерных величин. Достаточно близко к критической точке все может быть повторно выражено в терминах определенных соотношений степеней приведенных величин. Это функции масштабирования.

Происхождение масштабных функций можно увидеть из ренормализационной группы. Критическая точка - инфракрасная фиксированная точка . В достаточно малой окрестности критической точки мы можем линеаризовать действие ренормгруппы. В основном это означает , что масштабирование системы с коэффициентом будет эквивалентно перемасштабированием операторов и исходные полей на коэффициент $в$ $А$ для некоторого $А$ . Таким образом, мы можем повторно параметризовать все величины с точки зрения масштабируемых независимых от масштаба величин.

Масштабирование отношений [ править ]

Долгое время считалось, что критические показатели одинаковы выше и ниже критической температуры, например, $α \equiv α'$ или $γ \equiv γ'$ . Теперь было показано, что это не обязательно так: когда непрерывная симметрия явно нарушается до дискретной симметрии несущественной (в смысле ренормгруппы) анизотропией, тогда показатели $γ$ и $γ'$ не идентичны. ^[9]

Критические показатели обозначаются греческими буквами. Они попадают в классы универсальности и подчиняются соотношениям масштабирования

{\begin{aligned}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{aligned}}

Из этих уравнений следует, что существует только два независимых показателя, например $ν$ и $η$ . Все это следует из теории ренормгруппы .

Анизотропия [ править ]

Есть некоторые анизотропные системы, в которых длина корреляции зависит от направления. О перколяции см. Dayan et al. ^[10]

Направленную перколяцию можно также рассматривать как анизотропную перколяцию. В этом случае критические показатели разные, а верхняя критическая размерность равна 5. ^[11]

Многокритические точки [ править ]

Более сложное поведение может иметь место в мультикритических точках , на границе или на пересечении критических многообразий. Их можно достичь, настроив значение двух или более параметров, таких как температура и давление.

Статические и динамические свойства [ править ]

Приведенные выше примеры относятся исключительно к статическим свойствам критической системы. Однако динамические свойства системы тоже могут стать критическими. В частности, характеристическое время $τ char$ системы расходится как $τ char \propto ξ z$ с динамическим показателем $z$ . Более того, большие классы статической универсальности эквивалентных моделей с идентичными статическими критическими показателями распадаются на более мелкие классы динамической универсальности , если требуется, чтобы также были идентичны динамические показатели.

Критические показатели могут быть вычислены из конформной теории поля .

См. Также аномальный масштабный размер .

Свойства транспорта [ править ]

Критические показатели существуют также для транспортных величин, таких как вязкость и теплопроводность . Недавнее исследование показывает, что критические показатели просачивания играют важную роль в городском движении. ^[12]

Самоорганизованная критичность [ править ]

Критические показатели также существуют для самоорганизованной критичности для диссипативных систем .

Теория перколяции [ править ]

Фазовые переходы и критические показатели появляются также в процессах перколяции, когда концентрация занятых узлов или звеньев играет роль температуры. Самый простой пример - это, пожалуй, перколяция в двумерной квадратной решетке. Сайты заняты случайным образом с вероятностью p. При малых значениях p занятые узлы образуют только небольшие кластеры. При определенном пороге pc образуется гигантский кластер, и мы имеем фазовый переход второго рода. ^[1]^[13] См. Критические показатели перколяции . Для перколяции критические показатели отличаются от показателей Изинга. Например, в среднем поле для перколяции ^[1] по сравнению с $\delta =2$ $\delta =3$ для Изинга. В сетевой теории было обнаружено, что сила взаимодействий между сообществами ведет себя аналогично внешнему полю в магнитах вблизи фазового перехода или как фантомное поле при перколяции. ^[14]

См. Также [ править ]

Класс универсальности для численных значений критических показателей
Сложные сети
Случайные графики
Неравенство Рашбрука
Масштабирование Widom
Конформный бутстрап
Критические показатели Изинга
Критические показатели перколяции
Сетевая наука
Теория перколяции
Теория графов

Внешние ссылки и литература [ править ]

Хаген Кляйнерт и Верена Шульте-Фролинде, Критические свойства φ 4 -теорий , World Scientific (Сингапур, 2001) ; Мягкая обложка ISBN 981-02-4658-7
Тода, М., Кубо, Р., Н. Сайто, Статистическая физика I , Springer-Verlag (Берлин, 1983); ISBN в твердом переплете 3-540-11460-2
JMYeomans, Статистическая механика фазовых переходов , Oxford Clarendon Press
Его Превосходительство Стэнли Введение в фазовые переходы и критические явления , Oxford University Press, 1971
А. Бунде и С. Хэвлин (редакторы), Fractals in Science , Springer, 1995.
А. Бунде и С. Хэвлин (редакторы), Фракталы и беспорядочные системы , Springer, 1996.
Классы универсальности от Sklogwiki
Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления , Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5
Зинн-Джастин, Дж. (2010). «Критические явления: теоретико-полевой подход». Статья в Scholarpedia Scholarpedia, 5 (5): 8346.
Д. Польша, С. Рычков, А. Вичи, "Конформный бутстрап: теория, численные методы и приложения" , Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002, http://arxiv.org/abs/1805.04405
Ф. Леонард и Б. Деламот. Критические показатели могут быть разными на двух сторонах перехода: Общий механизм https://arxiv.org/abs/1508.07852

Ссылки [ править ]

^ a b c Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (1996). «Перколяция I». Фракталы и неупорядоченные системы . Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. С. 59–114. DOI : 10.1007 / 978-3-642-84868-1_2 . ISBN 9783642848704.
^ Коэн, Реувен; Хавлин, Шломо (2010). "Вступление". Сложные сети: структура, надежность и функции . Издательство Кембриджского университета. С. 1–6. DOI : 10,1017 / cbo9780511780356.001 . ISBN 9780521841566.
^ 'т Хоофт, G .; Вельтман, М. (1972). «Регуляризация и перенормировка калибровочных полей» (PDF) . Nucl. Phys. B . 44 (1): 189–213. Bibcode : 1972NuPhB..44..189T . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (72) 90279-9 . ЛВП : 1874/4845 .
^ Липа, JA; Nissen, J .; Stricker, D .; Swanson, D .; Чуй, Т. (2003). «Удельная теплоемкость жидкого гелия в невесомости очень близко к лямбда-точке». Physical Review B . 68 (17): 174518. arXiv : cond-mat / 0310163 . Bibcode : 2003PhRvB..68q4518L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.68.174518 . S2CID 55646571 .
^ Кампострини, Массимо; Хазенбуш, Мартин; Пелиссетто, Андреа; Викари, Этторе (2006-10-06). «Теоретические оценки критических показателей сверхтекучего перехода в $ ^ {4} \ mathrm {He} $ решеточными методами». Physical Review B . 74 (14): 144506. arXiv : cond-mat / 0605083 . DOI : 10.1103 / PhysRevB.74.144506 . S2CID 118924734 .
^ Hasenbusch, Martin (2019-12-26). «Исследование Монте-Карло усовершенствованной модели часов в трех измерениях». Physical Review B . 100 (22): 224517. arXiv : 1910.05916 . Bibcode : 2019PhRvB.100v4517H . DOI : 10.1103 / PhysRevB.100.224517 . ISSN 2469-9950 . S2CID 204509042 .
^ Честер, Шай М .; Лэндри, Уолтер; Лю, Цзюнюй; Польша, Давид; Симмонс-Даффин, Дэвид; Су, Нин; Вичи, Алессандро (2020). «Вырезание пространства OPE и точных критических показателей модели $ O (2) $». Журнал физики высоких энергий . 2020 (6): 142. arXiv : 1912.03324 . Bibcode : 2020JHEP ... 06..142C . DOI : 10.1007 / JHEP06 (2020) 142 . S2CID 208910721 .
^ a b Слава Рычков (31.01.2020). «Конформный бутстрап и экспериментальная аномалия теплоемкости λ-точки» . Журнал "Клуб физики конденсированных сред" . DOI : 10.36471 / JCCM_January_2020_02 .
^ Леонард, Ф .; Деламот, Б. (2015). «Критические показатели могут быть разными по обе стороны перехода». Phys. Rev. Lett . 115 (20): 200601. arXiv : 1508.07852 . Bibcode : 2015PhRvL.115t0601L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.115.200601 . PMID 26613426 . S2CID 22181730 .
^ Даян, I .; Gouyet, JF; Хавлин, С. (1991). «Перколяция в многослойных структурах». J. Phys. . 24 (6): L287. Bibcode : 1991JPhA ... 24L.287D . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 24/6/007 .
^ Kinzel, W. (1982). Дойчер, Г. (ред.). «Направленная перколяция». Перколяция и процессы .
^ Цзэн, Гуаньвэнь; Ли, Дацин; Гао, Лян; Гао, Цзыю; Хавлин, Шломо (10.09.2017). «Переключение критических режимов перколяции в динамичном городском потоке». arXiv : 1709.03134 . Bibcode : 2017arXiv170903134Z . Cite journal requires |journal= (help)
^ Штауфер, Дитрих; Ахарони, Амнон (1994). «Введение в теорию перколяции». Publ. Математика . 6 : 290–297. ISBN 978-0-7484-0253-3.
^ Устойчивость сетей со структурой сообщества ведет себя так, как если бы под внешним полем G Dong, J Fan, LM Shekhtman, S Shai, R Du, L Tian, X Chen, HE Stanley и S. Havlin, Proceedings of the National Academy of Sciences, 115 (27), 6911-6915 (2018)

[:0-1] Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (1996). «Перколяция I». Фракталы и неупорядоченные системы . Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. С. 59–114. DOI : 10.1007 / 978-3-642-84868-1_2 . ISBN 9783642848704.

[2] Коэн, Реувен; Хавлин, Шломо (2010). "Вступление". Сложные сети: структура, надежность и функции . Издательство Кембриджского университета. С. 1–6. DOI : 10,1017 / cbo9780511780356.001 . ISBN 9780521841566.

[3] 'т Хоофт, G .; Вельтман, М. (1972). «Регуляризация и перенормировка калибровочных полей» (PDF) . Nucl. Phys. B . 44 (1): 189–213. Bibcode : 1972NuPhB..44..189T . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (72) 90279-9 . ЛВП : 1874/4845 .

[4] Липа, JA; Nissen, J .; Stricker, D .; Swanson, D .; Чуй, Т. (2003). «Удельная теплоемкость жидкого гелия в невесомости очень близко к лямбда-точке». Physical Review B . 68 (17): 174518. arXiv : cond-mat / 0310163 . Bibcode : 2003PhRvB..68q4518L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.68.174518 . S2CID 55646571 .

[5] Кампострини, Массимо; Хазенбуш, Мартин; Пелиссетто, Андреа; Викари, Этторе (2006-10-06). «Теоретические оценки критических показателей сверхтекучего перехода в $ ^ {4} \ mathrm {He} $ решеточными методами». Physical Review B . 74 (14): 144506. arXiv : cond-mat / 0605083 . DOI : 10.1103 / PhysRevB.74.144506 . S2CID 118924734 .

[6] Hasenbusch, Martin (2019-12-26). «Исследование Монте-Карло усовершенствованной модели часов в трех измерениях». Physical Review B . 100 (22): 224517. arXiv : 1910.05916 . Bibcode : 2019PhRvB.100v4517H . DOI : 10.1103 / PhysRevB.100.224517 . ISSN 2469-9950 . S2CID 204509042 .

[7] Честер, Шай М .; Лэндри, Уолтер; Лю, Цзюнюй; Польша, Давид; Симмонс-Даффин, Дэвид; Су, Нин; Вичи, Алессандро (2020). «Вырезание пространства OPE и точных критических показателей модели $ O (2) $». Журнал физики высоких энергий . 2020 (6): 142. arXiv : 1912.03324 . Bibcode : 2020JHEP ... 06..142C . DOI : 10.1007 / JHEP06 (2020) 142 . S2CID 208910721 .

[Rychkov-8] Слава Рычков (31.01.2020). «Конформный бутстрап и экспериментальная аномалия теплоемкости λ-точки» . Журнал "Клуб физики конденсированных сред" . DOI : 10.36471 / JCCM_January_2020_02 .

[9] Леонард, Ф .; Деламот, Б. (2015). «Критические показатели могут быть разными по обе стороны перехода». Phys. Rev. Lett . 115 (20): 200601. arXiv : 1508.07852 . Bibcode : 2015PhRvL.115t0601L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.115.200601 . PMID 26613426 . S2CID 22181730 .

[10] Даян, I .; Gouyet, JF; Хавлин, С. (1991). «Перколяция в многослойных структурах». J. Phys. . 24 (6): L287. Bibcode : 1991JPhA ... 24L.287D . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 24/6/007 .

[11] Kinzel, W. (1982). Дойчер, Г. (ред.). «Направленная перколяция». Перколяция и процессы .

[12] Цзэн, Гуаньвэнь; Ли, Дацин; Гао, Лян; Гао, Цзыю; Хавлин, Шломо (10.09.2017). «Переключение критических режимов перколяции в динамичном городском потоке». arXiv : 1709.03134 . Bibcode : 2017arXiv170903134Z . Cite journal requires |journal= (help)

[13] Штауфер, Дитрих; Ахарони, Амнон (1994). «Введение в теорию перколяции». Publ. Математика . 6 : 290–297. ISBN 978-0-7484-0253-3.

[14] Устойчивость сетей со структурой сообщества ведет себя так, как если бы под внешним полем G Dong, J Fan, LM Shekhtman, S Shai, R Du, L Tian, X Chen, HE Stanley и S. Havlin, Proceedings of the National Academy of Sciences, 115 (27), 6911-6915 (2018)

[1]

vтеСтатистическая механика
Теория	Принцип максимальной энтропии эргодическая теория
Статистическая термодинамика	Ансамбли функции раздела уравнения состояния термодинамический потенциал : U ЧАС F грамм Максвелл отношения
Модели	Модели ферромагнетизма Я пою Potts Гейзенберг просачивание Частицы с силовым полем сила истощения Потенциал Леннарда-Джонса
Математические подходы	Уравнение Больцмана H-теорема Уравнение Власова Иерархия BBGKY случайный процесс теория среднего поля и конформная теория поля
Критические явления	Фаза перехода Критические показатели длина корреляции масштабирование по размеру
Энтропия	Больцман Шеннон Цаллис Реньи фон Нейман
Приложения	Статистическая теория поля элементарная частица сверхтекучесть физика конденсированного состояния сложная система хаос теория информации Машина Больцмана