Нормальная форма Фробениуса

В линейной алгебре , то Фробениус нормальная форма или рациональная каноническая форма из квадратной матрицы А с элементами из поля F является канонической формой для матриц , полученных сопряжением обратимых матриц над F . Форма отражает минимальное разложение векторного пространства на подпространства, которые являются циклическими для A (т. Е. Натянутыми на некоторый вектор и его повторяющиеся изображения под A ). Так как только одна нормальная форма может быть достигнута с заданной матрицы (откуда «канонический»), матрица В это похоже на Aесли и только если оно имеет ту же рациональную каноническую форму, A . Поскольку эту форму можно найти без каких-либо операций, которые могут измениться при расширении поля F (отсюда и «рациональное»), в частности без факторизации многочленов, это показывает, что сходство двух матриц не меняется при расширении поля. Форма названа в честь немецкого математика Фердинанда Георга Фробениуса .

Некоторые авторы используют термин рациональная каноническая форма для обозначения несколько иной формы, которую правильнее назвать первичной рациональной канонической формой . Вместо того, чтобы разлагаться на минимальное количество циклических подпространств, первичная форма распадается на максимальное количество циклических подпространств. Она также определена над F , но имеет несколько иные свойства: найти форму требует факторизации полиномов , и как следствие первичной рациональной канонической формы может измениться , когда та же матрица считается оконченным поле расширения F . В этой статье в основном рассматривается форма, которая не требует факторизации, и явно упоминается «первичная», когда имеется в виду форма, использующая факторизацию.

Мотивация

При попытке выяснить, действительно ли две квадратные матрицы A и Bпохожи, один подход состоит в том, чтобы попытаться для каждого из них разложить векторное пространство, насколько это возможно, на прямую сумму стабильных подпространств и сравнить соответствующие действия на этих подпространствах. Например, если оба диагонализуемы, то можно взять разложение на собственные подпространства (для которых действие настолько простое, насколько это возможно, а именно скаляр), и тогда сходство может быть определено путем сравнения собственных значений и их кратностей. Хотя на практике это часто бывает достаточно проницательным подходом, у этого метода есть различные недостатки. Во-первых, требуется найти все собственные значения, скажем, как корни характеристического полинома, но может оказаться невозможным дать для них явное выражение. Во-вторых, полный набор собственных значений может существовать только в расширении поля, над которым работаете,и тогда нельзя получить доказательства подобия по исходному полю. Наконец-тоA и B могут не быть диагонализуемыми даже над этим большим полем, и в этом случае вместо этого нужно использовать разложение на обобщенные собственные подпространства и, возможно, на блоки Жордана.

Но получение такого точного разложения не обязательно, чтобы просто решить, похожи ли две матрицы. Рациональная каноническая форма вместо этого основана на использовании разложения прямой суммы на стабильные подпространства, которые являются максимально большими, при этом позволяя очень простое описание действия на каждом из них. Эти подпространства должны быть сгенерированы одним ненулевым вектором v и всеми его изображениями путем повторного применения линейного оператора, связанного с матрицей; такие подпространства называются циклическими подпространствами (по аналогии с циклическими подгруппами), и они, очевидно, устойчивы относительно линейного оператора. Базис такого подпространства получается взятием v и его последовательных образов, пока они линейно независимы. Матрица линейного оператора относительно такого базиса естьсопутствующая матрица одночленного многочлена; этот многочлен (минимальный многочлен оператора, ограниченного подпространством, понятие аналогично понятию порядка циклической подгруппы) определяет действие оператора на циклическом подпространстве с точностью до изоморфизма и не зависит от выбора вектор v, порождающий подпространство.

Разложение прямой суммой на циклические подпространства всегда существует, и его нахождение не требует факторизации многочленов. Однако возможно, что циклические подпространства допускают разложение как прямую сумму меньших циклических подпространств (по существу, по китайской теореме об остатках). Следовательно, просто наличия для обеих матриц некоторого разбиения пространства на циклические подпространства и знания соответствующих минимальных многочленов само по себе недостаточно для определения их подобия. Дополнительное условие накладывается, чтобы гарантировать, что для одинаковых матриц можно получить разложения на циклические подпространства, которые точно совпадают: в списке ассоциированных минимальных многочленов каждый должен делить следующий (а постоянный многочлен 1 запрещается исключать тривиальные циклические подпространства размерности 0 ). Результирующий список многочленов называется инвариантными множителями ( K [ X ] -модуля, определяемого) матрицы, и две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они имеют идентичные списки инвариантных множителей. Рациональная каноническая форма матрицыA получается выражением его на основе, адаптированной к разложению на циклические подпространства, чьи ассоциированные минимальные многочлены являются инвариантными множителями A ; две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую рациональную каноническую форму.

Пример

Рассмотрим следующую матрицу A над Q :

\scriptstyle A={\begin{pmatrix}-1&3&-1&0&-2&0&0&-2\\-1&-1&1&1&-2&-1&0&-1\\-2&-6&4&3&-8&-4&-2&1\\-1&8&-3&-1&5&2&3&-3\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-1&0&0&0\\1&0&0&0&2&0&0&0\\0&0&0&0&4&0&1&0\end{pmatrix}}.

A имеет минимальный многочлен , так что размерность подпространства, порожденного повторяющимися изображениями одного вектора, не превышает 6. Характеристический многочлен равен , который кратен минимальному многочлену на множитель . Всегда существуют векторы такие, что циклическое подпространство, которое они порождают, имеет тот же минимальный многочлен, что и оператор на всем пространстве; действительно, большинство векторов будут обладать этим свойством, и в этом случае так и будет у первого стандартного базисного вектора : векторы для линейно независимы и охватывают циклическое подпространство с минимальным полиномом . Существуют дополнительные стабильные подпространства (размерности 2) к этому циклическому подпространству, и пространство, порожденное векторами $\mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1$ $\chi =X^{8}-X^{7}-5X^{6}+2X^{5}+10X^{4}+2X^{3}-7X^{2}-5X-1$ $X^{2}-X-1$ $e_{1}$ $A^{k}(e_{1})$ $k=0,1,\ldots ,5$ $\mu$ $v=(3,4,8,0,-1,0,2,-1)^{\top }$ и это пример. На самом деле так и есть , поэтому дополнительное подпространство - это циклическое подпространство, порожденное ; он имеет минимальный многочлен . Так как минимальный многочлен всего пространства, то ясно , что нужно разделить (и это легко проверить , что он делает), и мы нашли инвариантные множители и из A . Тогда рациональная каноническая форма матрицы A - это блочно-диагональная матрица с соответствующими сопутствующими матрицами в виде диагональных блоков, а именно $w=(5,4,5,9,-1,1,1,-2)^{\top }$ $A\cdot v=w$ $v$ $X^{2}-X-1$ $\mu$ $X^{2}-X-1$ $\mu$ $X^{2}-X-1$ $\mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1$

\scriptstyle C={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1\\0&0&1&0&0&0&0&-4\\0&0&0&1&0&0&0&-4\\0&0&0&0&1&0&0&2\\0&0&0&0&0&1&0&4\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.

Основа, на которой достигается эта форма, образована приведенными выше векторами , за которыми следует for ; явно это означает, что для $v,w$ $A^{k}(e_{1})$ $k=0,1,\ldots ,5$

\scriptstyle P={\begin{pmatrix}3&5&1&-1&0&0&-4&0\\4&4&0&-1&-1&-2&-3&-5\\8&5&0&-2&-5&-2&-11&-6\\0&9&0&-1&3&-2&0&0\\-1&-1&0&0&0&1&-1&4\\0&1&0&0&0&0&-1&1\\2&1&0&1&-1&0&2&-6\\-1&-2&0&0&1&-1&4&-2\end{pmatrix}}

,

надо $A=PCP^{-1}.$

Общий случай и теория

Устранение основного поля F и конечномерное мерное векторное пространство V над F . Данному многочлену P ∈ F [ X ] соответствует сопутствующая матрица C _P , характеристический многочлен и минимальный многочлен которой равны P ).

Теорема : Пусть V конечномерное векторное пространство над полем F , и квадратная матрица над F . Тогда V (рассматриваемый как F [ X ] -модуль с действием X, заданным A ) допускает изоморфизм F [ X ] -модулей

V ≅ F [ x ] / f ₁ ⊕… ⊕ F [ X ] / f _k

где f _i ∈ F [ X ] можно рассматривать как унитарные многочлены положительной степени (поэтому они не являются единицами в F [ X ]), которые удовлетворяют соотношениям

f ₁ | f ₂ | … | f _k

где «a | b» - обозначение « a делит b »; с этими условиями список многочленов f _i единственен.

Набросок доказательства . Примените структурную теорему для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов к V , рассматривая ее как F [ X ] -модуль. Структурная теорема обеспечивает разложение на циклические множители, каждый из которых является частным от F [ X ] по собственному идеалу; нулевой идеал не может присутствовать, поскольку результирующий свободный модуль будет бесконечномерным как векторное пространство F , а V конечномерно. Для многочленов f _iзатем берутся единственные монические образующие соответствующих идеалов, и поскольку структурная теорема гарантирует, что каждый идеал содержится в предыдущем идеале, получаем условия делимости f _i . Подробнее см. [DF].

Для произвольной квадратной матрицы элементарные делители, использованные при построении жордановой нормальной формы , не существуют над F [ X ], поэтому вместо них следует использовать инвариантные множители f _i, указанные выше. Последний из этих множителей f _k тогда является минимальным полиномом, который, следовательно, делит все инвариантные множители, и произведение инвариантных множителей дает характеристический полином. Обратите внимание, что это означает, что минимальный многочлен делит характеристический многочлен (который, по сути, является теоремой Кэли-Гамильтона), и что каждый неприводимый множитель характеристического многочлена также делит минимальный многочлен (возможно, с меньшей кратностью).

Для каждого инвариантного коэффициента ф _I один берет своей сопутствующей матрицы C _{F _I} , и блок диагональной матрица образован из этих блоков дает рациональную каноническую форму из A . Когда минимальный многочлен идентичен характеристическому многочлену (случай k = 1), нормальная форма Фробениуса является сопутствующей матрицей характеристического многочлена. Поскольку рациональная каноническая форма однозначно определяется уникальными инвариантными множителями, ассоциированными с A , и эти инвариантные множители не зависят от базиса , из этого следует, что две квадратные матрицы A и B подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую рациональную каноническую форму.

Рациональная нормальная форма, обобщающая жорданову нормальную форму

Нормальная форма Фробениуса не отражает какую - либо формы факторизации характеристического полинома, даже если он существует над полем F . Это означает, что он инвариантен, когда F заменяется другим полем (пока оно содержит элементы исходной матрицы A ). С другой стороны, это отличает нормальную форму Фробениуса от других нормальных форм, которые зависят от факторизации характеристического многочлена, в частности диагональной формы (если A диагонализуема) или, в более общем смысле, жордановой нормальной формы(если характеристический многочлен разбивается на линейные множители). Например, нормальная форма Фробениуса диагональной матрицы с различными диагональными элементами - это просто сопутствующая матрица ее характеристического многочлена.

Существует другой способ определения нормальной формы, который, как и нормальная форма Фробениуса, всегда определяется над тем же полем F, что и A , но он отражает возможную факторизацию характеристического многочлена (или, что то же самое, минимального многочлена) на неприводимые множители над F , и которая сводится к жордановой нормальной форме, когда эта факторизация содержит только линейные множители (соответствующие собственным значениям ). Эту форму ^[1] иногда называют обобщенной жордановой нормальной формой или первичной рациональной канонической формой . Он основан на том, что векторное пространство можно канонически разложить на прямую сумму стабильных подпространств, соответствующихразличны неприводимые множители Р характеристического полинома (как заявила Леммы дез noyaux [ FR ] ^[2] ), где характеристический полином каждого слагаемого является степенью соответствующего P . Эти слагаемые могут быть далее разложены неканонически в виде прямой суммы циклических F [ x ] -модулей (как это сделано для нормальной формы Фробениуса выше), где характеристический многочлен каждого слагаемого по-прежнему является (обычно меньшей) степенью из P . Первичная рациональная каноническая форма - это блочно-диагональная матрица, соответствующая такому разложению на циклические модули, с определенной формой, называемойобобщенная жорданова клетка в диагональных блоках, соответствующая конкретному выбору базиса для циклических модулей. Эта обобщенная жорданова клетка сама по себе является блочной матрицей вида

\scriptstyle {\begin{pmatrix}C&0&\cdots &0\\U&C&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &U&C\end{pmatrix}}

где C - сопутствующая матрица неприводимого многочлена $P$ , а $U$ - матрица, единственный ненулевой элемент которой равен 1 в верхнем правом углу. В случае линейного неприводимого множителя $P = x - λ$ эти блоки сводятся к одиночным элементам $C = λ$ и $U = 1,$ и получается (транспонированная) жорданова клетка . В любой обобщенной жордановой клетке все элементы, расположенные непосредственно под главной диагональю, равны 1. Базис циклического модуля, порождающего эту форму, получается путем выбора порождающего вектора $v$ (такого, который не аннулируется $P k -1 (A),$ где минимальный многочлен циклического модуля равен $P k$ ), и взяв за основу

v,A(v),A^{2}(v),\ldots ,A^{d-1}(v),~P(A)(v),A(P(A)(v)),\ldots ,A^{d-1}(P(A)(v)),~P^{2}(A)(v),\ldots ,~P^{k-1}(A)(v),\ldots ,A^{d-1}(P^{k-1}(A)(v))

где $d = deg (P)$ .

Смотрите также

Нормальная форма Смита

использованная литература

[DF] Дэвид С. Даммит и Ричард М. Фут. Абстрактная алгебра . 2-е издание, John Wiley & Sons. С. 442, 446, 452-458. ISBN 0-471-36857-1 .

^ Фани Бхушан Бхаттачарья, Сурендер Кумар Джайн, С. Р. Нагпаул, Базовая абстрактная алгебра , Теорема 5.4, стр.423
↑ Xavier Gourdon, Les maths en tête, Mathématiques pour M ', Algèbre , 1998, Ellipses, Th. 1 шт. 173

внешние ссылки

Рациональная каноническая форма (Mathworld)

Алгоритмы

Алгоритм O ( n 3 ) для нормальной формы Фробениуса
Алгоритм для нормальной формы Фробениуса (pdf)
Алгоритм рациональной канонической формы (pdf)

[1] Фани Бхушан Бхаттачарья, Сурендер Кумар Джайн, С. Р. Нагпаул, Базовая абстрактная алгебра , Теорема 5.4, стр.423

[2] Xavier Gourdon, Les maths en tête, Mathématiques pour M ', Algèbre , 1998, Ellipses, Th. 1 шт. 173

[1]