Матричное сходство

В линейной алгебре , два п матрицы с размерностью п матриц и В называются аналогично , если существуют обратимых н матрицы с размерностью п матрица Р таким , что

${\ displaystyle B = P ^ {- 1} AP.}$

Подобные матрицы представляют собой одну и ту же линейную карту с двумя (возможно) разными базами , причем P является заменой базовой матрицы. ^{[1] [2]}

Преобразование ↦ Р ^-1 АР называется преобразование подобия или конъюгации матрицы A . В общей линейной группе подобие, следовательно, то же самое, что и сопряженность , и подобные матрицы также называются сопряженными ; Однако в данной подгруппе H общей линейной группы, понятие сопряженности может быть более строгим , чем сходства, поскольку она требует , чтобы Р быть выбрана лежат в H .

Пример мотивации [ править ]

При определении линейного преобразования может случиться так, что смена базиса может привести к более простой форме того же преобразования. Например, матрица, представляющая поворот в ℝ ^3, когда ось вращения не выровнена с осью координат, может быть сложно вычислить. Если бы ось вращения была выровнена с положительной осью z , то это было бы просто

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$,

где - угол поворота. В новой системе координат преобразование будет записано как ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle y'=Sx'}$,

где x ' и y' - соответственно исходный и преобразованный векторы в новом базисе, содержащем вектор, параллельный оси вращения. В исходном базисе преобразование было бы записано как

${\displaystyle y=Tx}$,

где векторы x и y и неизвестная матрица преобразования T находятся в исходном базисе. Чтобы записать T в терминах более простой матрицы, мы используем матрицу замены базиса P, которая преобразует x и y как и :${\displaystyle x'=Px}$${\displaystyle y'=Py}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\&\Rightarrow &Py&=SPx\\&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}}$

Таким образом, матрица в исходном базисе имеет вид . Преобразование в исходном базисе оказывается произведением трех простых для вывода матриц. Фактически, преобразование подобия работает в три этапа: переход на новый базис ( P ), выполнение простого преобразования ( S ) и возврат к старому базису ( P ^-1 ).${\displaystyle T=P^{-1}SP}$

Свойства [ править ]

Подобие - это отношение эквивалентности на пространстве квадратных матриц.

Поскольку матрицы подобны тогда и только тогда, когда они представляют один и тот же линейный оператор относительно (возможно) разных баз, аналогичные матрицы имеют все свойства своего общего базового оператора:

• Классифицировать
• Характеристический многочлен и атрибуты, которые могут быть получены из него:
  • Детерминант
  • След
  • Собственные значения и их алгебраические кратности
• Геометрические множественности собственных значений (но не собственных подпространств, которые преобразуются в соответствии с используемой матрицей изменения базы P ).
• Минимальный многочлен
• Нормальная форма Фробениуса
• Жорданова нормальная форма с точностью до перестановки жордановых блоков
• Индекс нильпотентности
• Элементарные дивизоры , образующие полный набор инвариантов подобия матриц над областью главных идеалов

Из - за этого, для данной матрицы А , один заинтересован в поиске простого «нормальная форма» B , который похож на А -The исследование А сводится к изучению более простой матрице B . Например, матрица A называется диагонализуемой, если она похожа на диагональную матрицу . Не все матрицы диагонализуемы, но по крайней мере над комплексными числами (или любым алгебраически замкнутым полем ) каждая матрица похожа на матрицу в жордановой форме. Ни одна из этих форм не уникальна (диагональные элементы или жордановы блоки можно переставлять), поэтому они не являются действительно нормальными формами; более того, их определение зависит от способности разложить на множители минимальный или характеристический многочлен A (что эквивалентно нахождению его собственных значений). Рациональная каноническая форма не имеет эти недостатки: она существует в любой области, является поистине уникальным, и она может быть вычислена с использованием только арифметические операций в поле; A и B подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую рациональную каноническую форму. Рациональная каноническая форма определяется элементарными делителями A; они могут быть немедленно считаны из матрицы в жордановой форме, но они также могут быть определены непосредственно для любой матрицы путем вычисления нормальной формы Смита по кольцу многочленов матрицы (с полиномиальными элементами) XI _n - A ( тот же, определитель которого определяет характеристический многочлен). Обратите внимание, что эта нормальная форма Смита не является нормальной формой самого A ; кроме того, он не похож на XI _n - A , а получается из последнего левым и правым умножением на разные обратимые матрицы (с полиномиальными элементами).

Сходство матриц не зависит от базового поля: если L - поле, содержащее K в качестве подполя , а A и B - две матрицы над K , то A и B подобны матрицам над K тогда и только тогда, когда они подобны матриц над L . Это объясняется тем , что рациональная каноническая форма над К является также рациональной канонической формой над L . Это означает, что можно использовать жордановы формы, которые существуют только над большим полем, чтобы определить, похожи ли данные матрицы.

В определении сходства, если матрица Р может быть выбран в матрице перестановок , то и B является перестановкой-подобна; если Р может быть выбран , чтобы быть унитарной матрицей , то и Б являются унитарно эквивалентными. Спектральная теорема говорит , что каждая нормальная матрица унитарно эквивалентна некоторой диагональной матрице. Теорема Шпехта утверждает, что две матрицы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они удовлетворяют определенным равенствам следов.

См. Также [ править ]

• Канонические формы
• Матрица сравнения
• Матричная эквивалентность

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: Введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN  70097490
• Хорн и Джонсон, Матричный анализ, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (Сходство обсуждается во многих местах, начиная со страницы 44.)