Крыловское подпространство

В линейной алгебре , порядок - г Крылова подпространство , порожденное N матрицы с размерностью п матрицей А и вектор Ь размерность п является линейным подпространством , натянутого по изображениям из Ь под первой г степеням А (начиная с ), что является,${\ displaystyle A ^ {0} = I}$

${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {r} (A, b) = \ operatorname {span} \, \ {b, Ab, A ^ {2} b, \ ldots, A ^ {r-1} б \}. \,}$^[1]

Фон [ править ]

Концепция названа в честь русского прикладного математика и морского инженера Алексея Крылова , опубликовавшего статью об этом в 1931 году ^[2].

Свойства [ править ]

• ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {r} (A, b), A {\ mathcal {K}} _ {r} (A, b) \ subset {\ mathcal {K}} _ {r + 1} (A, b)}$.
• Векторы линейно независимы до тех пор , пока , и . - максимальная размерность подпространства Крылова.${\ displaystyle \ {b, Ab, A ^ {2} b, \ ldots, A ^ {r-1} b \}}$${\ displaystyle r <r_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {r} (A, b) \ subset {\ mathcal {K}} _ {r_ {0}} (A, b)}$${\ displaystyle r_ {0}}$
• Для таких мы имеем и , точнее , где - многочлен минимальной степени . (Обратите внимание, что для полинома функция определяется как максимальный индекс, для которого коэффициент in отличен от нуля.)${\ displaystyle r_ {0}}$${\displaystyle r_{0}\leq 1+\mathrm {rank} A}$${\displaystyle r_{0}\leq n}$${\displaystyle r_{0}\leq deg[\,p(A)\,]}$${\displaystyle p(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle deg[\,f(x)\,]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle f(x)}$
• Существует такое , что .${\displaystyle b}$${\displaystyle r_{0}=deg[\,p(A)\,]}$
• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)}$представляет собой циклический подмодуль , порожденный из торсионного - модуля , где есть линейное пространство на .${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k[x]}$${\displaystyle (k^{n})^{A}}$${\displaystyle k^{n}}$${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle k^{n}}$ можно разложить в прямую сумму подпространств Крылова.

Используйте [ редактировать ]

Подпространства Крылова используются в алгоритмах поиска приближенных решений многомерных задач линейной алгебры. ^[1]

Современные итерационные методы поиска одного (или нескольких) собственных значений больших разреженных матриц или решения больших систем линейных уравнений избегают матричных операций, а скорее умножают векторы на матрицу и работают с результирующими векторами. Начиная с вектора b , вычисляют , затем умножают этот вектор на, чтобы найти, и так далее. Все алгоритмы, которые работают таким образом, называются методами подпространства Крылова; они являются одними из самых успешных методов, доступных в настоящее время в числовой линейной алгебре. ${\displaystyle Ab}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{2}b}$

Проблемы [ править ]

Поскольку векторы обычно вскоре становятся почти линейно зависимыми из-за свойств степенной итерации , методы, основанные на подпространстве Крылова, часто включают некоторую схему ортогонализации , такую ​​как итерация Ланцоша для эрмитовых матриц или итерация Арнольди для более общих матриц.

Существующие методы [ править ]

Наиболее известными методами подпространства Крылова являются методы Арнольди , Ланцоша , сопряженный градиент , IDR (s) (индуцированное уменьшение размерности), GMRES (обобщенный минимальный остаток), BiCGSTAB (стабилизированный двусопряженный градиент), QMR (квази-минимальный остаток), TFQMR (транспонированный свободный QMR) и MINRES (минимальная невязка).

См. Также [ править ]

• Итерационный метод , в котором есть раздел о методах подпространства Крылова.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Неванлинна, Олави (1993). Сходимость итераций для линейных уравнений . Лекции по математике ETH Zürich. Базель: Birkhäuser Verlag. стр. viii + 177 с. ISBN 3-7643-2865-7. Руководство по ремонту  1217705 .
• Саад, Юсеф (2003). Итерационные методы для разреженных линейных систем (2-е изд.). СИАМ . ISBN 0-89871-534-2. OCLC  51266114 .
• Жерар Меурант и Юрьен Дуинтьер Теббенс: «Методы Крылова для несимметричных линейных систем - от теории к вычислениям», Серия Springer по вычислительной математике, том 57, (октябрь 2020 г.). ISBN 978-3-030-55250-3 , url = https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0 . 
• Иман Фарахбахш: «Методы подпространства Крылова с применением в решателях потоков несжимаемой жидкости», Wiley, ISBN 978-1119618683 (сентябрь 2020 г.).