ДМРГ модели Гейзенберга

Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом . Пожалуйста, помогите улучшить статью , предоставив читателю больше контекста . ( Октябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В исследовании квантовой задачи многих тел в физике , то анализ DMRG модели Гейзенберга представляет собой важный теоретический пример применения методик матрицы плотности ренормгруппы (DMRG) к модели Гейзенберга цепочки спинов. В этой статье представлен «бесконечный» алгоритм DMRG для антиферромагнитной цепочки Гейзенберга, но этот рецепт можно применить для любой трансляционно-инвариантной одномерной решетки .${\ displaystyle S = 1}$

DMRG - это метод ренормгруппы , потому что он предлагает эффективное усечение гильбертова пространства одномерных квантовых систем.

Алгоритм [ править ]

Отправная точка [ править ]

Чтобы смоделировать бесконечную цепочку, начиная с четырех участков. Первый - это сайт блока , последний - сайт блока юниверса, а остальные - добавленные сайты , правый добавляется к сайту блока юниверса, а другой - к сайту блока.

Гильбертово пространство для единственного сайта находится с базой . С этой основе спиновые операторы , и для одного сайта. Для каждого блока, двух блоков и двух сайтов есть свое собственное гильбертово пространство , его base ( ) и свои собственные операторы :${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\displaystyle \{|S,S_{z}\rangle \}\equiv \{|1,1\rangle ,|1,0\rangle ,|1,-1\rangle \}}$${\displaystyle S_{x}}$${\displaystyle S_{y}}$${\displaystyle S_{z}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{b}}$${\displaystyle \{|w_{i}\rangle \}}$${\displaystyle i:1\dots \dim({\mathfrak {H}}_{b})}$${\displaystyle O_{b}:{\mathfrak {H}}_{b}\rightarrow {\mathfrak {H}}_{b}}$

• блокировать , , , , ,${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{B}}$${\displaystyle \{|u_{i}\rangle \}}$${\displaystyle H_{B}}$${\displaystyle S_{x_{B}}}$${\displaystyle S_{y_{B}}}$${\displaystyle S_{z_{B}}}$
• левый сайт: , , , ,${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{l}}$${\displaystyle \{|t_{i}\rangle \}}$${\displaystyle S_{x_{l}}}$${\displaystyle S_{y_{l}}}$${\displaystyle S_{z_{l}}}$
• правый сайт: , , , ,${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{r}}$${\displaystyle \{|s_{i}\rangle \}}$${\displaystyle S_{x_{r}}}$${\displaystyle S_{y_{r}}}$${\displaystyle S_{z_{r}}}$
• Вселенная: , , , , ,${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{U}}$${\displaystyle \{|r_{i}\rangle \}}$${\displaystyle H_{U}}$${\displaystyle S_{x_{U}}}$${\displaystyle S_{y_{U}}}$${\displaystyle S_{z_{U}}}$

В начальной точке все четыре гильбертовых пространства эквивалентны , все спиновые операторы эквивалентны , и и . Это всегда (на каждой итерации) верно только для левого и правого сайтов.${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle S_{x}}$${\displaystyle S_{y}}$${\displaystyle S_{z}}$${\displaystyle H_{B}=H_{U}=0}$

Шаг 1. Сформируйте матрицу гамильтониана для суперблока [ править ]

Составляющими являются четыре блочных оператора и четыре блочных оператора вселенной, которые на первой итерации являются матрицами , три оператора вращения левого узла и три оператора вращения правого узла, которые всегда являются матрицами. Гамильтонова матрица суперблоке (цепь), которая на первой итерации имеет только четыре сайты, формируется этими операторами. В модели антиферромагнетика Гейзенберга S = 1 гамильтониан равен:${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 3\times 3}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{SB}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{z_{j}}}$

Эти операторы живут в пространстве состояний суперблока:, основание . Например: (соглашение):${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{SB}={\mathfrak {H}}_{B}\otimes {\mathfrak {H}}_{l}\otimes {\mathfrak {H}}_{r}\otimes {\mathfrak {H}}_{U}}$${\displaystyle \{|f\rangle =|u\rangle \otimes |t\rangle \otimes |s\rangle \otimes |r\rangle \}}$

${\displaystyle |1000\dots 0\rangle \equiv |f_{1}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{1}\rangle \equiv |100,100,100,100\rangle }$

${\displaystyle |0100\dots 0\rangle \equiv |f_{2}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{2}\rangle \equiv |100,100,100,010\rangle }$

Гамильтониан в форме DMRG (мы полагаем ):${\displaystyle J=-1}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{SB}=\mathbf {H} _{B}+\mathbf {H} _{U}+\sum _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{z_{j}}}$

Операторы представляют собой матрицы, например:${\displaystyle (d*3*3*d)\times (d*3*3*d)}$${\displaystyle d=\dim({\mathfrak {H}}_{B})\equiv \dim({\mathfrak {H}}_{U})}$

${\displaystyle \langle f|\mathbf {H} _{B}|f'\rangle \equiv \langle u,t,s,r|H_{B}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} |u',t',s',r'\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {S} _{x_{B}}\mathbf {S} _{x_{l}}=S_{x_{B}}\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \mathbb {I} =S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} }$

Шаг 2. Диагонализируйте гамильтониан суперблока [ править ]

На этом этапе вы должны выбрать собственное состояние гамильтониана, для которого вычисляются некоторые наблюдаемые , это целевое состояние . Вначале вы можете выбрать основное состояние и использовать некоторый продвинутый алгоритм, чтобы найти его, один из них описан в:

• Итерационное вычисление нескольких наименьших собственных значений и соответствующих собственных векторов больших вещественно- симметричных матриц , Эрнест Р. Дэвидсон ; Журнал вычислительной физики 17, 87-94 (1975)

Этот шаг - самая трудоемкая часть алгоритма.

Если является целевым состоянием, в этот момент можно измерить математическое ожидание различных операторов с помощью .${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum \Psi _{i,j,k,w}|u_{i},t_{j},s_{k},r_{w}\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Шаг 3. Уменьшите матрицу плотности [ править ]

Сформируйте приведенную матрицу плотности для первых двух блочных систем, блочного и левого узла. По определению , это матрица: диагонализирующий и образует матрицу , строки которой являются собственными векторами , связанные с наибольшими собственными значениями в . Так формируется наиболее значимые собственные состояния приведенной матрицы плотности. Вы сами выбираете , глядя на параметр : .${\displaystyle \rho }$${\displaystyle (d*3)\times (d*3)}$${\displaystyle \rho _{i,j;i',j'}\equiv \sum _{k,w}\Psi _{i,j,k,w}\Psi _{i',j',k,w}^{*}}$ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle m\times (d*3)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle e_{\alpha }}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle P_{m}\equiv \sum _{\alpha =1}^{m}e_{\alpha }}$${\displaystyle 1-P_{m}\cong 0}$

Шаг 4. Новые операторы блока и блока юниверса [ править ]

Сформируйте матричное представление операторов для системной композиции блочный и левый узел, а также для системной композиции из правого узла и юниверса-блока, например:${\displaystyle (d*3)\times (d*3)}$

${\displaystyle H_{B-l}=H_{B}\otimes \mathbb {I} +S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}+S_{y_{B}}\otimes S_{y_{l}}+S_{z_{B}}\otimes S_{z_{l}}}$

${\displaystyle S_{x_{B-l}}=\mathbb {I} \otimes S_{x_{l}}}$

${\displaystyle H_{r-U}=\mathbb {I} \otimes H_{U}+S_{x_{r}}\otimes S_{x_{U}}+S_{y_{r}}\otimes S_{y_{U}}+S_{z_{r}}\otimes S_{z_{U}}}$

${\displaystyle S_{x_{r-U}}=S_{x_{r}}\otimes \mathbb {I} }$

Теперь сформируйте матричные представления нового блока и операторов блока-юниверса, сформируйте новый блок, изменив базис с преобразованием , например:${\displaystyle m\times m}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&H_{B}=TH_{B-l}T^{\dagger }&S_{x_{B}}=TS_{x_{B-l}}T^{\dagger }\end{matrix}}}$

На этом итерация заканчивается, и алгоритм возвращается к шагу 1. Алгоритм успешно останавливается, когда наблюдаемое сходится к некоторому значению.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Уайт, Стивен Р. (1993-10-01). «Матричные алгоритмы плотности для квантовых ренормализационных групп». Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 48 (14): 10345–10356. DOI : 10.1103 / Physrevb.48.10345 . ISSN  0163-1829 . PMID  10007313 .
• Уайт, Стивен Р .; Хьюз, Дэвид А. (1993-08-01). "Численное ренормгрупповое исследование низколежащих собственных состояний антиферромагнетика S = 1 цепочки Гейзенберга". Physical Review B . Американское физическое общество (APS). 48 (6): 3844–3852. DOI : 10.1103 / Physrevb.48.3844 . ISSN  0163-1829 . PMID  10008834 .
• Шолльвёк, У. (26 апреля 2005 г.). «Ренормализационная группа матрицы плотности». Обзоры современной физики . 77 (1): 259–315. arXiv : cond-mat / 0409292 . DOI : 10,1103 / revmodphys.77.259 . ISSN  0034-6861 . S2CID  119066197 .

См. Также [ править ]

• Модель Гейзенберга (квантовая)
• Группа ренормализации матрицы плотности