Матрица Жордана

В математической дисциплине теории матриц , в жордановском над кольцом $R$ (чьи тождества являются нуль 0 и одна 1) является матрица состоит из нулей всюду по диагонали, которая заполняется с фиксированным элементом , за исключением , и для от диагонали , который состоит из единиц. Концепция названа в честь Камиллы Джордан . $\lambda \in R$

{\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}

Определение [ править ]

Каждая жорданова клетка, заданная своей размерностью n и собственным значением $λ,$ обозначается как $J λ, n$ .

Любая блочно-диагональная матрица , блоки которой являются жордановыми блоками, называется жордановой матрицей ; с использованием символа или символа " $диагональ$ " $($ $n$ $1$ $+ \dots +$ $n$ $r$ $) \times ($ $n$ $1$ $+ \dots +$ $n$ $r$ $)$ блочная диагональная квадратная матрица, состоящая из $r$ диагональных блоков, где первый - $J$ $λ$ $1$ $,$ $n$ $1$ , второй - $J$ $λ$ $2$ $,$ $n$ $2$ и так далее, пока $r-$ й не станет $J$ $λ$ $r$ $\oplus$ $, n r$ , можно компактно обозначить какилисоответственно. $J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}$ $\mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)$

Например, матрица

J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]

является жордановой матрицей $10 \times 10$ с блоком $3 \times 3$ с собственным значением $0$ , двумя блоками $2 \times 2$ с собственным значением, являющимся мнимой единицей $i$ , и блоком $3 \times 3$ с собственным значением 7. Его структура блока Жордана также может быть записана как или $diag ($ $J$ $0,3$ $,$ $J$ $i$ $, 2$ $,$ $J$ $i$ $, 2$ $,$ $J$ $7,3$ $)$ . $J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}$

Линейная алгебра [ править ]

Любая квадратная матрица $A$ размера $n \times n$ , элементы которой находятся в алгебраически замкнутом поле $K$ , подобна жордановой матрице $J$ , также содержащейся в , которая уникальна с точностью до перестановки самих ее диагональных блоков. $J$ называется жордановой нормальной формой алгебры $A$ и соответствует обобщению процедуры диагонализации. ^[1]^[2]^[3] диагонализируемы матрица подобна, на самом деле, в частном случае жордановой матрицы: матрица, блоки все $1 \times 1$ . ^[4]^[5]^[6] $\mathbb {M} _{n}(K)$

В более общем плане , учитывая матрицу Жордана , то есть, у которого $к$ - й диагональный блок, $1 \leq$ $K$ $\leq$ $N$ является Иордана блочного $J$ $Л$ $к$ $,$ $м$ $к$ и, диагональные элементы которой $Х$ $K$ не могут быть все различны, то геометрическая кратность из для матрицы $J$ , обозначенный как $gmul$ $J$ $λ$ , соответствует количеству жордановых блоков, собственное значение которых равно $λ$ . В то время как индекс собственного значения $λ$ для $J$ , обозначенного как $idx$ $J$ $J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}$ $\lambda \in K$ $λ$ , определяется как размерность наибольшей жордановой клетки, связанной с этим собственным значением.

То же самое для всех матриц , похожих на $J$ , так $IDX$ $λ$ может быть определен соответствующим образом по отношению к нормальной форме Жордана из $A$ для любого из его собственных значений . В этом случае можно проверить , что индекс $Х$ для $А$ равен ее кратность как корень из минимального полинома из $А$ ( в то время как, по определению, его алгебраическая кратность для $А$ , $MUL$ $А$ $Х$ , является его кратностью как корень характеристический полином от $\lambda \in \mathrm {spec} A$ $\lambda$ $А$ , т.е. ). Эквивалентным необходимым и достаточным условием для диагонализации $A$ в $K$ является то, что все его собственные значения имеют индекс, равный $1$ , т. Е. Его минимальный многочлен имеет только простые корни. $\det(A-xI)\in K[x]$

Обратите внимание, что знание спектра матрицы со всеми ее алгебраическими / геометрическими кратностями и индексами не всегда позволяет вычислить ее нормальную форму Жордана (это может быть достаточным условием только для спектрально простых, обычно низкоразмерных матриц): разложение Жордана это, в общем, сложная вычислительная задача. С точки зрения векторного пространства , разложение Жордана эквивалентно поиску ортогонального разложения (т. Е. Через прямые суммы собственных подпространств, представленных жордановыми блоками) области, основу которой составляют соответствующие обобщенные собственные векторы .

Функции матриц [ править ]

Пусть (т.е. $п$ $\times$ $п$ комплексная матрица) и быть изменение базисной матрицы к жордановой нормальной форме из $A$ , т.е. $A$ $=$ $C$ $-1$ $JC$ . Пусть теперь $е$ $($ $г$ $)$ будет голоморфна на открытом множестве $Q$ , таким образом, что , т.е. спектр матрицы содержится внутри области голоморфности из $е$ . Позволять $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ $C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ $\mathrm {spec} A\subset {\mathit {\Omega }}\subseteq \mathbb {C}$

f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}

- разложение $f$ в степенной ряд вокруг , которое в дальнейшем для простоты предполагается равным 0 . Затем матрица $f$ $($ $A$ $)$ определяется с помощью следующих формальных степенных рядов $z_{0}\in {\mathit {\Omega }}\setminus \mathrm {spec} A$

f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}

и абсолютно сходится относительно евклидовой нормы в . Иными словами, $е$ $($ $)$ сходится абсолютно для каждой квадратной матрицы, спектральный радиус меньше , чем радиус сходимости по $е$ вокруг $0$ и равномерно сходится на любых компактных подмножеств , удовлетворяющих этим свойством в матричной группы Ли топологии. $\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ $\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$

Нормальная форма Джордана позволяет вычисление функций от матриц без явного вычисления бесконечного ряда , который является одним из главных достижений матриц Жордана. Используя тот факт, что $k-$ я степень ( ) диагональной блочной матрицы является диагональной блочной матрицей, блоки которой являются $k-$ й степенью соответствующих блоков, т. Е. , И что $A$ $k$ $=$ $C$ $-1$ $J$ $k$ $C$ , указанная выше степень матрицы серия становится $k\in \mathbb {N} _{0}$ $\left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots$

f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C

где последний ряд не нужно явно вычислять через степенные ряды каждой жордановой клетки. Фактически, если любая голоморфная функция жордановой клетки $f$ $($ $J$ $λ,$ $n$ $)$ является следующей верхнетреугольной матрицей : $\lambda \in {\mathit {\Omega }}$

f(J_{\lambda ,n})={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-2}&a_{n-1}\\0&a_{0}&a_{1}&\cdots &a_{n-3}&a_{n-2}\\0&0&a_{0}&\cdots &a_{n-4}&a_{n-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &a_{0}&a_{1}\\0&0&0&\cdots &0&a_{0}\\\end{bmatrix}}.

Как следствие этого, вычисление любых функций матрицы является простым, если известны ее жорданова нормальная форма и матрица замены базиса. Кроме того, $spec f (A) = f (spec A)$ , то есть каждое собственное значение соответствует собственному значению , но, как правило, оно имеет различную алгебраическую кратность , геометрическую кратность и индекс. Однако алгебраическая кратность может быть вычислена следующим образом: $\lambda \in \mathrm {spec} A$ $f(\lambda )\in \mathrm {spec} f(A)$

{\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .

Функция $е (Т)$ из линейного преобразования $Т$ между векторными пространствами может быть определены аналогичным образом в соответствии с голоморфным функциональным исчислением , где банахова пространство и римановая поверхность теория играют фундаментальную роль. В случае конечномерных пространств обе теории полностью совпадают.

Динамические системы [ править ]

Теперь предположим, что (сложная) динамическая система просто определяется уравнением

{\dot {\mathbf {z} }}(t)=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),

\mathbf {z} (0)=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},

где - ( $n-$ мерная) кривая параметризации орбиты на римановой поверхности динамической системы, тогда как $A$ $($ $c$ $)$ - комплексная матрица размера $n$ $\times$ $n$ , элементы которой являются комплексными функциями $d$ -мерного параметра . $\mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}$ ${\mathcal {R}}$ $\mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}$

Даже если (т.е. $A$ непрерывно зависит от параметра $c$ ) жорданова нормальная форма матрицы непрерывно деформируется почти всюду на, но, в общем, не всюду: существует некоторое критическое подмногообразие, на котором жорданова форма резко меняет свою структуру всякий раз, когда параметр пересекает или просто «путешествует» по нему ( монодромия ). Такие изменения означают, что несколько жордановых блоков (принадлежащих разным собственным значениям или нет) объединяются в уникальный жордановый блок или наоборот (т.е. один жордановый блок разделяется на два или более разных). Многие аспекты теории бифуркаций $A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)$ $\mathbb {C} ^{d}$ $\mathbb {C} ^{d}$ как для непрерывных, так и для дискретных динамических систем можно интерпретировать с помощью анализа функциональных жордановых матриц.

С точки зрения динамики касательного пространства это означает, что ортогональное разложение фазового пространства динамической системы изменяется, и, например, разные орбиты приобретают периодичность, или теряют ее, или переходят от одного вида периодичности к другому (например, удвоение периода , см. логистическую карту ).

В предложении качественное поведение такой динамической системы может существенно измениться по мере версальной деформации жордановой нормальной формы $A (c)$ .

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения [ править ]

Простейшим примером динамической системы является система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т.е. пусть и : $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ $\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}$

{\dot {\mathbf {z} }}(t)=A\mathbf {z} (t),

\mathbf {z} (0)=\mathbf {z} _{0},

прямое решение которой в замкнутой форме включает вычисление матричной экспоненты :

\mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.

Другой способ, при условии , что решение ограничивается локальным пространством Лебега на $п$ - мерные векторных полей , является использование его преобразования Лапласа . В таком случае $\mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}$ $\mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)$

\mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.

Матрица - функция $( - SI) -1$ называются резольвентной матрицей из дифференциального оператора . Он мероморфен по отношению к комплексному параметру, поскольку его матричные элементы являются рациональными функциями, знаменатель которых для всех равен $det ($ $A$ $-$ $sI$ $)$ . Его полярные особенности являются собственными значениями оператора $A$ , порядок которых равен их индексу для него, т . Е. ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A$ $s\in \mathbb {C}$ $\mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda$

См. Также [ править ]

Разложение Жордана
Нормальная форма Джордана
Голоморфное функциональное исчисление
Матрица экспоненциальная
Логарифм матрицы
Динамическая система
Теория бифуркации
Пространство состояний (элементы управления)

Заметки [ править ]

^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 310-316)
↑ Голуб и Ван Лоан (1996 , стр. 317)
^ Nering (1970 , стр. 118-127)
^ Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 270-274)
↑ Голуб и Ван Лоан (1996 , с. 316)
^ Nering (1970 , стр. 113-118)

Ссылки [ править ]

Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
Golub, Gene H .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN 76091646

[1] Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 310-316)

[2] Голуб и Ван Лоан (1996 , стр. 317)

[3] Nering (1970 , стр. 118-127)

[4] Борегард & Fraleigh (1973 , стр. 270-274)

[5] Голуб и Ван Лоан (1996 , с. 316)

[6] Nering (1970 , стр. 113-118)

[1]