Логарифм матрицы

В математике , А логарифм матрицы является еще одной матрицы таким образом, что матрица экспоненциальной последнего матрицы равен исходной матрицы. Таким образом , это обобщение скалярного логарифма и в некотором смысле с обратной функцией от матрицы экспоненты . Не все матрицы имеют логарифм, и те матрицы, которые имеют логарифм, могут иметь более одного логарифма. Изучение логарифмов матриц приводит к теории Ли, поскольку если матрица имеет логарифм, то она принадлежит группе Ли, а логарифм является соответствующим элементом векторного пространства алгебры Ли .

Определение [ править ]

Экспонента матрицы A определяется формулой

${\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}$.

Учитывая , матрица В , другая матрица называется быть матрицей логарифм от B , если е = B . Поскольку экспоненциальная функция не является взаимно однозначной для комплексных чисел (например ), числа могут иметь несколько комплексных логарифмов, и, как следствие этого, некоторые матрицы могут иметь более одного логарифма, как объяснено ниже.${\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1}$

Выражение степенного ряда [ править ]

Если B достаточно близко к единичной матрице, то логарифм B может быть вычислен с помощью следующего степенного ряда:

${\displaystyle \log(B)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1}{\frac {(B-I)^{k}}{k}}}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}-{\frac {(B-I)^{4}}{4}}+\cdots }$.

В частности, если , то предыдущий ряд сходится и . ^[1]${\displaystyle \left\|B-I\right\|<1}$${\displaystyle e^{\log(B)}=B}$

Пример: логарифм поворотов плоскости [ править ]

Вращения в плоскости дают простой пример. Поворот на угол α вокруг начала координат представлен матрицей 2 × 2

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.}$

Для любого целого n матрица

${\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},}$

это логарифм A . Таким образом, матрица A имеет бесконечно много логарифмов. Это соответствует тому факту, что угол поворота определяется только с точностью, кратной 2 π .

На языке теории Ли матрицы вращения A являются элементами группы Ли SO (2) . Соответствующие логарифмы B являются элементами алгебры Ли so (2), которая состоит из всех кососимметричных матриц . Матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}$

является генератором алгебры Ли so (2).

Существование [ править ]

На вопрос, имеет ли матрица логарифм, есть самый простой ответ, если его рассматривать в сложной постановке. Сложная матрица имеет логарифм тогда и только тогда, когда она обратима . ^[2] Логарифм не уникален, но если матрица не имеет отрицательных действительных собственных значений , то существует единственный логарифм, все собственные значения которого лежат в полосе { z ∈ C | −π <Im z <π}. Этот логарифм известен как главный логарифм . ^[3]

Ответ больше связан с реальной обстановкой. Вещественная матрица имеет вещественный логарифм тогда и только тогда, когда она обратима, и каждый жордановый блок, принадлежащий отрицательному собственному значению, встречается четное число раз. ^[4] Если обратимая вещественная матрица не удовлетворяет условию с жордановыми блоками, то она имеет только невещественные логарифмы. Это уже можно увидеть в скалярном случае: никакая ветвь логарифма не может быть действительной в -1. Существование вещественных матричных логарифмов вещественных матриц 2 × 2 рассматривается в следующем разделе.

Свойства [ править ]

Если A и B обе положительно определенные матрицы , то

${\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}},}$

и если A и B коммутируют, т. е. AB = BA , то

${\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}.\,}$

Подставляя в это уравнение B = A ⁻¹ , получаем

${\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.}$

Аналогично, теперь для некоммутирующих A и B ,

${\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }\!\!\!dz~~{\frac {I}{A+zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).}$

Другой пример: Логарифм вращений в 3D пространстве [ править ]

Вращение R ∈ SO (3) в ³ задается ортогональной матрицей 3 × 3 .

Логарифм такой матрицы вращения R может быть легко вычислен из антисимметричной части формулы вращения Родригеса ^[5] (см. Также Угол оси ). Он дает логарифм минимальной нормы Фробениуса , но терпит неудачу, когда R имеет собственные значения, равные −1, где это не единственно.

Далее отметим, что, учитывая матрицы вращения A и B ,

${\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\top }B)\|_{F}}$

- геодезическое расстояние на трехмерном многообразии матриц вращения.

Вычисление логарифма диагонализуемой матрицы [ править ]

Метод нахождения ln A для диагонализуемой матрицы A следующий:

Найти матрицу V из собственных векторов из А (каждый столбец V является собственным вектором A ).

Найти обратный V ^-1 из V .

Позволять

${\displaystyle A'=V^{-1}AV.\,}$

Тогда A ' будет диагональная матрица, диагональные элементы которой являются собственные значения A .

Заменим каждый диагональный элемент A ′ на его (натуральный) логарифм, чтобы получить .${\displaystyle \log A'}$

потом

${\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.\,}$

То, что логарифм A может быть сложной матрицей, даже если A является действительным, следует из того факта, что матрица с действительными и положительными элементами может, тем не менее, иметь отрицательные или даже комплексные собственные значения (это верно, например, для матриц вращения ). Неединственность логарифма матрицы следует из неединственности логарифма комплексного числа.

Логарифм недиагонализуемой матрицы [ править ]

Алгоритм, проиллюстрированный выше, не работает для недиагонализируемых матриц, таких как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Для таких матриц нужно найти ее разложение Жордана, и вместо вычисления логарифма диагональных элементов, как указано выше, нужно вычислить логарифм блоков Жордана .

Последнее достигается за счет того, что можно записать блок Жордана как

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$

где K - матрица с нулями на главной диагонали и под ней. (Число λ отлично от нуля в предположении, что матрица, логарифм которой пытаются вычислить, является обратимой.)

Затем по серии Меркатора

${\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

один получает

${\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }$

Этот ряд имеет конечное число членов ( K ^m равно нулю, если m - размерность K ), и поэтому его сумма хорошо определена.

Используя этот подход, можно найти

${\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Перспектива функционального анализа [ править ]

Квадратная матрица представляет собой линейный оператор в евклидовом пространстве R ^n, где n - размерность матрицы. Поскольку такое пространство конечномерно, этот оператор фактически ограничен .

Используя инструменты голоморфного функционального исчисления , учитывая голоморфную функцию f ( z ), определенную на открытом множестве в комплексной плоскости, и ограниченный линейный оператор T , можно вычислить f ( T ), пока f ( z ) определена на спектр из T .

Функция f ( z ) = log z может быть определена на любом односвязном открытом множестве в комплексной плоскости, не содержащем начала координат, и она голоморфна в такой области. Это означает, что можно определить ln T до тех пор, пока спектр T не содержит начало координат и существует путь, идущий от начала координат к бесконечности, не пересекающий спектр T (например, если спектр T представляет собой круг с начало внутри него, определить ln T невозможно ).

Спектр линейного оператора на R ⁿ - это набор собственных значений его матрицы, а значит, и конечный набор. Пока начало координат не находится в спектре (матрица обратима), условие пути из предыдущего абзаца выполняется, и ln T четко определен. Неединственность логарифма матрицы следует из того факта, что можно выбрать более одной ветви логарифма, которая определена на множестве собственных значений матрицы.

Перспектива теории групп Ли [ править ]

В теории групп Ли , существует экспоненциальное отображение из алгебры Ли г в соответствующей группе Ли G

${\displaystyle \exp :g\rightarrow G.}$

Для матричных групп Ли элементы g и G являются квадратными матрицами, а экспоненциальное отображение задается матричной экспонентой . Обратное отображение многозначно и совпадает с обсуждаемым здесь матричным логарифмом. Логарифм отображает группу Ли G в алгебру Ли g . Обратите внимание, что экспоненциальное отображение - это локальный диффеоморфизм между окрестностью U нулевой матрицы и окрестностью V единичной матрицы . ^[6] Таким образом, (матричный) логарифм хорошо определяется как отображение,${\displaystyle \log =\exp ^{-1}}$${\displaystyle {\underline {0}}\in g}$${\displaystyle {\underline {1}}\in G}$

${\displaystyle \log :V\subset G\rightarrow U\subset g.\,}$

Тогда важное следствие формулы Якоби таково :

${\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}$

См. Также [ править ]

• Матричная функция
• Квадратный корень из матрицы
• Матрица экспоненциальная
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Производная экспоненциального отображения

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гантмахер, Феликс Р. (1959), Теория матриц , 1 , Нью-Йорк: Челси, стр. 239–241..
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления Элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Калвер, Уолтер Дж. (1966), «О существовании и единственности действительного логарифма матрицы», Труды Американского математического общества , 17 (5): 1146–1151, DOI : 10.1090 / S0002-9939-1966- 0202740-6 , ISSN  0002-9939.
• Хайэм, Николас (2008), Функции матриц. Теория и вычисления , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7.
• ЭНГО, Kenth (июнь 2001 г.), "О BCH-формулы в так (3)" , БИТ вычислительной математики , 41 (3): 629-632, DOI : 10.1023 / A: 1021979515229 , ISSN  0006-3835