В линейной алгебре , квадратная матрица называется диагонализируемы или исправный , если он похож на диагональную матрицу , то есть, если существует обратимая матрица и диагональная матрица такой, что , или эквивалентно. (Такой, не являются уникальными.) Для конечно- мерного векторного пространства , Линейное отображение называется диагонализируемы , если существует упорядоченный базис из состоящий из собственных векторов из. Эти определения эквивалентны: если имеет матричное представление как указано выше, тогда векторы-столбцы образуют базис, состоящий из собственных векторов , а диагональные элементы соответствующие собственные значения ; относительно этого базиса собственных векторов, представлен . Диагонализация - это процесс поиска вышеуказанного а также .
Диагонализуемые матрицы и отображения особенно просты для вычислений, если известны их собственные значения и собственные векторы. Можно поднять диагональную матрицу в степень, просто возведя диагональные элементы в эту степень, а определитель диагональной матрицы - это просто произведение всех диагональных элементов; такие вычисления легко обобщаются на. Геометрически диагонализуемая матрица представляет собой неоднородное расширение (или анизотропное масштабирование ) - оно масштабирует пространство, как и однородное расширение , но с другим коэффициентом вдоль каждой оси собственного вектора, коэффициентом, задаваемым соответствующим собственным значением.
Квадратная матрица, не поддающаяся диагонализации, называется дефектной . Может случиться так, что матрица с реальными записями является дефектным по сравнению с действительными числами, что означает, что невозможно ни для одного обратимого и диагональ с реальными записями, но это возможно со сложными записями, так что диагонализуема по комплексным числам. Например, это относится к общей матрице вращения .
Многие результаты для диагонализуемых матриц верны только над алгебраически замкнутым полем (например, над комплексными числами). В этом случае диагонализуемые матрицы плотны в пространстве всех матриц, что означает, что любая дефектная матрица может быть деформирована в диагонализуемую матрицу небольшим возмущением ; и теорема Жордана о нормальной форме утверждает, что любая матрица однозначно является суммой диагонализуемой матрицы и нильпотентной матрицы . Над алгебраически замкнутым полем диагонализуемые матрицы эквивалентны полупростым матрицам .
Определение
Квадрат матрица над полем называется диагонализируемой или недефектной, если существует обратимая матрица такой, что - диагональная матрица. Формально,
Характеристика
Фундаментальный факт о диагонализуемых отображениях и матрицах выражается следующим образом:
- An матрица над полем диагонализуем тогда и только тогда, когда сумма размерностей его собственных подпространств равна, Что в случае , если и только если существует базис из состоящий из собственных векторов . Если такой базис найден, можно составить матрицуимея эти базисные векторы как столбцы, и будет диагональной матрицей, диагональные элементы которой являются собственными значениями . Матрицаизвестна как модальная матрица для.
- Линейная карта диагонализуем тогда и только тогда, когда сумма размерностей его собственных подпространств равна, что имеет место тогда и только тогда, когда существует базис состоящий из собственных векторов . Что касается такой основы,будет представлена диагональной матрицей. Диагональные элементы этой матрицы являются собственными значениями матрицы.
Другая характеристика: матрицу или линейную карту можно диагонализовать по полю. тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен является произведением различных линейных множителей над. (Иными словами, матрица диагонализуема тогда и только тогда, когда все ее элементарные делители линейны.)
Следующее достаточное (но не необходимое) условие часто бывает полезным.
- An матрица диагонализуема над полем если у него есть различные собственные значения в , т.е. если его характеристический многочлен имеет отдельные корни в ; однако обратное может быть ложным. Рассмотреть возможность который имеет собственные значения 1, 2, 2 (не все различны) и диагонализируемо с диагональной формой ( аналогично с)и изменение базисной матрицы :Обратное неверно, когда имеет собственное подпространство размерности больше 1. В этом примере собственное подпространство с собственным значением 2 имеет размерность 2.
- Линейная карта с участием диагонализуем, если он имеет различные собственные значения, т. е. если его характеристический многочлен имеет отдельные корни в .
Позволять быть матрицей над . Еслидиагонализуем, то же самое можно сказать о любой его степени. Наоборот, если обратима, алгебраически замкнуто, и диагонализуема для некоторых что не является целым кратным характеристике , тодиагонализуема. Доказательство: если диагонализуема, то аннулируется некоторым полиномом , у которого нет кратного корня (так как) и делится на минимальный многочлен от.
Над комплексными числами , почти каждая матрица диагонализуема. Точнее: набор сложныхматрицы, не диагонализуемые по, Рассматривается как подмножество из, Имеет меру Лебега нуль. Можно также сказать , что диагонализуемых матрицы образуют плотное подмножество относительно топологии Зарисской : в недиагонализируемых матрицах лежат внутри исчезающий набора из дискриминанта характеристического полинома, который является гиперповерхностью . Отсюда следует также плотность в обычной ( сильной ) топологии, задаваемой нормой . То же самое не так.
Разложение Жордана-Шевалье выражает оператор в виде суммы его полупростого (т.е. диагонализуемой) части и ее нильпотентном части. Следовательно, матрица диагонализуема тогда и только тогда, когда ее нильпотентная часть равна нулю. Другими словами, матрица диагонализуема, если каждый блок в ее жордановой форме не имеет нильпотентной части; т.е. каждый "блок" представляет собой матрицу "одна за другой".
Диагонализация
Если матрица можно диагонализовать, то есть
тогда:
Письмо как блочная матрица своих векторов-столбцов
приведенное выше уравнение можно переписать как
Итак, векторы-столбцы являются правые собственные векторы из, а соответствующий диагональный элемент является соответствующим собственным значением . Обратимостьтакже предполагает, что собственные векторы линейно независимы и составляют основу. Это необходимое и достаточное условие диагонализуемости и канонического подхода к диагонализации. В векторы - строки изявляются левыми собственными векторами из.
Когда сложная матрица является эрмитовой матрицей (или, в более общем смысле, нормальной матрицей ), собственные векторыможет быть выбрано , чтобы сформировать ортогональный базис из, иможет быть выбрана унитарной матрицей . Если, кроме того,является вещественной симметричной матрицей , то ее собственные векторы могут быть выбраны в качестве ортонормированного базиса а также может быть выбрана ортогональной матрицей .
Для большинства практических работ матрицы численно диагонализируются с помощью компьютерного программного обеспечения. Для этого существует множество алгоритмов .
Одновременная диагонализация
Набор матриц называется одновременно диагонализуемым, если существует единственная обратимая матрица такой, что диагональная матрица для каждого в комплекте. Следующая теорема характеризует одновременно диагонализуемые матрицы: набор диагонализуемых матриц коммутирует тогда и только тогда, когда он одновременно диагонализуем. [1] : стр. 61–63.
Набор всех диагонализуемые матрицы (более ) сне диагонализируется одновременно. Например, матрицы
диагонализуемы, но не одновременно диагонализуемы, потому что они не коммутируют.
Набор состоит из коммутирующих нормальных матриц тогда и только тогда, когда он одновременно диагонализируется унитарной матрицей ; то есть существует унитарная матрица такой, что диагональна для каждого в комплекте.
На языке теории Ли набор одновременно диагонализуемых матриц порождает торическую алгебру Ли .
Примеры
Диагонализируемые матрицы
- Инволюции диагонализуемы над вещественными числами (и действительно над любым полем характеристики, отличной от 2), с ± 1 на диагонали.
- Эндоморфизмы конечного порядка диагонализируемы над(или любое алгебраически замкнутое поле, где характеристика поля не делит порядок эндоморфизма) с корнями из единицы на диагонали. Это следует из того, что минимальный многочлен отделим , потому что корни единицы различны.
- Проекции можно диагонализовать, по диагонали располагаются нули и единицы.
- Вещественные симметричные матрицы диагонализуемы ортогональными матрицами ; т.е., учитывая действительную симметричную матрицу, диагональна для некоторой ортогональной матрицы . В более общем смысле, матрицы можно диагонализовать с помощью унитарных матриц тогда и только тогда, когда они нормальны . В случае вещественной симметричной матрицы мы видим, что, Так яснодержит. Примерами нормальных матриц являются действительные симметричные (или кососимметричные ) матрицы (например, ковариационные матрицы) и эрмитовы матрицы (или кососимметричные матрицы). См. Спектральные теоремы для обобщений на бесконечномерные векторные пространства.
Матрицы, не диагонализуемые
В общем, матрица вращения не может быть диагонализована по вещественным числам, но все матрицы вращения можно диагонализовать по комплексному полю. Даже если матрица не диагонализуема, всегда можно «сделать все возможное» и найти матрицу с такими же свойствами, состоящую из собственных значений на главной диагонали и единиц или нулей на супердиагонали, известной как жорданова нормаль. форма .
Некоторые матрицы не диагонализуемы ни над каким полем, особенно ненулевые нильпотентные матрицы . Это происходит в более общем случае, если алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения не совпадают. Например, рассмотрим
Эта матрица не диагонализуема: нет матрицы такой, что - диагональная матрица. Действительно, имеет одно собственное значение (а именно ноль), и это собственное значение имеет алгебраическую кратность 2 и геометрическую кратность 1.
Некоторые вещественные матрицы не диагонализируются над вещественными числами. Рассмотрим, например, матрицу
Матрица не имеет реальных собственных значений, поэтому нет реальной матрицы такой, что - диагональная матрица. Однако мы можем диагонализоватьесли мы допустим комплексные числа. Действительно, если взять
тогда диагональный. Легко найти, что матрица вращения, которая вращается против часовой стрелки на угол
Обратите внимание, что приведенные выше примеры показывают, что сумма диагонализуемых матриц не обязательно должна быть диагонализуемой.
Как диагонализовать матрицу
Диагонализация матрицы - это тот же процесс, что и поиск ее собственных значений и собственных векторов в случае, если собственные векторы образуют базис. Например, рассмотрим матрицу
Корни характеристического многочлена собственные значения . Решение линейной системы дает собственные векторы а также , в то время как дает ; это, для . Эти векторы составляют основу, поэтому мы можем собрать их как векторы-столбцы матрицы замены базиса получить:
Обратите внимание, что нет предпочтительного порядка собственных векторов в ; изменение порядка собственных векторов впросто меняет порядок собственных значений в диагонализованной форме. [2]
Приложение к матричным функциям
Диагонализацию можно использовать для эффективного вычисления степеней матрицы :
и последнее легко вычислить, поскольку оно включает только степени диагональной матрицы. Например, для матрицы с собственными значениями в приведенном выше примере мы вычисляем:
Этот подход может быть обобщен на матричные экспоненциальные и другие матричные функции, которые можно определить как степенные ряды. Например, определение, у нас есть:
Это особенно полезно при поиске выражений в замкнутой форме для членов линейных рекурсивных последовательностей , таких как числа Фибоначчи .
Особое применение
Например, рассмотрим следующую матрицу:
Расчет различных степеней обнаруживает удивительную закономерность:
Вышеупомянутый феномен можно объяснить путем диагонализации . Для этого нам понадобится основа состоящий из собственных векторов . Один из таких базисов собственных векторов задается формулой
где e i обозначает стандартный базис R n . Обратное изменение базиса дается формулой
Прямые вычисления показывают, что
Таким образом, a и b - собственные значения, соответствующие u и v соответственно. По линейности умножения матриц имеем
Возвращаясь к стандартной основе, имеем
Предыдущие отношения, выраженные в матричной форме, являются
тем самым объясняя вышеупомянутый феномен.
Квантово-механическое приложение
В квантово-механических и квантово-химических вычислениях диагонализация матриц - один из наиболее часто применяемых численных процессов. Основная причина в том, что не зависящее от времени уравнение Шредингера является уравнением на собственные значения, хотя и в большинстве физических ситуаций в бесконечномерном пространстве ( гильбертовом пространстве ).
Очень распространенное приближение - усечение гильбертова пространства до конечной размерности, после чего уравнение Шредингера может быть сформулировано как проблема собственных значений действительной симметричной или комплексной эрмитовой матрицы. Формально это приближение основано на вариационном принципе , справедливом для гамильтонианов, ограниченных снизу.
Теория возмущений первого порядка также приводит к матричной проблеме собственных значений для вырожденных состояний.
Смотрите также
- Дефектная матрица
- Масштабирование (геометрия)
- Треугольная матрица
- Полупростой оператор
- Диагонализируемая группа
- Нормальная форма Джордана
- Весовой модуль - обобщение ассоциативной алгебры
- Ортогональная диагонализация
Заметки
Рекомендации
- ^ Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ, второе издание . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402.
- ^ Антон, H .; Роррес, К. (22 февраля 2000 г.). Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (8-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-17052-5.