Прореживание блоков с течением времени

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Прореживание развивающегося во времени блока»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Время развивающегося блока прореживание ( TEBD ) Алгоритм является численной схемой , используемой для моделирования одномерных квантовой системы многих тел, характеризующейся в большинстве взаимодействия ближайших соседей. Он получил название «блочная децимация с развитием во времени», потому что он динамически идентифицирует соответствующие низкоразмерные гильбертовы подпространства экспоненциально большего исходного гильбертова пространства . Алгоритм, основанный на формализме матричных состояний продукта, очень эффективен, когда степень запутанности в системе ограничена - требование, выполняемое большим классом квантовых систем многих тел в одном измерении.

Введение [ править ]

Эта статья написана как личное размышление, личное эссе или аргументированное эссе , в котором излагаются личные чувства редактора Википедии или представлены оригинальные аргументы по теме. Пожалуйста, помогите улучшить его , переписав в энциклопедическом стиле . ( Октябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В настоящее время наблюдается значительный интерес в области квантовой теории к вычислительным методам, хорошо подходящим для физики систем многих тел. Учитывая трудности, присущие моделированию общих квантовых систем многих тел, экспоненциальный роств параметрах, зависящих от размера системы и, соответственно, высоких вычислительных затрат, одним из решений было бы поиск численных методов, которые имеют дело с частными случаями, когда можно извлечь выгоду из физики системы. Необработанному подходу, напрямую связанному со всеми параметрами, используемыми для полной характеристики квантовой системы многих тел, серьезно препятствует чрезмерно экспоненциальное наращивание с размером системы количества переменных, необходимых для моделирования, что в лучшем случае приводит к к неоправданно долгому времени вычислений и расширенному использованию памяти. Чтобы обойти эту проблему, был разработан и внедрен на практике ряд различных методов, одним из наиболее успешных из которых является квантовый метод Монте-Карло (QMC). Так жеМетод ренормгруппы матрицы плотности (DMRG), наряду с QMC, является очень надежным методом с расширяющимся сообществом пользователей и растущим числом приложений к физическим системам.

Когда первый квантовый компьютер будет подключен и заработает, перспективы в области вычислительной физики будут выглядеть довольно многообещающими, но до этого дня нужно ограничиться повседневными инструментами, предлагаемыми классическими компьютерами. В то время как физики-экспериментаторы прилагают много усилий, пытаясь построить первый квантовый компьютер, физики-теоретики ищут в области квантовой теории информации (QIT) подлинные квантовые алгоритмы, подходящие для задач, которые плохо справлялись бы с задачей решается на классическом компьютере, но довольно быстро и успешно на квантовом. Поиск таких алгоритмов все еще продолжается, наиболее известным (и почти единственным найденным) является алгоритм Шора дляфакторизация больших чисел и алгоритм поиска Гровера .

В области QIT необходимо определить основные ресурсы, необходимые для подлинных квантовых вычислений. Такой ресурс может быть ответственным за выигрыш в ускорении в квантовом режиме по сравнению с классическим, их идентификация означает также идентификацию систем, которые можно достаточно эффективно моделировать на классическом компьютере. Такой ресурс - квантовая запутанность ; следовательно, можно установить четкую нижнюю границу запутанности, необходимой для ускорения квантовых вычислений.

Гифре Видаль , работавший тогда в Институте квантовой информации в Калифорнийском технологическом институте , недавно предложил схему, полезную для моделирования определенной категории квантовых ^[1] систем. Он утверждает, что «любое квантовое вычисление с чистыми состояниями может быть эффективно смоделировано с помощью классического компьютера при условии, что степень вовлеченности достаточно ограничена» . Это случается с типичными гамильтонианами, отображающими локальные взаимодействия, как, например, Хаббард.-подобные гамильтонианы. Этот метод демонстрирует полиномиальное поведение низкой степени при увеличении времени вычислений по отношению к степени запутанности, присутствующей в системе. Алгоритм основан на схеме, которая использует тот факт, что в этих одномерных системах собственные значения приведенной матрицы плотности на двудольном разбиении системы экспоненциально убывают, что позволяет нам работать в пространстве измененного размера, охватываемом собственные векторы, соответствующие выбранным нами собственным значениям .

Можно также оценить количество вычислительных ресурсов, необходимых для моделирования квантовой системы на классическом компьютере, зная, как запутанность, содержащаяся в системе, масштабируется с размером системы. Классически (и квантово также) выполнимое моделирование - это модели, в которых участвуют системы только слегка запутанные, тогда как сильно запутанные модели, с другой стороны, являются хорошими кандидатами только для настоящих квантовых вычислений.

Численный метод эффективен при моделировании динамики в реальном времени или расчетах основных состояний с использованием эволюции в мнимом времени или изоэнтропических интерполяций между целевым гамильтонианом и гамильтонианом с уже известным основным состоянием. Вычислительное время линейно масштабируется с размером системы, поэтому можно исследовать системы многих частиц в одномерном пространстве.

Полезная особенность алгоритма TEBD заключается в том, что его можно надежно использовать для моделирования временной эволюции гамильтонианов, зависящих от времени, для описания систем, которые могут быть реализованы с холодными атомами в оптических решетках или в системах, далеких от равновесия в квантовом переносе. С этой точки зрения TEBD имел определенное превосходство над DMRG, очень мощным методом, но до недавнего времени не очень хорошо подходящим для моделирования временной эволюции. Поскольку в математической основе DMRG лежит формализм состояний продуктов матрицы, схема TEBD была принята сообществом DMRG, что породило зависящую от времени DMRG [2] ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} , сокращенно t-DMRG.

Примерно в то же время другие группы разработали аналогичные подходы, в которых квантовая информация играет преобладающую роль, как, например, в реализациях DMRG для периодических граничных условий [3] , а также для изучения динамики смешанного состояния в одномерных квантовых решетчатых системах. . ^{[2] [3]} Эти последние подходы фактически предоставляют формализм, который является более общим, чем исходный подход TEBD, поскольку он также позволяет иметь дело с эволюциями с помощью операторов матричного произведения; это позволяет моделировать нетривиальные не бесконечно малые эволюции, в отличие от случая TEBD, и является важным ингредиентом для работы с многомерными аналогами состояний матричного произведения.

Разложение состояния [ править ]

Представляем декомпозицию состояния [ править ]

Рассмотрим цепочку из N кубитов , описываемую функцией . Самым естественным способом описания было бы использование локально- мерного базиса :${\ displaystyle | \ Psi \ rangle \ in H ^ {{\ otimes} N}}$${\ displaystyle | \ Psi \ rangle}$${\ displaystyle M ^ {N}}$${\ displaystyle | i_ {1}, i_ {2}, .., i_ {N-1}, i_ {N} \ rangle}$

${\ displaystyle | \ Psi \ rangle = \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {M} c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}} | {i_ {1}, i_ {2 }, .., i_ {N-1}, i_ {N}} \ rangle}$

где M - размер на месте.

Уловка TEBD состоит в том, чтобы переписать коэффициенты :${\ displaystyle c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}}}$

${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}=\sum \limits _{\alpha _{1},..,\alpha _{N-1}=0}^{\chi }\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{\alpha _{2}}^{[2]}\Gamma _{\alpha _{2}\alpha _{3}}^{[3]i_{3}}\lambda _{\alpha _{3}}^{[3]}\cdot ..\cdot \Gamma _{\alpha _{N-2}\alpha _{N-1}}^{[{N-1}]i_{N-1}}\lambda _{\alpha _{N-1}}^{[N-1]}\Gamma _{\alpha _{N-1}}^{[N]i_{N}}}$

Эта форма, известная как состояние продукта Matrix , значительно упрощает вычисления.

Чтобы понять, почему, можно взглянуть на разложение Шмидта состояния, которое использует разложение по сингулярным значениям для более простого выражения состояния с ограниченной запутанностью.

Разложение Шмидта [ править ]

Рассмотрим состояние двудольной системы . Каждое такое состояние может быть представлено на выбранной соответствующим образом основе как:${\displaystyle \vert \Psi \rangle \in {H_{A}\otimes H_{B}}}$${\displaystyle |{\Psi }\rangle }$

${\displaystyle |{\Psi }\rangle =\sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}|{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle }$

где формируются с помощью векторов , которые составляют ортогональный базис в и, соответственно, векторы , которые образуют ортонормированный базис в , с коэффициентами быть реальным и положительным, . Это называется разложением Шмидта (SD) состояния. В общем, суммирование идет до . Ранг Шмидта двудольного расщепления задается числом ненулевых коэффициентов Шмидта. Если ранг Шмидта равен единице, разделение характеризуется состоянием продукта. Векторы SD определены с точностью до фазы, а собственные значения и ранг Шмидта уникальны.${\displaystyle |{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle }$${\displaystyle |{\Phi _{i}^{A}}\rangle }$${\displaystyle H_{A}}$${\displaystyle |{\Phi _{i}^{B}}\rangle }$${\displaystyle {H_{B}}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}^{2}=1}$${\displaystyle M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))}$

Например, двухкубитное состояние:

${\displaystyle |{\Psi }\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(|{00}\rangle +{\sqrt {3}}|{01}\rangle +{\sqrt {3}}|{10}\rangle +|{11}\rangle \right)}$

имеет следующие SD:

${\displaystyle |{\Psi }\rangle ={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}|{\phi _{1}^{A}\phi _{1}^{B}}\rangle +{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}|{\phi _{2}^{A}\phi _{2}^{B}}\rangle }$

с

${\displaystyle |{\phi _{1}^{A}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{A}}\rangle +|{1_{A}}\rangle ),\ \ |{\phi _{1}^{B}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{B}}\rangle +|{1_{B}}\rangle ),\ \ |{\phi _{2}^{A}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{0_{A}}\rangle -|{1_{A}}\rangle ),\ \ |{\phi _{2}^{B}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{1_{B}}\rangle -|{0_{B}}\rangle )}$

С другой стороны, государство:

${\displaystyle |{\Phi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|{00}\rangle +{\frac {1}{\sqrt {6}}}|{01}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {3}}}|{10}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {6}}}|{11}\rangle }$

состояние продукта:

${\displaystyle |{\Phi }\rangle ={(}{\frac {1}{\sqrt {3}}}|{0_{A}}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {3}}}|{1_{A}}\rangle {)}\otimes {(}|{0_{B}}\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|{1_{B}}\rangle {)}}$

Построение декомпозиции состояния [ править ]

На данный момент мы, вероятно, знаем достаточно, чтобы попытаться увидеть, как мы явно строим декомпозицию (назовем это D ).

Рассмотрим двудольное расщепление . SD имеет коэффициенты и собственные векторы . Развернув 's в локальном базисе, можно написать:${\displaystyle [1]:[2..N]}$${\displaystyle \lambda _{{\alpha }_{1}}^{[1]}}$${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle }$${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\rangle }$

${\displaystyle |{\Psi }\rangle =\sum \limits _{i_{1},{\alpha _{1}=1}}^{M,\chi }\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}|{i_{1}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle }$

Процесс можно разбить на три этапа, повторяемых для каждой облигации (и, соответственно, SD) в цепочке:

Шаг 1 : выразите's в локальном базисе для кубита 2:${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle }$

${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle =\sum _{i_{2}}|{i_{2}}\rangle |{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle }$

Векторы не обязательно нормализованы .${\displaystyle |{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle }$

Шаг 2 : запишите каждый векторв терминах не более чем (выделено Видаля)векторов Шмидтаи, соответственно, коэффициентов:${\displaystyle |{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle }$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle }$${\displaystyle \lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}}$

${\displaystyle |\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}\rangle =\sum _{\alpha _{2}}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}|{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle }$

Шаг 3 : сделайте замены и получите:

${\displaystyle |{\Psi }\rangle =\sum _{i_{1},i_{2},\alpha _{1},\alpha _{2}}\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}|{i_{1}i_{2}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle }$

Повторяя шаги от 1 до 3, можно построить все разложение состояния D . Последние являются частным случаем, как и первые, выражающие правые векторы Шмидта на связи через локальный базис в месте решетки. Как показано в, ^[1] это просто , чтобы получить разложение Шмидта в связи, то есть , от D .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle (N-1)^{th}}$${\displaystyle N^{th}}$${\displaystyle k^{th}}$${\displaystyle [1..k]:[k+1..N]}$

Собственные значения Шмидта явно заданы в D :

${\displaystyle |{\Psi }\rangle =\sum _{\alpha _{k}}\lambda _{{\alpha }_{k}}^{[k]}|{\Phi _{\alpha _{k}}^{[1..k]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{k}}^{[k+1..N]}}\rangle }$

Собственные векторы Шмидта просто:

${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{k}}^{[1..k]}}\rangle =\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2}..\alpha _{k-1}}\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\cdot \cdot \Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{[k]i_{k}}|{i_{1}i_{2}..i_{k}}\rangle }$

и

${\displaystyle |{\Phi _{\alpha _{k}}^{[k+1..N]}}\rangle =\sum _{\alpha _{k+1},\alpha _{k+2}..\alpha _{N}}\Gamma _{\alpha _{k}\alpha _{k+1}}^{[k+1]i_{k+1}}\lambda _{\alpha _{k+1}}^{[k+1]}\cdot \cdot \lambda _{\alpha _{N-1}}^{N-1}\Gamma _{\alpha _{N-1}}^{[N]i_{N}}|{i_{k+1}i_{k+2}..i_{N}}\rangle }$

Обоснование [ править ]

Теперь, глядя на D , вместо исходных терминов есть . По-видимому, это просто причудливый способ переписать коэффициенты , но на самом деле это еще не все. Предполагая, что N четно, ранг Шмидта для двудольного разреза в середине цепочки может иметь максимальное значение ; в этом случае мы получаем как минимум коэффициенты, считая только те, что чуть больше исходных ! Дело в том, что разложение D полезно при работе с системами, которые демонстрируют низкую степень запутанности, что, к счастью, имеет место со многими одномерными системами, где коэффициенты Шмидта основного состояния убывают экспоненциальным образом с${\displaystyle M^{N}}$${\displaystyle {\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi }M+(N-1)\chi }$${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle M^{N/2}}$${\displaystyle M^{N+1}{\cdot }(N-2)}$${\displaystyle {\chi }^{2}}$${\displaystyle M^{N}}$${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}{\sim }e^{-K\alpha _{l}},\ K>0.}$

Следовательно, можно учесть только некоторые из коэффициентов Шмидта (а именно самые большие), отбросив остальные и, следовательно, снова нормализовав состояние:

${\displaystyle |{\Psi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\sum \limits _{{\alpha _{l}}=1}^{{\chi }_{c}}{|\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|}^{2}}}}\cdot \sum \limits _{{{\alpha }_{l}}=1}^{{\chi }_{c}}\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|{\Phi _{\alpha _{l}}^{[1..l]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{l}}^{[l+1..N]}}\rangle ,}$

где - количество сохраняемых коэффициентов Шмидта.${\displaystyle \chi _{c}}$

Давайте отойдем от этой абстрактной картины и освежимся конкретным примером, чтобы подчеркнуть преимущества такой декомпозиции. Для простоты рассмотрим, например, случай 50 фермионов в ферромагнитной цепочке. Размерность 12, скажем, для будет разумным выбором, сохраняя отброшенные собственные значения в % от общего числа, как показали численные исследования ^{[4], что} означает примерно коэффициенты по сравнению с исходными .${\displaystyle \chi _{c}}$${\displaystyle 0.0001}$${\displaystyle 2^{14}}$${\displaystyle 2^{50}}$

Даже если собственные значения Шмидта не имеют этого экспоненциального убывания, но показывают алгебраическое убывание, мы все равно можем использовать D для описания нашего состояния . Число коэффициентов, которые необходимо учитывать для точного описания, может быть значительно больше, но все же в пределах досягаемости возможного численного моделирования.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$

Обновление декомпозиции [ править ]

Теперь можно приступить к исследованию поведения разложения D при воздействии на соседние кубиты однокубитных вентилей (OQG) и двухкубитных вентилей (TQG). Вместо обновления всех коэффициентов мы ограничимся рядом операций, которые увеличиваются как полином низкой степени, тем самым экономя время вычислений .${\displaystyle M^{N}}$${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}}$${\displaystyle \chi }$

Однокубитовые вентили, действующие на кубит k [ править ]

OQG влияют только на кубит, на который они действуют, обновление состояния после унитарного оператора на кубите k не изменяет собственные значения или векторы Шмидта слева, следовательно , или справа, следовательно , . Единственные , которые будут обновлены, это те (требующие только большинство операций), так как${\displaystyle |{\psi }\rangle }$${\displaystyle \Gamma ^{[k-1]}}$${\displaystyle \Gamma ^{[k+1]}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma ^{[k]}}$${\displaystyle {O}(M^{2}\cdot \chi ^{2})}$

${\displaystyle \Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{'[k]i_{k}}=\sum _{j}U_{j_{k}}^{i_{k}}\Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{[k]j_{k}}.}$

Двухкубитные вентили, действующие на кубиты k, k + 1 [ править ]

Изменения, необходимые для обновления 's и ' s после унитарной операции V над кубитами k, k + 1 , касаются только и . Они состоят из ряда основных операций.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Gamma ^{[k]}}$${\displaystyle \Gamma ^{[k+1]}}$${\displaystyle {O}({M\cdot \chi }^{3})}$

Следуя оригинальному подходу Видаля, его можно рассматривать как принадлежащее только четырем подсистемам:${\displaystyle |{\psi }\rangle }$

${\displaystyle {{H}=J{\otimes }H_{C}{\otimes }H_{D}{\otimes }K}.\,}$

Подпространство J натянуто на собственные векторы приведенной матрицы плотности :${\displaystyle \rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |}$

${\displaystyle \rho ^{[1..{k-1}]}=\sum _{\alpha }{(\lambda _{\alpha }^{[k-1]})}^{2}|{\Phi _{\alpha }^{[1..{k-1}]}}\rangle \langle {\Phi _{\alpha }^{[1..{k-1}]}}|=\sum _{\alpha }{(\lambda _{\alpha }^{[k-1]})^{2}}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|.}$

Аналогичным образом подпространство K натянуто на собственные векторы приведенной матрицы плотности:

${\displaystyle \rho ^{[{k+2}..{N}]}=\sum _{\gamma }{(\lambda _{\gamma }^{[k+1]})^{2}}|{\Phi _{\gamma }^{[{k+2}..N]}}\rangle \langle {\Phi _{\gamma }^{[{k+2}..N]}}|=\sum _{\gamma }{(\lambda _{\gamma }^{[k+1]})^{2}}|{\gamma }\rangle \langle {\gamma }|.}$

Подпространства и принадлежат кубитам k и k + 1. Используя этот базис и разложение D , можно записать как:${\displaystyle H_{C}}$${\displaystyle H_{D}}$${\displaystyle |{\psi }\rangle }$

${\displaystyle |{\psi }\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\beta ,\gamma =1}^{\chi }\sum \limits _{i,j=1}^{M}\lambda _{\alpha }^{[C-1]}\Gamma _{\alpha \beta }^{[C]i}\lambda _{\beta }^{[C]}\Gamma _{\beta \gamma }^{[D]j}\lambda _{\gamma }^{[D]}|{{\alpha }ij{\gamma }}\rangle }$

Используя те же рассуждения, что и для OQG, применяя TQG V к кубитам k , k + 1, нужно только обновить

${\displaystyle \Gamma ^{[C]}}$, и${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Gamma ^{[D]}.}$

Мы можем написать так:${\displaystyle |{\psi '}\rangle =V|{\psi }\rangle }$

${\displaystyle |{\psi '}\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\gamma =1}^{\chi }\sum \limits _{i,j=1}^{M}\lambda _{\alpha }\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}\lambda _{\gamma }|{{\alpha }ij\gamma }\rangle }$

куда

${\displaystyle \Theta _{\alpha \gamma }^{ij}=\sum \limits _{\beta =1}^{\chi }\sum \limits _{m,n=1}^{M}V_{mn}^{ij}\Gamma _{\alpha \beta }^{[C]m}\lambda _{\beta }\Gamma _{\beta \gamma }^{[D]n}.}$

Для того, чтобы выяснить , новое разложение, новый 'S в связи к и их соответствующие собственные векторы Шмидта должны быть вычислены и выражены в терминах х годов разложения D . Приведенная матрица плотности , таким образом , к диагональному :${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\Gamma }}$${\displaystyle \rho ^{'[DK]}}$

${\displaystyle \rho ^{'[DK]}=Tr_{JC}|{\psi '}\rangle \langle {\psi '}|=\sum _{j,j',\gamma ,\gamma '}\rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}|{j\gamma }\rangle \langle {j'\gamma '}|.}$

Квадратные корни его собственных значений - это новые . Выражая собственные векторы диагонализованной матрицы в базисе: также получаются:${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \{|{j\gamma }\rangle \}}$${\displaystyle \Gamma ^{[{D]}}}$

${\displaystyle |{\Phi ^{'[{DK}]}}\rangle =\sum _{j,\gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{'[{D}]j}\lambda _{\gamma }|{j\gamma }\rangle .}$

Из левых собственных векторов

${\displaystyle \lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{JC}]}}\rangle =\langle {\Phi _{\beta }^{'[{DK}]}}|{\psi '}\rangle =\sum _{i,j,\alpha ,\gamma }(\Gamma _{\beta \gamma }^{'[{D}]j})^{*}\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}(\lambda _{\gamma })^{2}\lambda _{\alpha }|{{\alpha }i}\rangle }$

после выражения их в основе , являются:${\displaystyle \{|{i\alpha }\rangle \}}$${\displaystyle \Gamma ^{[{C}]}}$

${\displaystyle |{\Phi ^{'[{JC}]}}\rangle =\sum _{i,\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{'[{C}]i}\lambda _{\alpha }|{{\alpha }i}\rangle .}$

Вычислительная стоимость [ править ]

Размерность наибольших тензоров в D порядка ; при построении один производит суммирование , а для каждого складывает общее количество операций. То же самое верно для формирования элементов или для вычисления левых собственных векторов , максимум , соответственно основных операций. В случае кубитов, следовательно, его роль не очень важна для порядка величины числа основных операций, но в случае, когда размерность на месте больше двух, она имеет довольно решающий вклад.${\displaystyle {O}(M{\cdot }{\chi }^{2})}$${\displaystyle \Theta _{\alpha \gamma }^{ij}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\it {m}}}$${\displaystyle {\it {n}}}$${\displaystyle \gamma ,\alpha ,{\it {i,j}}}$${\displaystyle {O}(M^{4}{\cdot }{\chi }^{3})}$${\displaystyle \rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}}$${\displaystyle \lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{\it {JC}}]}}\rangle }$${\displaystyle {\it {O}}(M^{3}{\cdot }{\chi }^{3})}$${\displaystyle {\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})}$${\displaystyle {\it {M}}=2}$

Численное моделирование [ править ]

Численное моделирование нацелено на (возможно, зависящие от времени) гамильтонианы системы частиц, расположенных в линию, которые состоят из произвольных OQG и TQG:${\displaystyle {\it {N}}}$

${\displaystyle H_{N}=\sum \limits _{l=1}^{N}K_{1}^{[l]}+\sum \limits _{l=1}^{N}K_{2}^{[l,l+1]}.}$

Полезно разложить на сумму двух, возможно, некоммутирующих членов , где${\displaystyle H_{N}}$${\displaystyle H_{N}=F+G}$

${\displaystyle F\equiv \sum _{even\ \ l}(K_{1}^{l}+K_{2}^{l,l+1})=\sum _{even\ \ l}F^{[l]},}$

${\displaystyle G\equiv \sum _{odd\ \ l}(K_{1}^{l}+K_{2}^{l,l+1})=\sum _{odd\ \ l}G^{[l]}.}$

Любые члены, состоящие из двух частей , коммутируют:, Это сделано, чтобы сделать разложение Сузуки-Троттера (ST) ^[5] экспоненциального оператора, названного в честь Масуо Сузуки и Хейла Троттера .${\displaystyle [F^{[l]},F^{[l']}]=0}$${\displaystyle [G^{[l]},G^{[l']}]=0}$

Расширение Suzuki-Trotter [ править ]

Разложение Сузуки-Троттера первого порядка (ST1) представляет собой общий способ записи экспоненциальных операторов:

${\displaystyle e^{(A+B)}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\Bigl (}e^{\frac {A}{n}}e^{\frac {B}{n}}{\Bigr )}^{n}}$

или, что то же самое

${\displaystyle e^{{\delta }(A+B)}=\lim _{\delta \rightarrow 0}[e^{{\delta }A}e^{{\delta }B}]+{\it {O}}(\delta ^{2}).}$

Поправочный член обращается в нуль в пределе ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$

Для моделирования квантовой динамики полезно использовать унитарные операторы , сохраняющие норму (в отличие от разложений в степенные ряды), и здесь на помощь приходит разложение Троттера-Судзуки. В задачах квантовой динамики унитарность операторов в разложении ST оказывается довольно практичным, поскольку ошибка имеет тенденцию концентрироваться на общей фазе , что позволяет нам точно вычислять ожидаемые значения и сохраняемые величины. Поскольку ST сохраняет объем фазового пространства, его также называют симплектическим интегратором.

Уловка ST2 состоит в том, чтобы записать унитарные операторы как:${\displaystyle e^{-iHt}}$

${\displaystyle e^{-iH_{N}T}=[e^{-iH_{N}\delta }]^{T/{\delta }}=[e^{{\frac {\delta }{2}}F}e^{{\delta }G}e^{{\frac {\delta }{2}}F}]^{n}}$

где . Число называется числом Троттера.${\displaystyle n={\frac {T}{\delta }}}$${\displaystyle {\it {n}}}$

Моделирование временной эволюции [ править ]

Операторы , легко выразить, как:${\displaystyle e^{{\frac {\delta }{2}}F}}$${\displaystyle e^{{\delta }G}}$

${\displaystyle e^{{\frac {\delta }{2}}F}=\prod _{even\ \ l}e^{{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}}$

${\displaystyle e^{{\delta }G}=\prod _{odd\ \ l}e^{{\delta }G^{[l]}}}$

так как любые два оператор , (соответственно , ) коммутируют и расширение ST первого порядка сохраняет только произведение экспонента, приближение становится, в этом случае, точно.${\displaystyle F^{[l]}}$${\displaystyle F^{[l']}}$${\displaystyle G^{[l]}}$${\displaystyle G^{[l']}}$${\displaystyle l{\neq }l'}$

Временная эволюция может быть произведена согласно

${\displaystyle |{{\tilde {\psi }}_{t+\delta }}\rangle =e^{-i{\frac {\delta }{2}}F}e^{{-i\delta }G}e^{{\frac {-i\delta }{2}}F}|{{\tilde {\psi }}_{t}}\rangle .}$

Для каждого «временного шага» , применяется последовательно ко всем нечетным сайтам, а затем на четные и снова нечетные; это в основном последовательность TQG, и выше было объяснено, как обновлять декомпозицию при их применении.${\displaystyle \delta }$${\displaystyle e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}}$${\displaystyle e^{{-i\delta }G^{[l]}}}$${\displaystyle e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}}$${\displaystyle {\it {D}}}$

Наша цель - сделать временную эволюцию состояния за время T по направлению к состоянию, используя n-частичный гамильтониан .${\displaystyle |{\psi _{0}}\rangle }$${\displaystyle |{\psi _{T}}\rangle }$${\displaystyle H_{n}}$

Довольно проблематично, если вообще возможно, построить разложение для произвольного n-частичного состояния, поскольку это означало бы, что нужно вычислить разложение Шмидта для каждой связи, расположить собственные значения Шмидта в порядке убывания и выбрать первое и соответствующие собственные векторы Шмидта. Это означало бы диагонализацию довольно щедрых матриц с уменьшенной плотностью, что, в зависимости от моделируемой системы, может оказаться задачей за пределами нашей досягаемости и терпения. Вместо этого можно попробовать сделать следующее:${\displaystyle {\it {D}}}$${\displaystyle \chi _{c}}$

i) построить декомпозициюдля простого начального состояния, скажем, некоторого состояния продукта, для которого декомпозиция проста.${\displaystyle {\it {D}}}$${\displaystyle |{\psi _{P}}\rangle }$

ii) связаныс основным состояниемгамильтонианас помощью достаточно локального преобразования Q (например, такого, которое может быть выражено как произведение TQG)${\displaystyle |{\psi _{0}}\rangle }$${\displaystyle |{\psi _{gr}}\rangle }$${\displaystyle {\tilde {H}}}$${\displaystyle |{\psi _{0}}\rangle =Q|{\psi _{gr}}\rangle }$

III) делает эволюцию мнимого временисторону основного состояния гамильтониана,соответствии с:${\displaystyle {\tilde {H}}}$${\displaystyle |{\psi _{gr}}\rangle }$

${\displaystyle |{\psi _{gr}}\rangle =\lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {e^{-{\tilde {H}}\tau }|{\psi _{P}}\rangle }{||e^{-{\tilde {H}}\tau }|{\psi _{P}}\rangle ||}},}$

или, в качестве альтернативы, моделировать изэнтропическую эволюцию, используя зависящий от времени гамильтониан, который интерполирует между гамильтонианом , который имеет состояние продукта в качестве основного состояния, и гамильтонианом ; эволюция должна происходить достаточно медленно, чтобы система всегда находилась в основном состоянии или, по крайней мере, очень близко к нему.${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle |{\psi _{P}}\rangle }$${\displaystyle {\tilde {H}}}$

iv) наконец, сделайте временную эволюцию состояния всторонуиспользования гамильтониана:${\displaystyle |{\psi _{0}}\rangle }$${\displaystyle |{\psi _{T}}\rangle }$${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle |{\psi _{T}}\rangle =e^{-iH_{n}T}|{\psi _{0}}\rangle }$

Источники ошибок [ править ]

Ошибки моделирования являются результатом приближения Сузуки-Троттера и соответствующего усечения гильбертова пространства.

Ошибки из расширения Suzuki-Trotter [ править ]

В случае приближения порядка Троттера ошибка порядка . С учетом шагов ошибка по истечении времени T составляет:${\displaystyle {\it {p^{th}}}}$${\displaystyle {\delta }^{p+1}}$${\displaystyle n={\frac {T}{\delta }}}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {T}{\delta }}\delta ^{p+1}=T\delta ^{p}}$

Неприближенное состояние :${\displaystyle |{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle }$

${\displaystyle |{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle ={\sqrt {1-{\epsilon }^{2}}}|{\psi _{Tr}}\rangle +{\epsilon }|{\psi _{Tr}^{\bot }}\rangle }$

где - состояние, сохраненное после расширения Троттера, и учитывает часть, которой пренебрегают при расширении.${\displaystyle |{\psi _{Tr}}\rangle }$${\displaystyle |{\psi _{Tr}^{\bot }}\rangle }$

Общая ошибка масштабируется со временем как:${\displaystyle {\it {T}}}$

${\displaystyle \epsilon ({\it {T}})=1-|\langle {\tilde {\psi _{Tr}}}|{\psi _{Tr}}\rangle |^{2}=1-1+\epsilon ^{2}=\epsilon ^{2}}$

Ошибка Троттера не зависит от размера цепи.

Ошибки, возникающие из-за усечения гильбертова пространства [ править ]

Учитывая ошибки, возникающие из-за усечения гильбертова пространства, содержащегося в разложении D , они двоякие.

Во-первых, как мы видели выше, самые маленькие вклады в спектр Шмидта не учитываются, а состояние точно представлено до:

${\displaystyle \epsilon ({\it {D}})=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-\epsilon _{n})}$

где - сумма всех отброшенных собственных значений приведенной матрицы плотности на связи . Состояние данной связи описывается разложением Шмидта:${\displaystyle \epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}}$${\displaystyle {\it {n}}}$${\displaystyle |{\psi }\rangle }$${\displaystyle {\it {n}}}$

${\displaystyle |{\psi }\rangle ={\sqrt {1-\epsilon _{n}}}|{\psi _{D}}\rangle +{\sqrt {\epsilon _{n}}}|{\psi _{D}^{\bot }}\rangle }$

куда

${\displaystyle |{\psi _{D}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {1-\epsilon _{n}}}}\sum \limits _{{{\alpha }_{n}}=1}^{{\chi }_{c}}\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n]}|{\Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]}}\rangle }$

состояние сохраняется после усечения и

${\displaystyle |{\psi _{D}^{\bot }}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{n}}}}\sum \limits _{{{\alpha }_{n}}={\chi }_{c}}^{\chi }\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n]}|{\Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]}}\rangle }$

- состояние, образованное собственными функциями, соответствующими наименьшим несущественным коэффициентам Шмидта, которыми пренебрегают. Теперь, потому что они натянуты на векторы, соответствующие ортогональным пространствам. Используя тот же аргумент, что и для расширения Trotter, ошибка после усечения:${\displaystyle \langle \psi _{D}^{\bot }|\psi _{D}\rangle =0}$

${\displaystyle \epsilon _{n}=1-|\langle {\psi }|\psi _{D}\rangle |^{2}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}}$

После перехода к следующей облигации состояние аналогично:

${\displaystyle |{\psi _{D}}\rangle ={\sqrt {1-\epsilon _{n+1}}}|{{{\psi }'}_{D}}\rangle +{\sqrt {\epsilon _{n+1}}}|{{\psi '}_{D}^{\bot }}\rangle }$

Ошибка после второго усечения:

${\displaystyle \epsilon =1-|\langle {\psi }|\psi '_{D}\rangle |^{2}=1-(1-\epsilon _{n+1})|\langle {\psi }|\psi _{D}\rangle |^{2}=1-(1-\epsilon _{n+1})(1-\epsilon _{n})}$

и так далее, по мере того как мы переходим от облигации к облигации.

Второй источник ошибок, заключенный в разложение , более тонкий и требует небольшого расчета.${\displaystyle {\it {D}}}$

Как мы вычислили ранее, константа нормализации после усечения при связывании равна:${\displaystyle {\it {l}}}$ ${\displaystyle ([1..l]:[l+1..N])}$

${\displaystyle R={\sum \limits _{{\alpha _{l}}=1}^{{\chi }_{c}}{|\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|}^{2}}={1-\epsilon _{l}}}$

Теперь перейдем к связи и вычислим норму правых векторов Шмидта ; с учетом полной размерности Шмидта норма составляет:${\displaystyle {\it {l}}-1}$${\displaystyle ||{\Phi _{\alpha _{l-1}}^{[l-1..N]}}||}$

${\displaystyle n_{1}=1=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}+\sum \limits _{\alpha _{l}=\chi _{c}}^{\chi }(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=S_{1}+S_{2}}$,

где .${\displaystyle (c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}=\sum \limits _{i_{l}=1}^{d}(\Gamma _{\alpha _{l-1}\alpha _{l}}^{[l]i_{l}})^{*}\Gamma _{\alpha _{l-1}\alpha _{l}}^{[l]i_{l}}}$

С учетом усеченного пространства норма:

${\displaystyle n_{2}=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}\cdot ({\lambda '}_{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}{\frac {(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}}{R}}={\frac {S_{1}}{R}}}$

Учитывая разницу, получаем:${\displaystyle \epsilon =n_{2}-n_{1}=n_{2}-1}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {S_{1}}{R}}-1\leq {\frac {1-R}{R}}={\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}{\rightarrow }0\ \ as\ \ {\epsilon _{l}{\rightarrow }{0}}}$

Следовательно, при построении приведенной матрицы плотности след матрицы умножается на коэффициент:

${\displaystyle |\langle {\psi _{D}}|\psi _{D}\rangle |^{2}=1-{\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}={\frac {1-2\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}}$

Общая ошибка усечения [ править ]

Общая ошибка усечения с учетом обоих источников ограничена сверху:

${\displaystyle \epsilon ({D})=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-\epsilon _{n})\prod \limits _{n=1}^{N-1}{\frac {1-2\epsilon _{n}}{1-\epsilon _{n}}}=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-2\epsilon _{n})}$

При использовании расширения Троттера мы переходим не от облигации к облигации, а между облигациями с одинаковой четностью; кроме того, для ST2 мы проводим зачистку четных единиц и двух - нечетных. Но, тем не менее, приведенный выше расчет остается в силе. Ошибка оценивается путем последовательного умножения на нормировочную константу каждый раз, когда мы строим уменьшенную матрицу плотности и выбираем ее соответствующие собственные значения.

«Адаптивное» измерение Шмидта [ править ]

Одна вещь, которая может сэкономить много времени вычислений без потери точности, - это использовать другое измерение Шмидта для каждой связи вместо фиксированного для всех облигаций, сохраняя, как обычно, только необходимое количество соответствующих коэффициентов. Например, если взять первую связь, в случае кубитов размерность Шмидта равна двум. Следовательно, при первом связывании вместо бесполезной диагонализации, скажем, матриц 10 на 10 или 20 на 20, мы можем просто ограничиться обычными матрицами 2 на 2, что в целом ускорит алгоритм. Вместо этого мы можем установить порог для собственных значений SD, оставив только те, которые выше порога.

TEBD также предлагает возможность прямого распараллеливания за счет факторизации экспоненциального оператора временной эволюции с использованием разложения Сузуки-Троттера. Параллельно-TEBD имеет ту же математику , как его не-распараллелен аналог, единственное отличие состоит в численной реализации.

Ссылки [ править ]