Гамильтонова система

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Гамильтонова система является динамическая система определяется уравнениями Гамильтона . В физике эта динамическая система описывает эволюцию физической системы, такой как планетная система или электрон в электромагнитном поле . Эти системы можно изучать как в гамильтоновой механике, так и в теории динамических систем .

Обзор [ править ]

Неформально гамильтонова система - это математический аппарат, разработанный Гамильтоном для описания эволюционных уравнений физической системы. Преимущество этого описания состоит в том, что оно дает важное представление о динамике, даже если проблема начального значения не может быть решена аналитически. Одним из примеров является планетарное движение трех тел: даже если нет простого решения общей проблемы, Пуанкаре впервые показал, что оно демонстрирует детерминированный хаос .

Формально гамильтонова система - это динамическая система, полностью описываемая скалярной функцией , гамильтонианом. ^[1] Состояние системы, , описываются обобщенные координаты «импульс» и «положение» , где оба и являются векторами с теми же размерностями  N . Итак, система полностью описывается 2 N -мерным вектором${\ displaystyle H ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {p}}, t)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {p}})}$

а уравнение эволюции задается уравнениями Гамильтона:

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {d {\ boldsymbol {p}}} {dt}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial {\ boldsymbol {q}}}}, \\ [5pt] & {\ frac {d {\ boldsymbol {q}}} {dt}} = + {\ frac {\ partial H} {\ partial {\ boldsymbol {p}}}}. \ End {выровнено }}}$

Траектория - это решение начальной задачи, определяемой уравнениями Гамильтона и начальным условием .${\ Displaystyle {\ boldsymbol {r}} (т)}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(0)={\boldsymbol {r}}_{0}\in \mathbb {R} ^{2N}}$

Независимая от времени гамильтонова система [ править ]

Если гамильтониан не зависит явно от времени, т.е. если , то гамильтониан вообще не меняется со временем: ^[1]${\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$

и, таким образом, гамильтониан - это постоянная движения , постоянная которой равна полной энергии системы . Примерами таких систем являются маятник , гармонический осциллятор или динамический бильярд .${\displaystyle H=E}$

Пример [ править ]

Одним из примеров гамильтоновой системы, не зависящей от времени, является гармонический осциллятор. Рассмотрим систему , определяемую координатами и чей гамильтониан задается${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=p}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}=x}$

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

Гамильтониан этой системы не зависит от времени и, таким образом, энергия системы сохраняется.

Симплектическая структура [ править ]

Одним из важных свойств гамильтоновой динамической системы является то, что она имеет симплектическую структуру . ^[1] Письмо

${\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})={\begin{bmatrix}\partial _{\boldsymbol {q}}H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})\\\partial _{\boldsymbol {p}}H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})\\\end{bmatrix}}}$

уравнение эволюции динамической системы можно записать как

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=S_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})}$

куда

${\displaystyle S_{N}={\begin{bmatrix}0&I_{N}\\-I_{N}&0\\\end{bmatrix}}}$

и я _Н N × N единичная матрица .

Одним из важных следствий этого свойства является сохранение бесконечно малого объема фазового пространства. ^[1] Следствием этого является теорема Лиувилля , которая утверждает, что в гамильтоновой системе объем фазового пространства замкнутой поверхности сохраняется при временной эволюции. ^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S_{t}}d{\boldsymbol {r}}=\int _{S_{t}}{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=\int _{S_{t}}{\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=\int _{S_{t}}\nabla \cdot {\boldsymbol {F}}\,d{\boldsymbol {r}}=0}$

где третье равенство следует из теоремы о расходимости .

Примеры [ править ]

• Динамический бильярд
• Планетарные системы , а точнее, проблема n тел .
• Каноническая общая теория относительности

См. Также [ править ]

• Координаты действие-угол
• Теорема Лиувилля
• Интегрируемая система
• Теорема Колмогорова – Арнольда – Мозера.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Алмейда AM (1992). Гамильтоновы системы: хаос и квантование . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж (укр .: Cambridge Univ. Press )
• Аудин, М. (2008). Гамильтоновы системы и их интегрируемость . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4413-7 
• Дики, Лос-Анджелес (2003). Солитонные уравнения и гамильтоновы системы . Продвинутая серия по математической физике, т. 26. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific .
• Трещев Д., Зубелевич О. (2010). Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем . Гейдельберг: Springer
• Заславский, GM (2007). Физика хаоса в гамильтоновых системах . Лондон: Imperial College Press .

Внешние ссылки [ править ]

• Джеймс Мейсс (ред.). «Гамильтоновы системы» . Scholarpedia .