Сопутствующая матрица

В линейной алгебре , то Фробениус компаньон матрица из унитарного многочлена

p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}~,

это квадратная матрица определяется как

C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.

Некоторые авторы используют транспонирование этой матрицы, которое (двойственно) циклически перемещает координаты и более удобно для некоторых целей, например для линейных рекуррентных соотношений .

Характеристика [ править ]

Характеристический полином , а также минимальный многочлен из $С (р)$ равен $р$ . ^[1]

В этом смысле матрица $C (p)$ является «спутником» многочлена $p$ .

Если является н матрицей с размерностью п матрица с элементами из некоторого поля $К$ , то следующие утверждения эквивалентны:

Является похожа на матрицу компаньона над $К$ ее характеристического полинома
характеристический многочлен $A$ совпадает с минимальным многочленом $A$ , эквивалентно минимальный многочлен имеет степень $n$
существует циклический вектор $V$ в течение $A$ , а это означает , что { V , A V , ²v , ..., ^п^-1v } является основой из V . Эквивалентно, таким образом, что V является циклическим как - модуль (и ); один говорит, что $A не$ является уничижительным . $V=K^{n}$ $K[A]$ $V=K[A]/(p(A))$

Не каждая квадратная матрица похожа на сопутствующую матрицу. Но каждая матрица похожа на матрицу, составленную из блоков сопутствующих матриц. Кроме того, эти сопутствующие матрицы можно выбрать так, чтобы их многочлены делили друг друга; то они однозначно определяются $A$ . Это рациональный канонический вид из $A$ .

Диагонализуемость [ править ]

Если $р (т)$ имеет различные корни $Х 1, ..., λ п$ (то собственные значения из С ( р )), то С ( р ) является диагонализируемы следующим образом :

VC(p)V^{-1}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})

где $V$ - матрица Вандермонда, соответствующая $λ$ .

В таком случае, ^[2] следы степеней т из $C$ легко получить суммы при одинаковых степенях т всех корней р ( т ),

\operatorname {Tr} C^{m}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{m}~.

Если $p (t)$ имеет непростой корень, то C ( p ) не диагонализуема (его жорданова каноническая форма содержит по одному блоку для каждого отдельного корня).

Линейные рекурсивные последовательности [ править ]

Для линейной рекурсивной последовательности с характеристическим многочленом

p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}\,

(транспонировать) сопутствующую матрицу

C^{T}(p)={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}

генерирует последовательность в том смысле, что

C^{T}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n}\end{bmatrix}}.

увеличивает серию на 1.

Вектор $(1, t, t 2, ..., t n -1)$ является собственным вектором этой матрицы для собственного значения $t$ , когда $t$ является корнем характеристического полинома $p (t)$ .

Для $c 0 = -1$ и всех остальных $c i = 0$ , т. Е. $P (t) = t n -1$ , эта матрица сводится к матрице циклического сдвига Сильвестра или циркулянтной матрице .

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

^ Хорн, Роджер А .; Чарльз Р. Джонсон (1985). Матричный анализ . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. С. 146–147. ISBN 0-521-30586-1. Проверено 10 февраля 2010 .
^ Беллман , Ричард (1987), Введение в матричный анализ , SIAM, ISBN 0898713994 .

[1] Хорн, Роджер А .; Чарльз Р. Джонсон (1985). Матричный анализ . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. С. 146–147. ISBN 0-521-30586-1. Проверено 10 февраля 2010 .

[2] Беллман , Ричард (1987), Введение в матричный анализ , SIAM, ISBN 0898713994 .

[1]