В линейной алгебре , А Джордан нормальная форма , также известные как каноническая форма Жордана [1] или ГФД , [2] является верхней треугольной матрицей конкретной формы называется матрицей Джордана представляющей собой линейный оператор на конечномерный векторном пространстве с уважение к некоторой основе . Такая матрица имеет каждый ненулевой недиагональный элемент, равный 1, непосредственно над главной диагональю (на супердиагонали ) и с идентичными диагональными элементами слева и под ними.
Пусть V векторное пространство над полем K . Тогда базис по отношению к которому матрица имеет требуемую форму , существует тогда и только тогда , когда все собственные значения матрицы лежит в K , или , что эквивалентно , если характеристический полином от оператора расщепляется на линейные множители над K . Это условие всегда выполняется , если K является алгебраически замкнутым (например, если это поле комплексных чисел ). Диагональные элементы нормальной формы являются собственными значениями (оператора), а количество раз, когда каждое собственное значение встречается, называется алгебраической кратностью собственного значения. [3] [4] [5]
Если оператор изначально задается квадратной матрицы М , то ее жордановой нормальной формы также называется жордановой нормальной формой М . Любая квадратная матрица имеет жордановую нормальную форму, если поле коэффициентов расширить до одного, содержащего все собственные значения матрицы. Несмотря на свое название, нормальная форма для данного M не является полностью уникальной, поскольку это блочно-диагональная матрица, образованная жордановыми блоками , порядок которых не фиксирован; обычно группируют блоки для одного и того же собственного значения вместе, но не налагается никакого порядка ни среди собственных значений, ни среди блоков для данного собственного значения, хотя последние можно, например, упорядочить по слабо уменьшающемуся размеру. [3] [4] [5]
Разложение Жордана-Шевалье является особенно простым по отношению к основе , для которого оператор берет свое жорданову нормальную форму. Диагональная форма для диагонализуемых матриц, например нормальных матриц , является частным случаем жордановой нормальной формы. [6] [7] [8]
Нормальная форма Жордана названа в честь Камиллы Жордана , которая впервые сформулировала теорему Жордана о разложении в 1870 году [9].
Обзор
Обозначение
В некоторых учебниках есть поддиагональ ; то есть непосредственно под главной диагональю, а не на наддиагонали. Собственные значения по-прежнему находятся на главной диагонали. [10] [11]
Мотивация
П × п матрица является диагонализируемы тогда и только тогда , когда сумма размеров подпространств является п . Или, что то же самое, тогда и только тогда, когда A имеет n линейно независимых собственных векторов . Не все матрицы можно диагонализовать; матрицы, которые не диагонализируются, называются дефектными матрицами. Рассмотрим следующую матрицу:
Включая кратность, собственные значения A равны λ = 1, 2, 4, 4. Размерность собственного подпространства, соответствующего собственному значению 4, равна 1 (а не 2), поэтому A не диагонализуем. Однако существует обратимая матрица P такая, что J = P −1 AP , где
Матрица J почти диагональна. Это жорданова нормальная форма А . В приведенном ниже разделе « Пример» приводятся подробные сведения о вычислениях.
Комплексные матрицы
В общем, квадратная комплексная матрица это похоже на блок - диагональной матрицы
где каждый блок J i представляет собой квадратную матрицу вида
Итак, существует обратимая матрица P такая, что P −1 AP = J такая, что единственные ненулевые элементы J находятся на диагонали и наддиагонали. J называется жордановой нормальной формой из A . Каждый J я называется блок Жордана из A . В данном жордановом блоке каждая запись на супердиагонали равна 1.
Предполагая этот результат, мы можем вывести следующие свойства:
- Подсчитывая кратности, собственные значения J и, следовательно, A являются диагональными элементами.
- Для собственного значения λ i его геометрическая кратность - это размерность Ker ( A - λ i I ) и количество жордановых блоков, соответствующих λ i . [12]
- Сумма размеров всех жордановых блоков, соответствующих собственному значению λ i, и есть его алгебраическая кратность . [12]
- A диагонализуема тогда и только тогда, когда для любого собственного значения λ оператора A его геометрическая и алгебраическая кратности совпадают.
- Жорданова клетка, соответствующая λ, имеет вид λ I + N , где N - нильпотентная матрица, определенная как N ij = δ i , j −1 (где δ - символ Кронекера ). Нильпотентность N может быть использована при вычислении f ( A ), где f - комплексная аналитическая функция. Например, в принципе жорданова форма может дать выражение в замкнутой форме для экспоненты exp ( A ).
- Число жордановых блоков, соответствующих λ размера не меньше j, равно dim Ker ( A - λI ) j - dim Ker (A - λI ) j −1 . Таким образом, количество жордановых блоков размера j равно
- Для собственного значения λ i его кратность в минимальном полиноме равна размеру его наибольшей жордановой клетки.
Пример
Рассмотрим матрицу из примера в предыдущем разделе. Нормальная форма Жордана получается некоторым преобразованием подобия:
- это,
Позволять иметь векторы-столбцы , , тогда
Мы видим, что
Для у нас есть , это, является собственным вектором соответствующее собственному значению . Для, умножая обе части на дает
Но , так
Таким образом,
Векторы, такие как называются обобщенные собственные векторы из А .
Пример: получение нормальной формы
В этом примере показано, как вычислить нормальную форму Жордана данной матрицы.
Рассмотрим матрицу
о котором упоминается в начале статьи.
Характеристический полином из А является
Это показывает, что собственные значения равны 1, 2, 4 и 4 в соответствии с алгебраической кратностью. Собственное подпространство, соответствующее собственному значению 1, можно найти, решив уравнение Av = λ v . Он натянуто на вектора - столбца V = (-1, 1, 0, 0) T . Аналогичным образом , подпространство , соответствующее собственного значение 2 порождается ш = (1, -1, 0, 1) Т . И, наконец, подпространство , соответствующее собственное значение 4 также одномерное (несмотря на то, что это двойное собственное значение) и порождается й = (1, 0, -1, 1) T . Таким образом, геометрическая кратность (то есть размерность собственного подпространства данного собственного значения) каждого из трех собственных значений равна единице. Следовательно, два собственных значения, равные 4, соответствуют одной жордановой клетке, а жорданова нормальная форма матрицы A представляет собой прямую сумму
Есть три цепочки Иордана . Два имеют длину один: { v } и { w }, соответствующие собственным значениям 1 и 2 соответственно. Собственному значению 4 соответствует одна цепочка длины два. Чтобы найти эту цепочку, вычислите
где I - единичная матрица 4 × 4. Выберите вектор в указанном выше диапазоне, который не входит в ядро A - 4 I ; например, у = (1,0,0,0) Т . Теперь ( A - 4 I ) y = x и ( A - 4 I ) x = 0, поэтому { y , x } - это цепочка длины два, соответствующая собственному значению 4.
Матрица перехода P такая, что P −1 AP = J , формируется путем размещения этих векторов рядом друг с другом следующим образом
Вычисление показывает, что уравнение P −1 AP = J действительно выполняется.
Если бы мы поменяли местами порядок появления векторов цепочек, то есть изменив порядок v , w и { x , y } вместе, блоки Жордана поменялись бы местами. Однако жордановы формы эквивалентны жордановым формам.
Обобщенные собственные векторы
По собственному значению λ соответствующая ему жорданова клетка порождает жордановую цепочку . Генератор , или свинец вектор , скажем р г , цепи является обобщенным собственным вектором такой , что ( - λ я ) г р г = 0, где г является размер блока Jordan. Вектор p 1 = ( A - λ I ) r −1 p r является собственным вектором, соответствующим λ. В общем, р я это прообраз р я -1 при - λ я . Таким образом, ведущий вектор порождает цепочку посредством умножения на ( A - λ I ). [13] [2]
Поэтому утверждение , что каждая квадратная матрица можно положить в жордановой нормальной форме эквивалентно утверждению , что существует базис , состоящий только из собственных векторов и обобщенных собственных векторов А .
Доказательство
Мы дадим доказательство по индукции, что любую комплекснозначную матрицу A можно привести к жордановой нормальной форме. [ необходима цитата ] Случай 1 × 1 тривиален. Пусть A - матрица размера n × n . Возьмем любое собственное значение Л из А . Диапазон от A - λ I , обозначим через Ран ( - λ I ), является инвариантное подпространство в A . Кроме того, поскольку λ является собственным значением A , размерность Ran ( A - λ I ), r , строго меньше n . Обозначим через A ' ограничение A на Ran ( A - λ I ), по предположению индукции существует такой базис { p 1 ,…, p r }, что A' , выраженное относительно этого базиса, находится в жордановой норме. форма.
Теперь рассмотрим ядро , то есть подпространство Ker ( A - λ I ). Если
желаемый результат немедленно следует из теоремы о ранге недействительности . Так было бы, например, если бы A был эрмитовым .
В противном случае, если
пусть размерность Q равна s ≤ r . Каждый вектор в Q является собственным вектором A ', соответствующим собственному значению λ . Таким образом, жорданова форма матрицы A ' должна содержать s жордановых цепочек, соответствующих s линейно независимым собственным векторам. Таким образом, базис { p 1 , ..., p r } должен содержать s векторов, скажем { p r - s +1 , ..., p r }, которые являются ведущими векторами в этих жордановых цепочках из жордановой нормальной формы А ' . Мы можем «расширить цепи», взяв прообразы этих векторов отведений. (Это ключевой шаг аргументации; в общем случае обобщенные собственные векторы не обязательно должны лежать в Ran ( A - λ I ).) Пусть q i таково, что
Ясно, что никакая нетривиальная линейная комбинация q i не может лежать в Ker ( A - λ I ). Кроме того, никакая нетривиальная линейная комбинация q i не может быть в Ran ( A - λ I ), поскольку это противоречило бы предположению, что каждый p i является ведущим вектором в жордановой цепочке. Множество { q i }, являющееся прообразами линейно независимого множества { p i } при A - λ I , также является линейно независимым.
Наконец, мы можем выбрать любое линейно независимое множество { z 1 , ..., z t }, которое охватывает
По построению объединение трех множеств { p 1 , ..., p r }, { q r - s +1 , ..., q r } и { z 1 , ..., z t } равно линейно независимый. Каждый вектор в объединении является либо собственным вектором или обобщенным собственным вектором A . Наконец, по теореме ранга – недействительности мощность объединения равна n . Другими словами, мы нашли базис, состоящий из собственных векторов и обобщенных собственных векторов матрицы A , и это показывает, что A можно представить в жордановой нормальной форме.
Уникальность
Можно показать, что жорданова нормальная форма данной матрицы A единственна с точностью до порядка жордановых клеток.
Зная алгебраические и геометрические кратности собственных значений не является достаточным , чтобы определить жорданову нормальную форму А . Предполагая, что алгебраическая кратность m (λ) собственного значения λ известна, структура жордановой формы может быть выяснена путем анализа рангов степеней ( A - λ I ) m (λ) . Чтобы убедиться в этом, предположим, что матрица A размера n × n имеет только одно собственное значение λ. Итак, m (λ) = n . Наименьшее целое число k 1 такое, что
является размером самого большого блока Иордана в жордановой форме A . (Это число k 1 также называется индексом λ. См. Обсуждение в следующем разделе.) Ранг
- количество жордановых блоков размера k 1 . Точно так же ранг
равно удвоенному количеству жордановых блоков размера k 1 плюс количество жордановых блоков размера k 1 −1. Общий случай аналогичен.
Это можно использовать, чтобы показать уникальность жордановой формы. Пусть J 1 и J 2 две Jordan нормальные формы А . Тогда J 1 и J 2 подобны и имеют одинаковый спектр, включая алгебраические кратности собственных значений. Процедуру, описанную в предыдущем абзаце, можно использовать для определения структуры этих матриц. Поскольку ранг матрицы сохраняется преобразованием подобия, существует биекция между жордановыми блоками J 1 и J 2 . Это доказывает уникальность части утверждения.
Реальные матрицы
Если A - вещественная матрица, ее жорданова форма все еще может быть нереальной. Вместо того, чтобы представлять его комплексными собственными значениями и единицами на супердиагонали, как обсуждалось выше, существует реальная обратимая матрица P такая, что P −1 AP = J является реальной блочно-диагональной матрицей, где каждый блок является реальным жордановым блоком. [14] Реальная жорданова блокировка либо идентична комплексной жордановой блоке (если соответствующее собственное значение является вещественным), либо представляет собой блочную матрицу, состоящую из блоков 2 × 2 (для невещественного собственного значения с заданной алгебраической кратностью) вида
и описать умножение на в комплексной плоскости. Наддиагональные блоки представляют собой единичные матрицы 2 × 2 и, следовательно, в этом представлении размерности матрицы больше, чем у комплексной жордановой формы. Полный реальный блок Джордана дается выражением
Эта вещественная жорданова форма является следствием комплексной жордановой формы. Для действительной матрицы невещественные собственные векторы и обобщенные собственные векторы всегда можно выбрать для образования комплексно сопряженных пар. Взяв действительную и мнимую части (линейную комбинацию вектора и сопряженного с ним), матрица имеет такой вид относительно нового базиса.
Матрицы с записями в поле
Снижение Иордании может быть распространена на любой квадратной матрицы М , элементы которой лежат в поле К . В результате говорится , что любые М можно записать в виде суммы D + N , где D является полупростом , Н является нильпотентным и Д = НД . Это называется разложением Жордана – Шевалле . Всякий раз , когда К содержит собственные значения М , в частности , когда К является алгебраически замкнутым , нормальная форма может быть выражена в явном виде , как прямая сумма жордановых блоков.
Подобно случаю, когда K - комплексные числа, знание размерностей ядер ( M - λ I ) k для 1 ≤ k ≤ m , где m - алгебраическая кратность собственного значения λ, позволяет определить жорданову форму из М . Мы можем рассматривать лежащее в основе векторное пространство V как K [ x ] -модуль , рассматривая действие x на V как приложение M и расширяя его K- линейностью. Тогда многочлены ( x - λ) k являются элементарными делителями M , а нормальная форма Жордана связана с представлением M в терминах блоков, связанных с элементарными делителями.
Доказательство жордановой нормальной формы обычно проводится как приложение к кольцу K [ x ] структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов , следствием которой она является.
Последствия
Можно видеть, что нормальная форма Жордана является, по сути, результатом классификации квадратных матриц, и поэтому несколько важных результатов линейной алгебры можно рассматривать как ее следствия.
Теорема о спектральном отображении
Использование нормальной формы Жордана, прямое вычисление дает спектральную теорему отображения для полиномиального функционального исчисления : Пусть быть п × п матрица с собственными значениями Л 1 , ..., λ п , то для любого полинома р , р ( А ) имеет собственные значения p (λ 1 ), ..., p (λ n ).
Характеристический полином
Характеристический полином из А является. Подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен. Следовательно,, где является i- м корнем из A иявляется его кратность, так как это, очевидно , характеристический многочлен жордановой формы А .
Cayley–Hamilton theorem
The Cayley–Hamilton theorem asserts that every matrix A satisfies its characteristic equation: if p is the characteristic polynomial of A, then . This can be shown via direct calculation in the Jordan form, since if is an eigenvalue of multiplicity , then its Jordan block clearly satisfies . As the diagonal blocks do not affect each other, the ith diagonal block of is ; hence .
The Jordan form can be assumed to exist over a field extending the base field of the matrix, for instance over the splitting field of p; this field extension does not change the matrix p(A) in any way.
Minimal polynomial
The minimal polynomial P of a square matrix A is the unique monic polynomial of least degree, m, such that P(A) = 0. Alternatively, the set of polynomials that annihilate a given A form an ideal I in C[x], the principal ideal domain of polynomials with complex coefficients. The monic element that generates I is precisely P.
Let λ1, ..., λq be the distinct eigenvalues of A, and si be the size of the largest Jordan block corresponding to λi. It is clear from the Jordan normal form that the minimal polynomial of A has degree Σsi.
While the Jordan normal form determines the minimal polynomial, the converse is not true. This leads to the notion of elementary divisors. The elementary divisors of a square matrix A are the characteristic polynomials of its Jordan blocks. The factors of the minimal polynomial m are the elementary divisors of the largest degree corresponding to distinct eigenvalues.
The degree of an elementary divisor is the size of the corresponding Jordan block, therefore the dimension of the corresponding invariant subspace. If all elementary divisors are linear, A is diagonalizable.
Invariant subspace decompositions
The Jordan form of a n × n matrix A is block diagonal, and therefore gives a decomposition of the n dimensional Euclidean space into invariant subspaces of A. Every Jordan block Ji corresponds to an invariant subspace Xi. Symbolically, we put
where each Xi is the span of the corresponding Jordan chain, and k is the number of Jordan chains.
One can also obtain a slightly different decomposition via the Jordan form. Given an eigenvalue λi, the size of its largest corresponding Jordan block si is called the index of λi and denoted by ν(λi). (Therefore, the degree of the minimal polynomial is the sum of all indices.) Define a subspace Yi by
This gives the decomposition
where l is the number of distinct eigenvalues of A. Intuitively, we glob together the Jordan block invariant subspaces corresponding to the same eigenvalue. In the extreme case where A is a multiple of the identity matrix we have k = n and l = 1.
The projection onto Yi and along all the other Yj ( j ≠ i ) is called the spectral projection of A at λi and is usually denoted by P(λi ; A). Spectral projections are mutually orthogonal in the sense that P(λi ; A) P(λj ; A) = 0 if i ≠ j. Also they commute with A and their sum is the identity matrix. Replacing every λi in the Jordan matrix J by one and zeroing all other entries gives P(λi ; J), moreover if U J U−1 is the similarity transformation such that A = U J U−1 then P(λi ; A) = U P(λi ; J) U−1. They are not confined to finite dimensions. See below for their application to compact operators, and in holomorphic functional calculus for a more general discussion.
Comparing the two decompositions, notice that, in general, l ≤ k. When A is normal, the subspaces Xi's in the first decomposition are one-dimensional and mutually orthogonal. This is the spectral theorem for normal operators. The second decomposition generalizes more easily for general compact operators on Banach spaces.
It might be of interest here to note some properties of the index, ν(λ). More generally, for a complex number λ, its index can be defined as the least non-negative integer ν(λ) such that
So ν(λ) > 0 if and only if λ is an eigenvalue of A. In the finite-dimensional case, ν(λ) ≤ the algebraic multiplicity of λ.
Plane (flat) normal form
The Jordan form is used to find a normal form of matrices up to conjugacy such that normal matrices make up an algebraic variety of a low fixed degree in the ambient matrix space.
Sets of representatives of matrix conjugacy classes for Jordan normal form or rational canonical forms in general do not constitute linear or affine subspaces in the ambient matrix spaces.
Vladimir Arnold posed[15] a problem: Find a canonical form of matrices over a field for which the set of representatives of matrix conjugacy classes is a union of affine linear subspaces (flats). In other words, map the set of matrix conjugacy classes injectively back into the initial set of matrices so that the image of this embedding—the set of all normal matrices, has the lowest possible degree—it is a union of shifted linear subspaces.
It was solved for algebraically closed fields by Peteris Daugulis.[16] The construction of a uniquely defined plane normal form of a matrix starts by considering its Jordan normal form.
Матричные функции
Iteration of the Jordan chain motivates various extensions to more abstract settings. For finite matrices, one gets matrix functions; this can be extended to compact operators and the holomorphic functional calculus, as described further below.
The Jordan normal form is the most convenient for computation of the matrix functions (though it may be not the best choice for computer computations). Let f(z) be an analytical function of a complex argument. Applying the function on a n×n Jordan block J with eigenvalue λ results in an upper triangular matrix:
so that the elements of the k-th superdiagonal of the resulting matrix are . For a matrix of general Jordan normal form the above expression shall be applied to each Jordan block.
The following example shows the application to the power function f(z)=zn:
where the binomial coefficients are defined as . For integer positive n it reduces to standard definition of the coefficients. For negative n the identity may be of use.
Компактные операторы
A result analogous to the Jordan normal form holds for compact operators on a Banach space. One restricts to compact operators because every point x in the spectrum of a compact operator T is an eigenvalue; The only exception is when x is the limit point of the spectrum. This is not true for bounded operators in general. To give some idea of this generalization, we first reformulate the Jordan decomposition in the language of functional analysis.
Holomorphic functional calculus
Let X be a Banach space, L(X) be the bounded operators on X, and σ(T) denote the spectrum of T ∈ L(X). The holomorphic functional calculus is defined as follows:
Fix a bounded operator T. Consider the family Hol(T) of complex functions that is holomorphic on some open set G containing σ(T). Let Γ = {γi} be a finite collection of Jordan curves such that σ(T) lies in the inside of Γ, we define f(T) by
The open set G could vary with f and need not be connected. The integral is defined as the limit of the Riemann sums, as in the scalar case. Although the integral makes sense for continuous f, we restrict to holomorphic functions to apply the machinery from classical function theory (for example, the Cauchy integral formula). The assumption that σ(T) lie in the inside of Γ ensures f(T) is well defined; it does not depend on the choice of Γ. The functional calculus is the mapping Φ from Hol(T) to L(X) given by
We will require the following properties of this functional calculus:
- Φ extends the polynomial functional calculus.
- The spectral mapping theorem holds: σ(f(T)) = f(σ(T)).
- Φ is an algebra homomorphism.
The finite-dimensional case
In the finite-dimensional case, σ(T) = {λi} is a finite discrete set in the complex plane. Let ei be the function that is 1 in some open neighborhood of λi and 0 elsewhere. By property 3 of the functional calculus, the operator
is a projection. Moreover, let νi be the index of λi and
The spectral mapping theorem tells us
has spectrum {0}. By property 1, f(T) can be directly computed in the Jordan form, and by inspection, we see that the operator f(T)ei(T) is the zero matrix.
By property 3, f(T) ei(T) = ei(T) f(T). So ei(T) is precisely the projection onto the subspace
The relation
implies
where the index i runs through the distinct eigenvalues of T. This is the invariant subspace decomposition
given in a previous section. Each ei(T) is the projection onto the subspace spanned by the Jordan chains corresponding to λi and along the subspaces spanned by the Jordan chains corresponding to λj for j ≠ i. In other words, ei(T) = P(λi;T). This explicit identification of the operators ei(T) in turn gives an explicit form of holomorphic functional calculus for matrices:
- For all f ∈ Hol( T),
Notice that the expression of f(T) is a finite sum because, on each neighborhood of λi, we have chosen the Taylor series expansion of f centered at λi.
Poles of an operator
Let T be a bounded operator λ be an isolated point of σ(T). (As stated above, when T is compact, every point in its spectrum is an isolated point, except possibly the limit point 0.)
The point λ is called a pole of operator T with order ν if the resolvent function RT defined by
has a pole of order ν at λ.
We will show that, in the finite-dimensional case, the order of an eigenvalue coincides with its index. The result also holds for compact operators.
Consider the annular region A centered at the eigenvalue λ with sufficiently small radius ε such that the intersection of the open disc Bε(λ) and σ(T) is {λ}. The resolvent function RT is holomorphic on A. Extending a result from classical function theory, RT has a Laurent series representation on A:
where
- and C is a small circle centered at λ.
By the previous discussion on the functional calculus,
- where is 1 on and 0 elsewhere.
But we have shown that the smallest positive integer m such that
- and
is precisely the index of λ, ν(λ). In other words, the function RT has a pole of order ν(λ) at λ.
Численный анализ
If the matrix A has multiple eigenvalues, or is close to a matrix with multiple eigenvalues, then its Jordan normal form is very sensitive to perturbations. Consider for instance the matrix
If ε = 0, then the Jordan normal form is simply
However, for ε ≠ 0, the Jordan normal form is
This ill conditioning makes it very hard to develop a robust numerical algorithm for the Jordan normal form, as the result depends critically on whether two eigenvalues are deemed to be equal. For this reason, the Jordan normal form is usually avoided in numerical analysis; the stable Schur decomposition[17] or pseudospectra[18] are better alternatives.
Смотрите также
- Canonical basis
- Canonical form
- Frobenius normal form
- Jordan matrix
- Jordan–Chevalley decomposition
- Matrix decomposition
- Modal matrix
- Weyr canonical form
Заметки
- ^ Shilov defines the term Jordan canonical form and in a footnote says that Jordan normal form is synonymous. These terms are sometimes shortened to Jordan form. (Shilov) The term Classical canonical form is also sometimes used in the sense of this article. (James & James, 1976)
- ^ a b Holt & Rumynin (2009, p. 9)
- ^ a b Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 310–316)
- ^ a b Golub & Van Loan (1996, p. 355)
- ^ a b Nering (1970, pp. 118–127)
- ^ Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 270–274)
- ^ Golub & Van Loan (1996, p. 353)
- ^ Nering (1970, pp. 113–118)
- ^ Brechenmacher, "Histoire du théorème de Jordan de la décomposition matricielle (1870-1930). Formes de représentation et méthodes de décomposition", Thesis, 2007
- ^ Cullen (1966, p. 114)
- ^ Franklin (1968, p. 122)
- ^ a b Horn & Johnson (1985, §3.2.1)
- ^ Bronson (1970, pp. 189,194)
- ^ Horn & Johnson (1985, Theorem 3.4.5)
- ^ Vladimir I. Arnold (Ed.) (2004). Arnold, Vladimir I (ed.). Arnold's problems. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. p. 127. doi:10.1007/b138219. ISBN 978-3-540-20748-1.CS1 maint: extra text: authors list (link)
- ^ Peteris Daugulis (2012). "A parametrization of matrix conjugacy orbit sets as unions of affine planes". Linear Algebra and Its Applications. 436 (3): 709–721. arXiv:1110.0907. doi:10.1016/j.laa.2011.07.032. S2CID 119649768.
- ^ See Golub & Van Loan (2014), §7.6.5; or Golub & Wilkinson (1976) for details.
- ^ See Golub & Van Loan (2014), §7.9
Рекомендации
- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
- Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
- Cullen, Charles G. (1966), Matrices and Linear Transformations, Reading: Addison-Wesley, LCCN 66021267
- Dunford, N.; Schwartz, J. T. (1958), Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience
- Finkbeiner II, Daniel T. (1978), Introduction to Matrices and Linear Transformations (3rd ed.), W. H. Freeman and Company
- Franklin, Joel N. (1968), Matrix Theory, Englewood Cliffs: Prentice-Hall, LCCN 68016345
- Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8
- Golub, Gene H.; Wilkinson, J. H. (1976). "Ill-conditioned eigensystems and the computation of the Jordan normal form". SIAM Review. 18 (4): 578–619. doi:10.1137/1018113.
- Holt, Derek; Rumynin, Dmitriy (2009), Algebra I – Advanced Linear Algebra (MA251) Lecture Notes (PDF)
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
- James, Glenn; James, Robert C. (1976), Mathematics Dictionary (2nd ed.), Van Nostrand Reinhold
- MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, Macmillan Publishers
- Michel, Anthony N.; Herget, Charles J. (1993), Applied Algebra and Functional Analysis, Dover Publications
- Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646
- Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O. (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, ISBN 978-3-642-30993-9
- Shilov, Georgi E. (1977), Linear Algebra, Dover Publications
- Jordan Canonical Form article at mathworld.wolfram.com