Разложение Шмидта

В линейной алгебре , то разложение Шмидта (названное в честь его автора Эрхарда Шмидта ) относится к определенному пути экспрессии вектора как тензорное произведение двух внутренних пространств продукции . Он имеет множество приложений в квантовой теории информации , например, для определения характеристик запутанности, очистки состояний и пластичности .

Теорема [ править ]

Пусть и быть гильбертовыми из размеров п и т соответственно. Допустим . Для любого вектора в тензорном произведении существуют ортонормированные множества и такие, что , где скаляры действительны, неотрицательны и уникальны с точностью до переупорядочения.${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$ ${\ displaystyle n \ geq m}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle H_ {1} \ otimes H_ {2}}$${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{m}\}\subset H_{1}}$${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\subset H_{2}}$${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

Доказательство [ править ]

Разложение Шмидта - это, по сути, повторение разложения по сингулярным значениям в другом контексте. Зафиксируйте ортонормированные базы и . Мы можем определить элементарный тензор с матрицей , где является транспонированной из . Общий элемент тензорного произведения${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\subset H_{1}}$${\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{m}\}\subset H_{2}}$${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j}}$${\displaystyle e_{i}f_{j}^{T}}$${\displaystyle f_{j}^{T}}$${\displaystyle f_{j}}$

${\displaystyle w=\sum _{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}\beta _{ij}e_{i}\otimes f_{j}}$

можно тогда рассматривать как матрицу размера n × m

${\displaystyle \;M_{w}=(\beta _{ij}).}$

Согласно сингулярному разложению , существуют унитарная U n × n , унитарная V m × m и положительно полуопределенная диагональная матрица Σ m × m такие, что

${\displaystyle M_{w}=U{\begin{bmatrix}\Sigma \\0\end{bmatrix}}V^{*}.}$

Запись , где находится п × м , и мы имеем${\displaystyle U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle U_{1}}$

${\displaystyle \;M_{w}=U_{1}\Sigma V^{*}.}$

Пусть быть м векторы - столбцы , векторы - столбцы , а диагональные элементы Е. Предыдущее выражение тогда${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{m}\}}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}}$${\displaystyle {\overline {V}}}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}}$

${\displaystyle M_{w}=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}v_{k}^{T},}$

потом

${\displaystyle w=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}\otimes v_{k},}$

что доказывает утверждение.

Некоторые наблюдения [ править ]

Некоторые свойства разложения Шмидта представляют физический интерес.

Спектр редуцированных состояний [ править ]

Рассмотрим вектор w тензорного произведения

${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$

в виде разложения Шмидта

${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}.}$

Сформируем матрицу ранга 1 ρ = ww * . Затем частичный след от р , по отношению к любой из системы A или B , является диагональной матрицей , чьи ненулевые диагональные элементы | α _i | ² . Другими словами, разложение Шмидта показывает, что приведенное состояние ρ в любой подсистеме имеет один и тот же спектр.

Ранг и запутанность Шмидта [ править ]

Строго положительные значения в разложении Шмидта w являются его коэффициентами Шмидта . Количество коэффициентов Шмидта , подсчитанное с кратностью, называется его рангом Шмидта или числом Шмидта .${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle w}$

Если w можно выразить как произведение

${\displaystyle u\otimes v}$

тогда w называется сепарабельным состоянием . В противном случае w называется запутанным состоянием . Из разложения Шмидта мы можем видеть, что w запутано тогда и только тогда, когда w имеет ранг Шмидта строго больше 1. Следовательно, две подсистемы, разделяющие чистое состояние, запутаны тогда и только тогда, когда их редуцированные состояния являются смешанными состояниями.

Энтропия фон Неймана [ править ]

Следствием приведенных выше комментариев является то, что для чистых состояний энтропия фон Неймана редуцированных состояний является четко определенной мерой запутанности . Для фон Неймана энтропия обоих приведенных состояний ρ равна , и она равна нулю тогда и только тогда, когда ρ является состоянием-продуктом (не запутанным).${\displaystyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log(|\alpha _{i}|^{2})}$

Кристаллическая пластичность [ править ]

В области пластичности кристаллические твердые тела, такие как металлы, пластически деформируются в основном вдоль плоскостей кристаллов. Каждая плоскость, определяемая своим вектором нормали ν, может «скользить» в одном из нескольких направлений, определяемых вектором μ. Вместе плоскость скольжения и направление образуют систему скольжения, которая описывается тензором Шмидта . Градиент скорости представляет собой их линейную комбинацию для всех систем скольжения, где масштабный коэффициент - это скорость скольжения по системе.${\displaystyle P=\mu \otimes \nu }$

См. Также [ править ]

• Разложение по сингулярным числам
• Очистка квантового состояния

Дальнейшее чтение [ править ]

• Патхак, Анирбан (2013). Элементы квантовых вычислений и квантовой коммуникации . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. С. 92–98. ISBN 978-1-4665-1791-2.