Энтропия фон Неймана

В квантовой статистической механике , то энтропия фона Нейман , названная в честь Джона фон Неймана , является продолжением классического Гиббса энтропии понятия в области квантовой механики . Для квантово-механической системы, описываемой матрицей плотности ρ , энтропия фон Неймана равна ^[1]

${\ Displaystyle S = - \ OperatorName {tr} (\ rho \ ln \ rho),}$

где обозначает след, а ln обозначает (натуральный) матричный логарифм . Если ρ записать через собственные векторы как${\ displaystyle \ operatorname {tr}}$ ${\ Displaystyle | 1 \ rangle, | 2 \ rangle, | 3 \ rangle, \ точки}$

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {j} \ eta _ {j} \ left | j \ right \ rangle \ left \ langle j \ right | ~,}$

тогда энтропия фон Неймана просто ^[1]

${\ displaystyle S = - \ sum _ {j} \ eta _ {j} \ ln \ eta _ {j}.}$

В этой форме S можно рассматривать как теоретическую энтропию Шеннона . ^[1]

Энтропия фон Неймана также используется в различных формах ( условные энтропии , относительные энтропии и т. Д.) В рамках квантовой теории информации для характеристики энтропии запутанности . ^[2]

Фон [ править ]

Джон фон Нейман установил строгую математическую основу квантовой механики в своей работе 1932 года « Математические основы квантовой механики» . ^[3] В нем он представил теорию измерения, в которой обычное понятие коллапса волновой функции описывается как необратимый процесс (так называемое фон Неймана или проективное измерение).

Матрица плотности была введена, с различными мотивами, по фон Нейману и по Л. Д. Ландау . Мотивом, который вдохновлял Ландау, была невозможность описания подсистемы составной квантовой системы вектором состояния. ^[4] С другой стороны, фон Нейман ввел матрицу плотности с целью развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений.

Разработанный таким образом формализм матрицы плотности распространил инструменты классической статистической механики на квантовую область. В классической схеме распределение вероятностей и статистическая сумма системы позволяют вычислить все возможные термодинамические величины. Фон Нейман ввел матрицу плотности, которая играет ту же роль в контексте квантовых состояний и операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Знание оператора статистической матрицы плотности позволило бы нам вычислить все средние квантовые объекты концептуально аналогичным, но математически другим способом.

Допустим, у нас есть набор волновых функций | Ψ > , что параметрически зависят от набора квантовых чисел п ₁ , п ₂ , ..., п _Н . Естественная переменная, которая у нас есть, - это амплитуда, с которой определенная волновая функция базового набора участвует в действительной волновой функции системы. Обозначим квадрат этой амплитуды через p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ). Цель состоит в том, чтобы превратить эту величину p в классическую функцию плотности в фазовом пространстве. Нам нужно проверить, что pпереходит в функцию плотности в классическом пределе и обладает эргодическими свойствами. После проверки того, что p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) является константой движения, эргодическое предположение для вероятностей p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) делает p функцией только энергия.

После этой процедуры, наконец, приходим к формализму матрицы плотности при поиске формы, в которой p ( n ₁ , n ₂ , ..., n _N ) инвариантно относительно используемого представления. В форме написано, это будет только давать правильные средние значения для величин , которые по диагонали относительно квантовых чисел п ₁ , п ₂ , ..., п _Н .

В математических ожиданиях операторов, которые не являются диагональными, учитываются фазы квантовых амплитуд. Предположим, мы кодируем квантовые числа n ₁ , n ₂ , ..., n _N в один индекс i или j . Тогда наша волновая функция имеет вид

${\ Displaystyle \ left | \ Psi \ right \ rangle \, = \, \ sum _ {i} a_ {i} \, \ left | \ psi _ {i} \ right \ rangle.}$

Среднее значение оператора B, не диагонального в этих волновых функциях, поэтому

${\displaystyle \left\langle B\right\rangle \,=\,\sum _{i,j}a_{i}^{*}a_{j}\,\left\langle i\right|B\left|j\right\rangle .}$

Роль , которая первоначально была зарезервирована для величин , таким образом , берется матрицей плотности системы S .${\displaystyle \left|a_{i}\right|^{2}}$

${\displaystyle \left\langle j\right|\,\rho \,\left|i\right\rangle \,=\,a_{j}\,a_{i}^{*}.}$

Следовательно, 〈B〉 читается как

${\displaystyle \left\langle B\right\rangle \,=\,\operatorname {tr} (\rho B)~.}$

Инвариантность указанного члена описывается теорией матриц. Была описана математическая структура, в которой математическое ожидание квантовых операторов, описываемое матрицами, получается путем взятия следа произведения оператора плотности и оператора (скалярное произведение Гильберта между операторами). Матричный формализм здесь находится в рамках статистической механики, хотя он применим также и для конечных квантовых систем, что обычно имеет место, когда состояние системы не может быть описано чистым состоянием , а как статистический оператор указанной выше формы . Математически это положительно-полуопределенная эрмитова матрица с единичным следом.${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

Определение [ править ]

Учитывая матрицу плотности ρ , фон Нейман определил энтропию ^{[5] [6]} как

${\displaystyle S(\rho )\,=\,-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),}$

что является надлежащим расширением энтропии Гиббса (до коэффициента k _B ) и энтропии Шеннона на квантовый случай. Для вычисления S ( р ) удобно (см логарифм матрицы ) для вычисления eigendecomposition из . Энтропия фон Неймана тогда определяется выражением${\displaystyle ~\rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|}$

${\displaystyle S(\rho )\,=\,-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}~.}$

Поскольку для чистого состояния матрица плотности идемпотентна , ρ = ρ ² , энтропия S ( ρ ) для нее равна нулю. Таким образом, если система конечна (конечномерное матричное представление), энтропия S ( ρ ) количественно определяет отклонение системы от чистого состояния . Другими словами, он кодифицирует степень перемешивания состояния, описывающего данную конечную систему. Измерение decoheres квантовой системы в нечто мешающее и якобы классическую ; так, например, исчезающая энтропия чистого состояния , соответствующая матрице плотности ${\displaystyle \Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \rho ={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$

увеличивается до для смеси результатов измерения ${\displaystyle S=\ln 2\approx 0.69}$

${\displaystyle \rho ={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

поскольку информация о квантовой интерференции стирается.

Свойства [ править ]

Некоторые свойства энтропии фон Неймана:

• S ( ρ ) равно нулю тогда и только тогда, когда ρ представляет чистое состояние.
• S ( ρ ) максимальна и равна ln N для максимально смешанного состояния , где N - размерность гильбертова пространства .
• S ( ρ ) инвариантно относительно изменений в базисе ρ , то есть S ( ρ ) = S ( UρU ^† ) , где U - унитарное преобразование.
• S ( ρ ) вогнутая, то есть для набора положительных чисел λ _i, суммируемых с единицей (), и операторов плотности ρ _i , мы имеем${\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=1}$

${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,\rho _{i}{\bigg )}\,\geq \,\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,S(\rho _{i}).}$

• S ( ρ ) удовлетворяет оценке

${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,\rho _{i}{\bigg )}\,\leq \,\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,S(\rho _{i})-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$

где равенство достигается, если ρ _i имеет ортогональный носитель, и, как и раньше, ρ _i - операторы плотности, а λ _i - набор положительных чисел, сумма которых равна единице ( )${\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=1}$

• S ( ρ ) аддитивна для независимых систем. Для двух матриц плотности ρ _A , ρ _B, описывающих независимые системы A и B , имеем

${\displaystyle S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})}$.

• S ( ρ ) сильно субаддитивна для любых трех систем A , B и C :

${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$

Это автоматически означает, что S ( ρ ) субаддитивна:

${\displaystyle S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{C}).}$

Ниже обсуждается концепция субаддитивности с последующим ее обобщением до сильной субаддитивности.

Субаддитивность [ править ]

Если ρ _A , ρ _B - приведенные матрицы плотности общего состояния ρ _AB , то

${\displaystyle \left|S(\rho _{A})\,-\,S(\rho _{B})\right|\,\leq \,S(\rho _{AB})\,\leq \,S(\rho _{A})\,+\,S(\rho _{B})~.}$

Это правое неравенство известно как субаддитивность . Два неравенства вместе иногда называют неравенством треугольника . Они были доказаны в 1970 году Хузихиро Араки и Эллиоттом Х. Либом . ^[7] В то время как в теории Шеннона энтропия составной системы никогда не может быть ниже энтропии любой из ее частей, в квантовой теории это не так, т. Е. Возможно, что S ( ρ _AB ) = 0 , в то время как S ( ρ _A ) = S ( ρ _B )> 0 .

Интуитивно это можно понять следующим образом: в квантовой механике энтропия совместной системы может быть меньше суммы энтропии ее компонентов, поскольку компоненты могут быть запутанными . Например, как видно явно, состояние Белла с двумя спин-½,

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle ,}$

является чистым состоянием с нулевой энтропией, но каждый спин имеет максимальную энтропию, если рассматривать его индивидуально в его приведенной матрице плотности . ^[8] Энтропия в одном спине может быть "отменена" путем корреляции с энтропией другого. Левое неравенство можно примерно интерпретировать как утверждение, что энтропия может быть отменена только равным количеством энтропии.

Если система A и система B имеют разное количество энтропии, меньшее может только частично компенсировать большее, и некоторая энтропия должна быть оставлена. Аналогичным образом, правое неравенство можно интерпретировать как утверждение, что энтропия составной системы максимизируется, когда ее компоненты не коррелированы, и в этом случае полная энтропия является просто суммой субэнтропий. Это может быть более интуитивно понятным в формулировке фазового пространства, чем в формулировке гильбертова пространства, где энтропия фон Неймана равна минус ожидаемое значение ★ -логарифма функции Вигнера , - ∫ f ★ log _★ f  dx  dp, до смещения сдвига. ^[6] До этого сдвига смещения нормализации энтропия мажорится энтропией своего классического предела .

Сильная субаддитивность [ править ]

Энтропия фон Неймана также сильно субаддитивна . Учитывая три гильбертовых пространства , A , B , C ,

${\displaystyle S(\rho _{ABC})\,+\,S(\rho _{B})\,\leq \,S(\rho _{AB})\,+\,S(\rho _{BC}).}$

Это более сложная теорема, она была впервые доказана Дж. Кифером в 1959 г. ^{[9] [10]} и независимо Эллиоттом Х. Либом и Мэри Бет Рускай в 1973 г. ^[11] с использованием матричного неравенства Эллиотта Х. Либа ^{[12 ]} доказано в 1973 году. Используя технику доказательства, которая устанавливает левую часть неравенства треугольника выше, можно показать, что сильное неравенство субаддитивности эквивалентно следующему неравенству.

${\displaystyle S(\rho _{A})\,+\,S(\rho _{C})\,\leq \,S(\rho _{AB})\,+\,S(\rho _{BC})}$

когда ρ _AB и т. д. - приведенные матрицы плотности матрицы плотности ρ _ABC . Если применить обычную субаддитивность к левой части этого неравенства и рассмотреть все перестановки A , B , C , мы получим неравенство треугольника для ρ _ABC : каждое из трех чисел S ( ρ _AB ), S ( ρ _BC ), S ( ρ _AC ) меньше или равно сумме двух других.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]