Матрица плотности ренормгруппа ( DMRG ) является числовым вариационный метод разработан , чтобы получить физику низких энергий из квантовых систем многих тел с высокой точностью. В качестве вариационного метода DMRG представляет собой эффективный алгоритм, который пытается найти волновую функцию состояния произведения матрицы с наименьшей энергией гамильтониана. Он был изобретен в 1992 году Стивеном Р. Уайтом и на сегодняшний день является наиболее эффективным методом для одномерных систем. [1]
Идея DMRG
Основная проблема квантовой физики многих тел заключается в том, что гильбертово пространство экспоненциально растет с размером [ требуется дальнейшее объяснение ] . Например, цепочка со спином 1/2 длины L имеет 2 L степеней свободы. DMRG - это итерационный вариационный метод, который уменьшает эффективные степени свободы до наиболее важных для целевого состояния. Целевое состояние часто является основным состоянием . [ non sequitur ]
После цикла прогрева [ требуется определение ] метод разделяет систему на две подсистемы или блоки, которые не обязательно должны иметь одинаковые размеры, и два промежуточных узла. Во время разминки для блока был выбран набор репрезентативных состояний . Этот набор из левого блока + двух сайтов + правого блока известен как суперблок . Теперь может быть найден кандидат на основное состояние суперблока, который является сокращенной версией полной системы. Он может иметь довольно низкую точность, но метод является итеративным и улучшается с помощью следующих шагов.
Найденное основное состояние кандидата проецируется в подпространство Гильберта для каждого блока с использованием матрицы плотности , отсюда и название. Таким образом обновляются соответствующие состояния для каждого блока. [ требуется дальнейшее объяснение ]
Теперь один из блоков растет за счет другого, и процедура повторяется. Когда растущий блок достигает максимального размера, другой начинает расти на его месте. Каждый раз, когда мы возвращаемся к исходной ситуации (равные размеры), мы говорим, что развертка завершена. Обычно нескольких разверток достаточно, чтобы получить точность детали в 10 10 для одномерной решетки.
Первым применением DMRG Стивеном Уайтом и Рейнхардом Ноаком была игрушечная модель : они нашли спектр частицы со спином 0 в одномерном ящике. Эта модель была предложена Кеннетом Г. Уилсоном в качестве теста для любого нового метода ренормализационной группы , потому что все они не смогли решить эту простую задачу. DMRG преодолела проблемы предыдущих методов ренормализационной группы , соединив два блока с двумя сайтами в середине, а не просто добавив один сайт в блок на каждом шаге, а также используя матрицу плотности для определения наиболее важных состояний, которые должны быть сохраняется в конце каждого шага. После успеха с игрушечной моделью , метод DMRG был успешно опробован на модели Гейзенберга (квантовой) .
Руководство по внедрению
Практическая реализация алгоритма DMRG - долгая работа [ мнение ] . Вот несколько основных вычислительных приемов:
- Основное состояние суперблока получается с помощью алгоритма диагонализации матрицы Ланцоша . Другой выбор - метод Арнольди , особенно при работе с неэрмитовыми матрицами.
- Алгоритм Ланцоша обычно начинается с наилучшего предположения решения. Если предположение недоступно, выбирается случайный вектор. В DMRG основное состояние, полученное на определенном шаге DMRG, преобразованное соответствующим образом, является разумным предположением и, таким образом, работает значительно лучше, чем случайный начальный вектор на следующем шаге DMRG.
- В системах с симметрией у нас могут быть сохраняющиеся квантовые числа, такие как полный спин в модели Гейзенберга (квантовая) . Основное состояние удобно находить внутри каждого из секторов, на которые делится гильбертово пространство.
- Пример: DMRG модели Гейзенберга
Приложения
DMRG успешно применяется для получения низкоэнергетических свойств спиновых цепочек: модель Изинга в поперечном поле, модель Гейзенберга и т. Д., Фермионные системы, такие как модель Хаббарда , проблемы с примесями, такие как эффект Кондо , бозонные системы и т. Д. и физика квантовых точек, соединенных квантовыми проволоками . Он также был расширен для работы с древовидными графами и нашел применение при изучении дендримеров . Для 2D-систем с одним из размеров, намного большим, чем другой, DMRG также является точным и оказался полезным при изучении лестниц.
Метод был расширен для изучения равновесной статистической физики в 2D и для анализа неравновесных явлений в 1D.
DMRG также применяется в области квантовой химии для изучения сильно коррелированных систем.
Анзац матричного произведения
Успех DMRG для одномерных систем связан с тем, что это вариационный метод в пространстве состояний матричного произведения . Это состояния вида
где - значения eg z -компоненты спина в спиновой цепочке, а A s i - матрицы произвольной размерности m . При m → ∞ представление становится точным. Эта теория была изложена С. Роммером и С. Остлундом в [1] .
Расширения DMRG
В 2004 году был разработан метод прореживания блоков с эволюцией во времени для реализации эволюции состояний продуктов матрицы в реальном времени. Идея основана на классическом моделировании квантового компьютера . Впоследствии был разработан новый метод вычисления эволюции в реальном времени в рамках формализма DMRG - см. Статью А. Фейгуина и С. Р. Уайта [2] .
В последние годы были выдвинуты некоторые предложения по расширению этого метода на 2D и 3D, расширяющие определение состояний матричного продукта. См. Эту статью F. Verstraete и I. Cirac, [3] .
дальнейшее чтение
- Оригинальная статья С. Р. Уайта, [4] или [5]
- Общий обзор Карен Халлберг , [6] .
- Два обзора Ульриха Шоллвока, в одном обсуждается исходная формулировка [7] , а в другом - в терминах состояний матричного произведения [8]
- Доктор философии диссертация Хавьера Родригеса Лагуны [9] .
- Введение в DMRG и его зависящее от времени расширение [10] .
- Список электронных распечаток DMRG на arxiv.org [11] .
- Обзорная статья о DMRG для ab initio квантовой химии [12] .
- Вводное видео о DMRG для ab initio квантовой химии [13] .
Связанное программное обеспечение
- The Matrix Product Toolkit : бесплатный набор инструментов GPL для управления состояниями конечных и бесконечных матричных продуктов, написанный на C ++ [14]
- Uni10 : библиотека, реализующая многочисленные тензорные сетевые алгоритмы (DMRG, TEBD, MERA, PEPS ...) на C ++
- Powder with Power: бесплатное распространение зависящего от времени кода DMRG, написанного на Фортране [15]
- Проект ALPS: бесплатное распространение не зависящего от времени кода DMRG и кодов квантового Монте-Карло, написанных на C ++ [16]
- DMRG ++ : бесплатная реализация DMRG, написанная на C ++ [17]
- Библиотека ITensor (Intelligent Tensor): бесплатная библиотека для выполнения вычислений DMRG на основе тензора и матричного произведения, написанная на C ++ [18]
- OpenMPS : реализация DMRG с открытым исходным кодом, основанная на матричных состояниях продуктов, написанных на Python / Fortran2003. [19]
- Программа Snake DMRG: программа DMRG с открытым исходным кодом, tDMRG и программа DMRG с конечной температурой, написанная на C ++ [20]
- CheMPS2 : адаптированный код DMRG с открытым исходным кодом (GPL) для квантовой химии ab initio, написанный на C ++ [21]
- Блок : фреймворк DMRG с открытым исходным кодом для квантовой химии и модельных гамильтонианов. Поддерживает SU (2) и общие неабелевы симметрии. Написано на C ++.
Смотрите также
- Квантовый Монте-Карло
- ДМРГ модели Гейзенберга
- Прореживание блоков с течением времени
- Конфигурационное взаимодействие
Рекомендации
- ^ Накатани, Наоки (2018), «Матричные состояния продукта и алгоритм группы ренормализации матрицы плотности» , Справочный модуль по химии, молекулярным наукам и химической инженерии , Elsevier, ISBN 978-0-12-409547-2, получено 2021-04-21