В классической механике движение частицы (или системы частиц) полностью определяется лагранжианом или, что то же самое, гамильтониан , функция обобщенных координат q , обобщенные скоростии его сопряженные импульсы :
Если либо L, либо H не зависят от обобщенной координаты q , то есть L и H не изменяются при изменении q , что, в свою очередь, означает, что динамика частицы остается той же самой, даже когда q изменяется, соответствующие импульсы сопряжены с импульсами. координаты будут сохранены (это часть теоремы Нётер , а инвариантность движения относительно координаты q является симметрией ). С этими симметриями связаны операторы классической механики.
Более технически, когда H инвариантен относительно действия некоторой группы преобразований G :
- .
элементы G являются физическими операторами, которые отображают физические состояния между собой.
Таблица операторов классической механики
Трансформация | Оператор | Должность | Импульс |
---|
Поступательная симметрия | | | |
Симметрия перевода времени | | | |
Вращательная инвариантность | | | |
Галилеевы преобразования | | | |
Паритет | | | |
Т-симметрия | | | |
где является матрица поворота вокруг оси определяется единичным вектором и угол θ .
Математическая формулировка квантовой механики (QM) построена на концепции оператора.
Физические чистые состояния в квантовой механике представлены как векторы единичной нормы (вероятности нормированы на единицу) в специальном комплексном гильбертовом пространстве . Временная эволюция в этом векторном пространстве задается применением оператора эволюции .
Любая наблюдаемая , т. Е. Любая величина, которую можно измерить в физическом эксперименте, должна быть связана с самосопряженным линейным оператором . Операторы должны давать действительные собственные значения , так как они могут появиться в результате эксперимента. Математически это означает, что операторы должны быть эрмитовыми . [1] Вероятность каждого собственного значения связана с проекцией физического состояния на подпространство, связанное с этим собственным значением. См. Ниже математические подробности об эрмитовых операторах.
В формулировке QM волновой механикой волновая функция изменяется в зависимости от пространства и времени или, что эквивалентно, от импульса и времени (см. Подробности в пространстве положения и импульса ), поэтому наблюдаемые являются дифференциальными операторами .
В формулировке матричной механики норма физического состояния должна оставаться фиксированной, поэтому оператор эволюции должен быть унитарным , а операторы могут быть представлены в виде матриц. Любая другая симметрия, отображающая физическое состояние в другое, должна сохранять это ограничение.
Волновая функция
Волновая функция должна быть квадратично интегрируемой (см. Пространства L p ), что означает:
и нормализуемый, так что:
Два случая собственных состояний (и собственных значений):
- для дискретных собственных состоянийобразуют дискретную основу, поэтому любое состояние представляет собой сумму
где c i - такие комплексные числа, что | c i | 2 = c i * c i - вероятность измерения состояния, и соответствующий набор собственных значений a i также дискретен - либо конечен, либо счетно бесконечен . В этом случае внутреннее произведение двух собственных состояний равно, где обозначает Дельту Кронекера . Тем не мение, - для континуума собственных состоянийобразуя непрерывную основу, любое государство является целостным
где c (φ) - такая комплексная функция, что | c (φ) | 2 = c (φ) * c (φ) - вероятность измерения состояния, и существует несчетное бесконечное множество собственных значений a . В этом случае скалярное произведение двух собственных состояний определяется как, где здесь обозначает дельту Дирака .
Линейные операторы в волновой механике
Пусть ψ - волновая функция квантовой системы, а- любой линейный оператор для некоторой наблюдаемой A (такой как положение, импульс, энергия, угловой момент и т. д.). Если ψ - собственная функция оператора, тогда
где a - собственное значение оператора, соответствующее измеренному значению наблюдаемого, т.е. наблюдаемое A имеет измеренное значение a .
Если ψ - собственная функция данного оператора, то определенная величина (собственное значение a ) будет наблюдаться, если измерение наблюдаемой A производится в состоянии ψ . Наоборот, если ψ не является собственной функцией, то у него нет собственного значения для , и в этом случае наблюдаемое не имеет единственного определенного значения. Вместо этого измерения наблюдаемой A будут давать каждое собственное значение с определенной вероятностью (связанной с разложением ψ относительно ортонормированного собственного базиса).
Все вышесказанное можно записать в скобках;
которые равны, если является собственным вектором , или eigenket наблюдаемой A .
Из-за линейности векторы могут быть определены в любом количестве измерений, поскольку каждый компонент вектора действует на функцию отдельно. Одним из математических примеров является оператор del , который сам по себе является вектором (используется в квантовых операторах, связанных с импульсом, в таблице ниже).
Оператор в n -мерном пространстве можно записать:
где e j - базисные векторы, соответствующие каждому компонентному оператору A j . Каждый компонент даст соответствующее собственное значение. Действуя таким образом на волновую функцию ψ :
в котором мы использовали
В обозначениях бюстгальтера:
Коммутация операторов Ф
Если две наблюдаемые A и B имеют линейные операторы а также , коммутатор определяется как,
Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Действие коммутатора на ψ дает:
Если ψ - собственная функция с собственными значениями a и b для наблюдаемых A и B соответственно, и если операторы коммутируют:
тогда наблюдаемые A и B могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью, т.е. с погрешностями, одновременно. Тогда ψ называется одновременной собственной функцией A и B. Чтобы проиллюстрировать это:
Это показывает, что измерение A и B не вызывает сдвига состояния, т.е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет помех из-за измерения). Предположим, мы измеряем A, чтобы получить значение a. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Мы снова измеряем A. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Очевидно, что состояние ( ψ ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.
Если операторы не ездят на работу:
они не могут быть подготовлены одновременно с произвольной точностью, и между наблюдаемыми существует соотношение неопределенности ,
даже если ψ является собственной функцией, указанное выше соотношение выполняется. Примечательными парами являются отношения неопределенности положения и импульса и энергии и времени, а также угловые моменты (спиновый, орбитальный и полный) относительно любых двух ортогональных осей (например, L x и L y , или s y и s z и т. д.). [2]
Ожидаемые значения операторов на Ψ
Среднее значение (эквивалентно среднее или среднее значение) представляет собой среднее измерение наблюдаемого для частицы в области R . Математическое ожидание оператора рассчитывается из: [3]
Это можно обобщить на любую функцию F оператора:
Примером F является 2-кратное действие A на ψ , то есть возведение оператора в квадрат или выполнение его дважды:
Эрмитовы операторы
Определение эрмитова оператора : [1]
Исходя из этого, в обозначениях бюстгальтера:
Важные свойства эрмитовых операторов включают:
- действительные собственные значения,
- собственные векторы с разными собственными значениями ортогональны ,
- собственные векторы могут быть выбраны как полный ортонормированный базис ,
Операторы в матричной механике
Оператор может быть записан в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы линейны, матрица представляет собой линейное преобразование (также известное как матрица перехода) между базами. Каждый базовый элементможет быть связано с другим [3] выражением:
который является матричным элементом:
Еще одно свойство эрмитова оператора состоит в том, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. [1] В матричной форме операторы позволяют находить действительные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет использовать подходящий базисный набор векторов для представления состояния квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются так же, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического полинома :
где I - единичная матрица размера n × n , как оператор она соответствует единичному оператору. Для дискретной основы:
а на постоянной основе:
Обратный к оператору
Несингулярный оператор имеет обратный определяется:
Если у оператора нет обратного, это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:
а значит, для сингулярного оператора определитель равен нулю.
Таблица операторов QM
Операторы, используемые в квантовой механике, собраны в таблице ниже (см., Например, [1] [4] ). Векторы, выделенные жирным шрифтом с циркумфлексами, не являются единичными векторами , это 3-векторные операторы; все три пространственных компонента вместе взятые.
Оператор (общее имя / имена) | Декартова компонента | Общее определение | Единица СИ | Измерение |
---|
Должность | | | м | [L] |
---|
Импульс | Общий | Общий | Дж см −1 = N с | [M] [L] [T] -1 |
---|
Электромагнитное поле | Электромагнитное поле (использует кинетический импульс ; A , векторный потенциал) | Дж см −1 = N с | [M] [L] [T] -1 |
Кинетическая энергия | Перевод | | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
---|
Электромагнитное поле | Электромагнитное поле ( А , векторный потенциал ) | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
Вращение ( I , момент инерции ) | Вращение [ необходима цитата ] | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
Потенциальная энергия | N / A | | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
---|
Общая энергия | N / A | Зависящий от времени потенциал:
Независимо от времени: | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
---|
Гамильтониан | | | J | [M] [L] 2 [T] −2 |
---|
Оператор углового момента | | | J s = N см | [M] [L] 2 [T] -1 |
---|
Спиновый угловой момент | где - матрицы Паули для частиц со спином 1/2 . | где σ - вектор, компонентами которого являются матрицы Паули. | J s = N см | [M] [L] 2 [T] -1 |
---|
Полный угловой момент | | | J s = N см | [M] [L] 2 [T] -1 |
---|
Переходный дипольный момент (электрический) | | | См | [I] [T] [L] |
---|
Примеры применения квантовых операторов
Процедура извлечения информации из волновой функции следующая. Рассмотрим в качестве примера импульс p частицы. Оператор импульса в базисе позиции в одном измерении:
Допуская это действие на ψ, получим:
если ψ - собственная функция, то собственное значение импульса p - это значение импульса частицы, определяемое по формуле:
Для трех измерений оператор импульса использует оператор набла, чтобы стать:
В декартовых координатах (используя стандартные декартовы базисные векторы e x , e y , e z ) это можно записать;
это:
Процесс поиска собственных значений такой же. Поскольку это векторное и операторное уравнение, если ψ - собственная функция, то каждая компонента оператора импульса будет иметь собственное значение, соответствующее этой компоненте импульса. Играет рольна ψ получает: