Полупростота

В математике, пол-простота является широко распространенным понятием в таких дисциплинах, как линейная алгебра , абстрактная алгебра , теории представлений , теории категорий и алгебраическая геометрия . Полу-простой объект является один , который можно разложить в сумму простых объектов, и простые объекты являются те , которые не содержат нетривиальных собственных подобъектов. Точные определения этих слов зависят от контекста.

Например, если G - конечная группа , то нетривиальное конечномерное представление V над полем называется простым, если единственные подпредставления, которые оно содержит, - это либо {0}, либо V (они также называются неприводимыми представлениями ). Теперь теорема Машке утверждает, что любое конечномерное представление конечной группы является прямой суммой простых представлений (при условии, что характеристика основного поля не делит порядок группы). Таким образом, в случае конечных групп с этим условием любое конечномерное представление полупросто. Особенно в алгебре и теории представлений «полупростота» также называетсяполная сводимость . Например, теорема Вейля о полной сводимости утверждает, что конечномерное представление полупростой компактной группы Ли полупросто.

Квадратная матрица (другими словами , линейный оператор с V конечное мерное векторное пространство) называется простым , если его только инвариантные подпространства под Т являются {0} и V . Если поле алгебраически замкнуто (например, комплексные числа ), то только простые матрицы размера 1 на 1. пола-простой матрица является тот , который похож на прямую сумму простых матриц ; если поле алгебраически замкнуто, это то же самое, что диагонализуемость . ${\ displaystyle T: V \ to V}$

Эти понятия полупростоты можно объединить, используя язык полупростых модулей , и обобщить на полупростые категории .

Вводный пример векторных пространств [ править ]

Если рассматривать все векторные пространства (над полем , например, действительные числа), простые векторные пространства - это те, которые не содержат собственных подпространств. Таким образом, одно- мерных векторных пространств являются простыми. Итак, основной результат линейной алгебры состоит в том, что любое конечномерное векторное пространство является прямой суммой простых векторных пространств; другими словами, все конечномерные векторные пространства полупросты.

Полупростые матрицы [ править ]

Матрица или, что эквивалентно, линейный оператор Т на конечномерном векторном пространстве V называется полупростой , если каждый Т - инвариантное подпространство имеет комплементарный Т инвариантное подпространство. ^[1]^[2] Это эквивалентно минимальный многочлен из Т является бесквадратно.

Для векторных пространств над алгебраически замкнутым полем F полупростота матрицы эквивалентна диагонализуемости . ^[1] Это потому, что у такого оператора всегда есть собственный вектор; если он, кроме того, полупростой, то он имеет дополнительную инвариантную гиперплоскость , которая сама имеет собственный вектор и, таким образом, по индукции диагонализуема. И наоборот, легко увидеть, что диагонализуемые операторы полупросты, поскольку инвариантные подпространства представляют собой прямые суммы собственных подпространств, и любой базис этого пространства может быть расширен до собственного базиса.

Полупростые модули и кольца [ править ]

При фиксированных кольцах R , нетривиальная R - модуле M является простой, если оно не имеет другие , чем 0 и подмодулей М . R - модуль M является полу-простой , если каждый R подмодуль М представляет собой R - модуль прямое слагаемое M (тривиальный модуль 0 является полу-простой, но не простой). Для R - модуля М , М является пол-простым , если и только если оно является прямой суммой простых модулей (тривиальный модуль является пустой прямой суммой). Наконец, R называется полупростым кольцом.если он полупрост как R -модуль. Оказывается, это равносильно требованию, чтобы любой конечно порожденный R -модуль M был полупростым. ^[3]

Примеры полупростых колец включают поля и, в более общем смысле, конечные прямые произведения полей. Для конечной группы G теорема Машке утверждает, что групповое кольцо R [ G ] над некоторым кольцом R полупросто тогда и только тогда, когда R полупросто и | G | обратим в R . Поскольку теория модулей R [ G ] такая же, как теория представлений группы G на R -модулях, этот факт является важной дихотомией, которая приводит к теории модулярных представлений , т. Е. Случаю, когда | грамм| это разделить характеристику на R , чтобы быть более сложным , чем в случае , когда | G | не делит характеристику, в частности, если R - поле нулевой характеристики. По теореме Артина-Веддербарно , унитальное артиново кольцо R полупроста тогда и только тогда , когда она (изоморфна) , где каждый является телом , и этим кольцо п матрицы с размерностью п матриц с элементами из D . ${\ displaystyle M_ {n_ {1}} (D_ {1}) \ times M_ {n_ {2}} (D_ {2}) \ times \ cdots \ times M_ {n_ {r}} (D_ {r}) }$ ${\ displaystyle D_ {i}}$ ${\ Displaystyle M_ {п} (D)}$

Оператор Т является пол-простым в смысле выше , если и только если подалгебра , порожденная степенями (т.е. итерации) от T внутри кольца эндоморфизмов из V полупроста. ${\ Displaystyle F [T] \ подмножество \ OperatorName {End} _ {F} (V)}$

Как указывалось выше, теория полупростых колец намного проще, чем теория общих колец. Например, любая короткая точная последовательность

{\ Displaystyle 0 \ к М '\ к М \ к М' '\ к 0}

модулей над полупростым кольцом должны расщепляться, т . е .. С точки зрения гомологической алгебры это означает отсутствие нетривиальных расширений . Кольцо Z целых чисел не полупростое: Z не является прямой суммой n Z и Z / n . ${\ Displaystyle M \ cong M '\ oplus M' '}$

Полупростые категории [ править ]

Многие из перечисленных выше понятий пола-простоты извлекают концепции пола-простой категорию C . Вкратце, категория - это набор объектов и карт между такими объектами, идея состоит в том, что карты между объектами сохраняют некоторую структуру, присущую этим объектам. Например, R -модули и R -линейной карты между ними образуют категорию, для любого кольца R .

Абелева категория ^[4] C называется пол простым , если существует набор простых объектов , то есть те, без подобъекта, кроме нулевого объекта 0 и самого по себе, таким образом, что любому объекту X является прямой суммой (т.е. копроизведение или (эквивалентно произведению) конечного числа простых объектов. Из леммы Шура следует, что кольцо эндоморфизмов ${\ displaystyle X _ {\ alpha} \ in C}$ ${\ displaystyle X _ {\ alpha}}$

{\ displaystyle \ operatorname {End} _ {C} (X) = \ operatorname {Hom} _ {C} (X, X)}

в полупростой категории - это произведение колец матриц над телами, т. е. полупростое.

Более того, кольцо R полупросто тогда и только тогда, когда категория конечно порожденных R -модулей полупроста.

Примером из теории Ходжа является категория поляризуемых чистых структур Ходжа , т. Е. Чистых структур Ходжа, снабженных подходящей положительно определенной билинейной формой . Наличие этой так называемой поляризации делает категорию поляризуемых структур Ходжа полупростой. ^[5] Еще один пример из алгебраической геометрии является категория чистых мотивов в гладких проективных многообразий над полем к модулю адекватным отношением эквивалентности . Как предполагал Гротендик и показал Яннсен $\operatorname {Mot} (k)_{\sim }$ $\sim$ эта категория является полупростой тогда и только тогда, когда отношение эквивалентности является числовой эквивалентностью . ^[6] Этот факт является концептуальным краеугольным камнем теории мотивов.

Полупростые абелевы категории также возникают из комбинации t-структуры и (соответственно связанной) весовой структуры в триангулированной категории . ^[7]

Полупростота в теории представлений [ править ]

Можно спросить, является ли категория конечномерных представлений группы или алгебры Ли полупростой, то есть каждое конечномерное представление распадается как прямая сумма неприводимых представлений. В общем, нет. Например, представление, данное $\mathbb {R}$

\Pi (x)={\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}

не является прямой суммой неприводимых. ^[8] (Существует ровно один нетривиальное инвариантное подпространство, пролет первого базисного элемента, .) С другой стороны, если компактно, то каждое конечномерное представление о допускает скалярное произведение , в отношении которого является унитарным, показывающим который разлагается как сумма неприводимых. ^[9] Аналогично, если является комплексной полупростой алгеброй Ли, каждое конечномерное представление является суммой неприводимых. ^[10] В оригинальном доказательстве этого Вейля использовался унитарный прием : каждый такой прием является комплексификацией алгебры Ли односвязной компактной группы Ли. $e_{1}$ $G$ $\Pi$ $G$ $\Pi$ $\Pi$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ $K$ . Поскольку односвязно, существует взаимно однозначное соответствие между конечномерными представлениями и . ^[11] Таким образом, справедлив только что упомянутый результат о представлениях компактных групп. Также возможно доказать полупростоту представлений непосредственно алгебраическими средствами, как в разделе 10.3 книги Холла. $K$ $K$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

См. Также: категория слияния (полупростая).

См. Также [ править ]

Полупростая алгебра Ли является алгеброй Ли , которая является прямой суммой простых алгебр Ли.
Полупростая алгебраическая группа представляет собой линейную алгебраическую группу, радикал компонента идентичности тривиально.
Полупростая алгебра
Полупростое представление

Ссылки [ править ]

^ а б Лам (2001), стр. 39
^ Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). «Полупростые операторы». Линейная алгебра (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. MR 0276251 .
^ * Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Выпускные тексты по математике. 131 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
^ В более общем плане то же определение полупростоты работает для псевдоабелевых аддитивных категорий . См., Например, Yves André, Bruno Kahn: Nilpotence, radicaux et structure monoïdales. С приложением Питера О'Салливана . Ренд. Сем. Мат. Univ. Padova 108 (2002), 107–291. https://arxiv.org/abs/math/0203273 .
^ Петерс, Крис AM; Стинбринк, Джозеф HM Смешанные структуры Ходжа . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике], 52. Springer-Verlag, Berlin, 2008. xiv + 470 pp. ISBN 978-3-540-77015-2 ; см. следствие 2.12.
^ Уве Яннсен: Мотивы, числовая эквивалентность и полупростота , Invent. математика. 107, 447 ~ 452 (1992)
^ Бондарко, Михаил В. (2012), «Весовые структуры и« веса »на сердцах t-структур », Homology Homotopy Appl. , 14 (1): 239-261, DOI : 10,4310 / HHA.2012.v14.n1.a12 , Zbl +1251,18006
^ Холл 2015 Пример 4.25
^ Холл 2015 Теорема 4.28
^ Холл 2015 Теорема 10.9
^ Холл 2015 Теорема 5.6

Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer

Внешние ссылки [ править ]

Полупросты ли абелевы невырожденные тензорные категории?
http://ncatlab.org/nlab/show/semisimple+category

[Lam-2001-p39-1] а б Лам (2001), стр. 39

[2] Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). «Полупростые операторы». Линейная алгебра (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. MR 0276251 .

[3] * Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Выпускные тексты по математике. 131 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.

[4] ^ В более общем плане то же определение полупростоты работает для псевдоабелевых аддитивных категорий . См., Например, Yves André, Bruno Kahn: Nilpotence, radicaux et structure monoïdales. С приложением Питера О'Салливана . Ренд. Сем. Мат. Univ. Padova 108 (2002), 107–291. https://arxiv.org/abs/math/0203273 .

[5] Петерс, Крис AM; Стинбринк, Джозеф HM Смешанные структуры Ходжа . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике], 52. Springer-Verlag, Berlin, 2008. xiv + 470 pp. ISBN 978-3-540-77015-2 ; см. следствие 2.12.

[6] Уве Яннсен: Мотивы, числовая эквивалентность и полупростота , Invent. математика. 107, 447 ~ 452 (1992)

[7] Бондарко, Михаил В. (2012), «Весовые структуры и« веса »на сердцах t-структур », Homology Homotopy Appl. , 14 (1): 239-261, DOI : 10,4310 / HHA.2012.v14.n1.a12 , Zbl +1251,18006

[8] Холл 2015 Пример 4.25

[9] Холл 2015 Теорема 4.28

[10] Холл 2015 Теорема 10.9

[11] Холл 2015 Теорема 5.6

[1]