В математике , А матричный блок или распределяли матрица представляет собой матрицу , которая интерпретируется как будто они были разбиты на секции , называемые блоки или подматрицы . [1] Интуитивно матрица, интерпретируемая как блочная матрица, может быть визуализирована как исходная матрица с набором горизонтальных и вертикальных линий, которые разбивают ее или разбивают на набор более мелких матриц. [2] Любая матрица может быть интерпретирована как блочная матрица одним или несколькими способами, причем каждая интерпретация определяется тем, как ее строки и столбцы разделены.
Это понятие можно уточнить для от матрица путем разделения в коллекцию , а затем разбиение в коллекцию . Исходная матрица затем рассматривается как «сумма» этих групп в том смысле, чтоэлемент исходной матрицы соответствует 1 к 1 некоторому зачетная запись некоторых, где а также .
Алгебра блочных матриц возникает, как правило, из двойных произведений в категориях матриц. [3]
Пример
Матрица
может быть разделен на четыре блока 2 × 2
Тогда разделенная матрица может быть записана как
Блочное умножение матриц
Можно использовать блочно-разбитое матричное произведение, которое включает только алгебру на подматрицах факторов. Однако разделение факторов не является произвольным и требует «согласованных разделов» [4] между двумя матрицами. а также таким образом, чтобы были определены все продукты подматрицы, которые будут использоваться. [5] Учитывая матрица с участием рядные перегородки и перегородки колонн
и матрица с участием рядные перегородки и перегородки колонн
которые совместимы с разделами , матричное произведение
может формироваться блочно, давая как матрица с рядные перегородки и колонные перегородки. Матрицы в результирующей матрице рассчитываются путем умножения:
Или, используя нотацию Эйнштейна, которая неявно суммирует повторяющиеся индексы:
Обращение блочной матрицы
Если матрица разбита на четыре блока, ее можно поблочно инвертировать следующим образом:
где и D является квадратом произвольного размера, а В и С являются созвучны для разделения. Кроме того, A и дополнение Шура к A в P : P / A = D - CA −1 B должны быть обратимы. [6]
Эквивалентно, переставляя блоки:
Здесь D и дополнение Шура к D в P : P / D = A - BD −1 C должны быть обратимы.
Если A и D оба обратимы, то:
Согласно тождеству Вайнштейна – Ароншайна одна из двух матриц в блочно-диагональной матрице обратима в точности тогда, когда другая обратима.
Блочно-диагональные матрицы
Блок - диагональная матрица представляет собой блок - матрица , которая представляет собой квадратную матрицу таким образом, что основные диагональных блоки квадратные матриц и все недиагональные блоки нулевых матриц. То есть блочно-диагональная матрица A имеет вид
где A k - квадратная матрица для всех k = 1, ..., n . Другими словами, матрица является прямой суммой из A 1 , ..., А п . Его также можно обозначить как A 1 ⊕ A 2 ⊕ ... ⊕ A n или diag ( A 1 , A 2 , ..., A n ) (последний - тот же формализм, который используется для диагональной матрицы ). Любую квадратную матрицу можно тривиально рассматривать как блочно-диагональную матрицу только с одним блоком.
Для определителя и следа выполняются следующие свойства
Блочно-диагональная матрица обратима тогда и только тогда, когда каждый из ее главных диагональных блоков обратим, и в этом случае ее обратная матрица является другой блочно-диагональной матрицей, заданной формулой
Собственные значения и собственные векторы просто те из а также и и комбинированный.
Блочные трехдиагональные матрицы
Блок трехдиагональная матрица является еще специальный блок матрицы, который так же , как блок диагональной матрицы квадратной матрицы , имеющей квадратные матрицы (блоки) в нижней диагонали, главной диагонали и верхней диагонали, причем все остальные блоки быть нулевые матрицы. По сути, это трехдиагональная матрица, но вместо скаляров есть подматрицы. Блочная трехдиагональная матрица A имеет вид
где A k , B k и C k - квадратные подматрицы нижней, главной и верхней диагонали соответственно.
Блочные трехдиагональные матрицы часто встречаются при численном решении инженерных задач (например, вычислительной гидродинамики ). Доступны оптимизированные численные методы факторизации LU и, следовательно, эффективные алгоритмы решения для систем уравнений с блочной трехдиагональной матрицей в качестве матрицы коэффициентов. Алгоритм Томаса , используемый для эффективного решения систем уравнений , включающих трехдиагональную матрицу , также может быть применен с помощью матричных операций , чтобы блокировать трехдиагональные (смотрите также разложение Блока LU ).
Блочные матрицы Теплица
Блок Теплица матрица является еще специальным блоком матрицей, которая содержит блоки, которые повторяются вниз по диагонали матрицы, в качестве матрицы Теплицы имеет элементы повторяются вниз по диагонали. Отдельные элементы блочной матрицы Aij также должны быть тёплицевой матрицей.
Блочная теплицева матрица A имеет вид
Блокировать транспонирование
Специальная форма транспонирования матрицы также может быть определена для блочных матриц, когда отдельные блоки переупорядочиваются, но не транспонируются. Позволять быть блочная матрица с блоки , блок транспонирует это блочная матрица с участием блоки . [7]
Как и в случае с обычным оператором трассировки, транспонирование блока - это линейное отображение, такое что. Однако в целом собственность не удерживается, если только блоки а также добираться.
Прямая сумма
Для любых произвольных матриц (размера м × п ) и B (размера р × д ), мы имеем прямую сумму в A и B , обозначаемое A B и определяется как
Например,
Эта операция естественным образом обобщается на массивы произвольных размеров (при условии, что A и B имеют одинаковое количество измерений).
Обратите внимание, что любой элемент в прямой сумме двух векторных пространств матриц может быть представлен как прямая сумма двух матриц.
Заявление
В терминах линейной алгебры использование блочной матрицы соответствует линейному отображению, которое мыслится в терминах соответствующих «пучков» базисных векторов . Это снова совпадает с идеей различения разложений на прямую сумму области и диапазона . Всегда особенно важно, если блоком является нулевая матрица ; который несет информацию, которую слагаемое отображает в подсумму.
Учитывая интерпретацию с помощью линейных отображений и прямых сумм, существует специальный тип блочной матрицы, который встречается для квадратных матриц (случай m = n ). Для тех , мы можем предположить , интерпретацию как эндоморфизму в качестве п - мерного пространства V ; блочная структура, в которой группировка строк и столбцов одинакова, важна, потому что она соответствует наличию единственного разложения прямой суммы на V (а не двух). В этом случае, например, все диагональные блоки в очевидном смысле квадратные. Такая структура требуется для описания жордановой нормальной формы .
Этот метод используется для сокращения вычислений матриц, разложения столбцов на строки и многих приложений информатики , включая проектирование микросхем СБИС . Примером может служить алгоритм Штрассена для быстрого умножения матриц , а также кодирование Хэмминга (7,4) для обнаружения ошибок и восстановления при передаче данных.
Смотрите также
- Произведение Кронекера (матричное прямое произведение, приводящее к блочной матрице)
Заметки
- ^ Eves, Говард (1980). Элементарная теория матриц (переиздание ред.). Нью-Йорк: Дувр. п. 37 . ISBN 0-486-63946-0. Проверено 24 апреля 2013 года .
Мы обнаружим, что иногда удобно разбивать матрицу на прямоугольные блоки элементов. Это приводит нас к рассмотрению так называемых секционированных , или блочных , матриц .
- ^ Антон, Ховард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили. п. 30. ISBN 0-471-58742-7.
Матрица может быть разделена или разбивается на более мелкие матрицы путем вставки горизонтальных и вертикальные правил между выбранными строками и столбцами.
- ^ Маседо, HD; Оливейра, Дж. Н. (2013). "Набор линейной алгебры: двупродукт-ориентированный подход". Наука компьютерного программирования . 78 (11): 2160–2191. arXiv : 1312.4818 . DOI : 10.1016 / j.scico.2012.07.012 .
- ^ Евс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц (переиздание ред.). Нью-Йорк: Дувр. п. 37 . ISBN 0-486-63946-0. Проверено 24 апреля 2013 года .
Разбиение как в теореме 1.9.4, называется созвучно раздел из A и B .
- ^ Антон, Ховард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили. п. 36. ISBN 0-471-58742-7.
... при условии, что размеры подматриц A и B таковы, что указанные операции могут быть выполнены.
- ^ Бернштейн, Деннис (2005). Матричная математика . Издательство Принстонского университета. п. 44. ISBN 0-691-11802-7.
- ^ Макки, Д. Стивен (2006). Структурированные линеаризации для матричных полиномов (PDF) (Диссертация). Манчестерский университет. ISSN 1749-9097 . OCLC 930686781 .
Рекомендации
- Стрэнг, Гилберт (1999). «Лекция 3: Умножение и обратные матрицы» . Посуда открытого курса Массачусетского технологического института. 18: 30–21: 10.