Модальная матрица

В линейной алгебре , то модальная матрица используются в процессе диагонализации с участием собственных значений и собственных векторов . ^[1]

В частности, модальная матрица для матрицы представляет собой матрицу размера n × n, сформированную с собственными векторами в качестве столбцов в . Он используется в преобразовании подобия${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle D = M ^ {- 1} AM,}$

где - диагональная матрица размера n × n с собственными значениями на главной диагонали и нулями в других местах. Матрица называется спектральной матрицей для . Собственные значения должны располагаться слева направо, сверху вниз в том же порядке, в котором их соответствующие собственные векторы располагаются слева направо . ^[2]${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$

Пример [ править ]

Матрица

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \ end {pmatrix}}}$

имеет собственные значения и соответствующие собственные векторы

${\ displaystyle \ lambda _ {1} = - 1, \ quad \, \ mathbf {b} _ {1} = \ left (-3,6,1 \ right),}$

${\displaystyle \lambda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\right),}$

${\displaystyle \lambda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\right).}$

Диагональная матрица , похоже на это${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.}$

Одним из возможных вариантов для обратимой матрицы таким образом, что является${\displaystyle M}$${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.}$^[3]

Обратите внимание: поскольку сами собственные векторы не уникальны, и поскольку столбцы обоих и могут быть заменены местами, отсюда следует, что оба и не уникальны. ^[4]${\displaystyle M}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D}$

Обобщенная модальная матрица [ править ]

Позвольте быть n × n- матрицей. Обобщенная модальная матрица для является п × п матрица, столбцы которой, рассматривается в качестве векторов, образует канонический базис для и появляется в соответствии со следующими правилами:${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

• Все цепочки Жордана, состоящие из одного вектора (то есть одного вектора длиной), появляются в первых столбцах .${\displaystyle M}$
• Все векторы одной цепочки появляются вместе в соседних столбцах .${\displaystyle M}$
• Каждая цепочка появляется в порядке возрастания ранга (то есть обобщенный собственный вектор ранга 1 появляется перед обобщенным собственным вектором ранга 2 той же цепи, который стоит перед обобщенным собственным вектором ранга 3 той же цепи и т. Д.). ^[5]${\displaystyle M}$

Можно показать, что

${\displaystyle AM=MJ,}$

( 1 )

где - матрица в жордановой нормальной форме . Умножая на , получаем${\displaystyle J}$${\displaystyle M^{-1}}$

${\displaystyle J=M^{-1}AM.}$

( 2 )

Обратите внимание, что при вычислении этих матриц уравнение ( 1 ) является самым простым для проверки из двух уравнений, поскольку оно не требует обращения матрицы. ^[6]

Пример [ править ]

Этот пример иллюстрирует обобщенную модальную матрицу с четырьмя цепочками Жордана. К сожалению, построить интересный пример низкого порядка немного сложно. ^[7] Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\-1&-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}}$

имеет единственное собственное значение с алгебраической кратностью . Канонический базис для будет состоять из одного линейно независимого обобщенного собственного вектора ранга 3 (обобщенный ранг собственного вектора; см. Обобщенный собственный вектор ), двух ранга 2 и четырех ранга 1; или , что эквивалентно, одна цепочка из трех векторов , одна цепь из двух векторов и двух цепей одного вектора , .${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ ${\displaystyle \mu _{1}=7}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {z} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {w} _{1}\right\}}$

«Почти диагональная» матрица в жордановой нормальной форме , аналогичная матрице , получается следующим образом:${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {z} _{1}&\mathbf {w} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\\0&3&0&0&1&0&0\\-1&1&1&1&0&2&0\\-2&0&-1&0&0&-2&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&-1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},}$

где - обобщенная модальная матрица для , столбцы являются канонической базой для , и . ^[8] Обратите внимание: поскольку сами обобщенные собственные векторы не уникальны, и поскольку некоторые столбцы обоих и могут быть заменены местами, отсюда следует, что оба и не уникальны. ^[9]${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AM=MJ}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: Введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN  70097490
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646