Постоянное движение

В механике , А константа движения является величиной , которая сохраняется на протяжении всего движения, наложение в силу ограничение на движение. Однако это математическое ограничение, естественное следствие уравнений движения , а не физическое ограничение (которое потребует дополнительных сил ограничения ). Общие примеры включают удельную энергию , удельный импульс , удельный угловой момент и вектор Лапласа – Рунге – Ленца (для законов обратных квадратов ).

Приложения [ править ]

Константы движения полезны, потому что они позволяют получить свойства движения без решения уравнений движения . В удачных случаях, даже траектория движения может быть получена как пересечение из изоповерхностей соответствующих констант движения. Так , например, строительные Пуансо показывают , что вращающий момент , свободный от вращения из твердого тела является пересечением сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоид (сохранение энергии), траектория , которая может быть иначе трудно вывести и визуализировать. Таким образом, определение постоянных движения является важной задачей механики..

Методы определения постоянных движения [ править ]

Есть несколько методов определения постоянных движения.

Самым простым, но наименее систематическим подходом является интуитивный («психический») вывод, при котором величина предполагается постоянной (возможно, из-за экспериментальных данных ), а затем математически показано, что она сохраняется на протяжении всего движения.
Уравнения Гамильтона – Якоби обеспечивают широко используемый и простой метод определения постоянных движения, особенно когда гамильтониан принимает узнаваемые функциональные формы в ортогональных координатах .
Другой подход заключается признать , что сохраняющаяся величина соответствует симметрии в лагранжиане . Теорема Нётер обеспечивает систематический способ получения таких величин из симметрии. Например, сохранение энергии является результатом инвариантности лагранжиана относительно сдвигов начала отсчета времени , сохранение линейного импульса происходит из инвариантности лагранжиана относительно сдвигов начала координат пространства ( трансляционная симметрия ), а сохранение углового момента происходит из инвариантностьЛагранжиан относительно вращений . Обратное также верно; каждая симметрия лагранжиана соответствует постоянной движения, часто называемой сохраняющимся зарядом или током .
Величина является константой движения, если ее полная производная по времени равна нулю. ${\ displaystyle A}$

0={\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\}.

которое возникает , когда «S скобка Пуассона с гамильтонианом равна минус его частной производной по времени ^[1] $A$

{\frac {\partial A}{\partial t}}=-\{A,H\}.

Другой полезный результат - теорема Пуассона , которая утверждает, что если две величины и являются константами движения, то и их скобка Пуассона тоже . $A$ $B$ $\{A,B\}$

Система с n степенями свободы и n константами движения, при которых скобка Пуассона любой пары констант движения обращается в нуль, называется полностью интегрируемой системой . Говорят, что такой набор постоянных движения находится в инволюции друг с другом.

В квантовой механике [ править ]

Наблюдаемая величина Q будет постоянная движение , если он коммутирует с гамильтонова , H , и сама она не зависит явно от времени. Это потому что

{\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {dQ}{dt}}|\psi \rangle \,

куда

[H,Q]=HQ-QH\,

- коммутаторное соотношение.

Вывод [ править ]

Скажем, есть некоторая наблюдаемая величина Q, которая зависит от положения, импульса и времени,

Q=Q(x,p,t)\,

А также, что существует волновая функция, которая подчиняется уравнению Шредингера

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi .\,

Получение производной по времени от математического ожидания Q требует использования правила произведения и приводит к

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle \,$	$={\frac {d}{dt}}\langle \psi \|Q\|\psi \rangle \,$
	$=\langle {\frac {d\psi }{dt}}\|Q\|\psi \rangle +\langle \psi \|{\frac {dQ}{dt}}\|\psi \rangle +\langle \psi \|Q\|{\frac {d\psi }{dt}}\rangle \,$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle H\psi \|Q\|\psi \rangle +\langle \psi \|{\frac {dQ}{dt}}\|\psi \rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|Q\|H\psi \rangle \,$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|HQ\|\psi \rangle +\langle \psi \|{\frac {dQ}{dt}}\|\psi \rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|QH\|\psi \rangle \,$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|\left[H,Q\right]\|\psi \rangle +\langle \psi \|{\frac {dQ}{dt}}\|\psi \rangle \,$

Итак, наконец,

{\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {dQ}{dt}}|\psi \rangle \,

Комментарий [ править ]

Для произвольного состояния квантовой механической системы, если H и Q коммутируют, т. Е. Если

\left[H,Q\right]=0

и Q не зависит явно от времени, то

{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0

Но если - собственная функция гамильтониана, то даже если $\psi$

\left[H,Q\right]\neq 0

это все еще так, что

{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0

при условии, что Q не зависит от времени.

Вывод [ править ]

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle \,$	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|\left[H,Q\right]\|\psi \rangle \,$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|HQ-QH\|\psi \rangle \,$

С

H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \,

тогда

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle \,$	$={\frac {-1}{i\hbar }}\left(E\langle \psi \|Q\|\psi \rangle -E\langle \psi \|Q\|\psi \rangle \right)\,$
	$=0$

По этой причине собственные состояния гамильтониана также называют стационарными состояниями.

Актуальность для квантового хаоса [ править ]

В общем, интегрируемая система имеет константы движения, отличные от энергии. Напротив, энергия - единственная постоянная движения в неинтегрируемой системе ; такие системы называются хаотическими. В общем, классическую механическую систему можно квантовать, только если она интегрируема; по состоянию на 2006 год не существует известного последовательного метода квантования хаотических динамических систем.

Интеграл движения [ править ]

Постоянная движения может быть определена в данном силовом поле как любая функция координат фазового пространства (положение и скорость или положение и импульс) и времени, которая постоянна на протяжении всей траектории. Подмножество констант движения - это интегралы движения или первые интегралы , определяемые как любые функции только от координат фазового пространства, которые постоянны вдоль орбиты. Каждый интеграл движения - это постоянная движения, но обратное неверно, потому что постоянная движения может зависеть от времени. ^[2] Примерами интегралов движения являются вектор углового момента , или гамильтониан без зависимости от времени, например $\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {v}$ $H(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (\mathbf {x} )$ . Примером функции, которая является константой движения, но не интегралом движения, может быть функция объекта, движущегося с постоянной скоростью в одном измерении. $C(x,v,t)=x-vt$

Наблюдения Дирака [ править ]

Чтобы извлечь физическую информацию из калибровочных теорий , нужно либо построить калибровочно-инвариантные наблюдаемые, либо зафиксировать калибровку. На каноническом языке это обычно означает либо построение функций, коммутирующих по Пуассону на поверхности ограничений с калибровкой, порождающей ограничения первого класса, либо фиксацию потока последних путем выделения точек внутри каждой калибровочной орбиты . Таким образом, такие калибровочно-инвариантные наблюдаемые являются "константами движения" калибровочных генераторов и называются наблюдаемыми Дирака.

Ссылки [ править ]

^ Ландау, L .; Лифшиц, Э. (1960). Механика . Pergamon Press. п. 135. ISBN 0 7506 2896 0.
^ "Бинни, Дж. И Тремейн, С .: Галактическая динамика" . Издательство Принстонского университета . Проверено 5 мая 2011 .

Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.

[1] Ландау, L .; Лифшиц, Э. (1960). Механика . Pergamon Press. п. 135. ISBN 0 7506 2896 0.

[2] "Бинни, Дж. И Тремейн, С .: Галактическая динамика" . Издательство Принстонского университета . Проверено 5 мая 2011 .

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle \,$	$={\frac {d}{dt}}\langle \psi \|Q\|\psi \rangle \,$
	$=\langle {\frac {d\psi }{dt}}\|Q\|\psi \rangle +\langle \psi \|{\frac {dQ}{dt}}\|\psi \rangle +\langle \psi \|Q\|{\frac {d\psi }{dt}}\rangle \,$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle H\psi \|Q\|\psi \rangle +\langle \psi \|{\frac {dQ}{dt}}\|\psi \rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|Q\|H\psi \rangle \,$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|HQ\|\psi \rangle +\langle \psi \|{\frac {dQ}{dt}}\|\psi \rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|QH\|\psi \rangle \,$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|\left[H,Q\right]\|\psi \rangle +\langle \psi \|{\frac {dQ}{dt}}\|\psi \rangle \,$