Временная эволюция

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны )

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Эволюция времени» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( сентябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эволюция во времени - это изменение состояния, вызванное течением времени , применимое к системам с внутренним состоянием (также называемым системами с отслеживанием состояния ). В этой формулировке время не обязательно должно быть непрерывным параметром, но может быть дискретным или даже конечным . В классической физике эволюция набора твердых тел во времени регулируется принципами классической механики . В своей наиболее примитивной форме эти принципы выражают взаимосвязь между силами, действующими на тела, и их ускорением, задаваемыми законами движения Ньютона.. Эти принципы также могут быть эквивалентно выражены более абстрактно с помощью гамильтоновой механики или лагранжевой механики .

Концепция эволюции во времени может быть применима и к другим системам с отслеживанием состояния. Например, работу машины Тьюринга можно рассматривать как изменение во времени управляющего состояния машины вместе с состоянием ленты (или, возможно, нескольких лент), включая положение головки чтения-записи (или головок) машины. В этом случае время дискретно.

Системы с отслеживанием состояния часто имеют двойное описание в терминах состояний или в терминах наблюдаемых значений. В таких системах временная эволюция также может относиться к изменению наблюдаемых значений. Это особенно актуально в квантовой механике , где картина Шредингера и Гейзенберга картина являются ( в основном) , эквивалентные описания временной эволюции.

Операторы эволюции во времени [ править ]

Рассмотрим систему с пространством состояний X, для которой эволюция детерминирована и обратима . Для конкретности давайте также предположим , что время является параметром , который пробегает множества действительных чисел R . Тогда эволюция во времени задается семейством биективных преобразований состояний

{\ displaystyle \ operatorname {F} _ {t, s}: X \ rightarrow X \ quad \ forall t, s \ in \ mathbb {R}}

F _{t , s} ( x ) - это состояние системы в момент времени t , состояние которой в момент s равно x . Имеет место следующее тождество

{\ displaystyle \ operatorname {F} _ {u, t} (\ operatorname {F} _ {t, s} (x)) = \ operatorname {F} _ {u, s} (x).}

Чтобы понять, почему это так, предположим, что x ∈ X - это состояние в момент времени s . Тогда по определению F, F _{t , s} ( x ) - это состояние системы в момент времени t, и, следовательно, применяя определение еще раз, F _{u , t} (F _{t , s} ( x )) - это состояние в момент времени u . Но это тоже F _{u , s} ( x ).

В некоторых контекстах математической физики отображения F _{t , s} называют «операторами распространения» или просто пропагаторами . В классической механике пропагаторы - это функции, которые действуют в фазовом пространстве физической системы. В квантовой механике пропагаторы обычно являются унитарными операторами в гильбертовом пространстве . Пропагаторы могут быть выражены как упорядоченные по времени экспоненты интегрированного гамильтониана. Асимптотические свойства временной эволюции задаются матрицей рассеяния . ^[1]

Пространство состояний с выделенным пропагатором также называется динамической системой .

Сказать, что эволюция во времени однородна, означает, что

{\ displaystyle \ operatorname {F} _ {u, t} = \ operatorname {F} _ {ut, 0} \ quad \ forall u, t \ in \ mathbb {R}.}

В случае однородной системы отображения G _t = F _{t , 0} образуют однопараметрическую группу преобразований X , т. Е.

{\ displaystyle \ operatorname {G} _ {t + s} = \ operatorname {G} _ {t} \ operatorname {G} _ {s}.}

Для необратимых систем операторы распространения F _{t , s} определены всякий раз, когда t ≥ s, и удовлетворяют тождеству распространения

{\ displaystyle \ operatorname {F} _ {u, t} (\ operatorname {F} _ {t, s} (x)) = \ operatorname {F} _ {u, s} (x). \ quad u \ geq t \ geq s.}

В однородном случае пропагаторы являются экспонентами гамильтониана.

В квантовой механике [ править ]

В картине Шредингера , то оператор Гамильтона создает временную эволюцию квантовых состояний. Если это состояние системы в данный момент , то ${\ Displaystyle \ влево | \ psi (т) \ вправо \ rangle}$ ${\ displaystyle t}$

H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .

Это уравнение Шредингера . Учитывая состояние в некоторый начальный момент времени ( ), если оно не зависит от времени, то унитарный оператор эволюции во времени является экспоненциальным оператором, показанным в этом уравнении: $t=0$ $H$

\left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .

См. Также [ править ]

Стрела времени
Симметрия перевода времени
Гамильтонова система
Пропагатор
Оператор эволюции во времени
Гамильтониан (теория управления)

Ссылки [ править ]

^ Лекция 1 {{|}} Квантовые запутывания, часть 1 (Стэнфорд) (видео). Стэнфорд, Калифорния: Стэнфорд. 2 октября 2006 . Проверено 5 сентября 2020 г. - через YouTube.

Общие ссылки [ править ]

Amann, H .; Arendt, W .; Neubrander, F .; Nicaise, S .; фон Белов, Дж. (2008), Аманн, Герберт; Арендт, Вольфганг; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Фрэнк М; Никез, Серж; фон Ниже Joachim (ред.), Функциональный анализ и эволюция уравнения: Гюнтер Лумер Объем , Базель: Birkhäuser, DOI : 10.1007 / 978-3-7643-7794-6 , ISBN 978-3-7643-7793-9, MR 2402015.
Джером, JW; Полицй, Е. (2014), "Дискретизация зависящего от времени квантовых систем: распространение в реальное время оператора эволюции", применимого анализ , 93 (12): 2574-2597, Arxiv : 1309,3587 , DOI : 10,1080 / 00036811.2013.878863 , S2CID 17905545.
Ланфорд, О.Е. (1975), «Эволюция больших классических систем во времени», в Moser J. (ed.), Dynamical Systems, Theory and Applications , Lecture Notes in Physics, 38 , Berlin, Heidelberg: Springer, pp. 1–111 , DOI : 10.1007 / 3-540-07171-7_1 , ISBN 978-3-540-37505-0.
Lanford, OE; Лебовиц, Дж. Л. (1975), «Эволюция во времени и эргодические свойства гармонических систем», в Мозер Дж. (Ред.), Динамические системы, теория и приложения , конспекты лекций по физике, 38 , Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 144 -177, DOI : 10.1007 / 3-540-07171-7_3 , ISBN 978-3-540-37505-0.

Люмер, Гюнтер (1994), "Уравнения эволюции. Решения нерегулярных проблем эволюции с помощью обобщенных решений и обобщенных начальных значений. Приложения к моделям периодических толчков" , Annales Universitatis Saraviensis , Series Mathematicae, 5 (1), MR 1286099.

[1] Лекция 1 {{|}} Квантовые запутывания, часть 1 (Стэнфорд) (видео). Стэнфорд, Калифорния: Стэнфорд. 2 октября 2006 . Проверено 5 сентября 2020 г. - через YouTube.