Энтропия запутанности

Энтропия запутывания (или перепутывания энтропии ) является мерой степени квантовой запутанности между двух подсистем , образующих две части композита квантовой системы . При наличии чистого двудольного квантового состояния составной системы можно получить приведенную матрицу плотности, описывающую знание состояния подсистемы. Энтропия запутанности - это энтропия фон Неймана приведенной матрицы плотности для любой из подсистем. Если он не равен нулю, то есть подсистема находится в смешанном состоянии , это означает, что две подсистемы запутаны.

Более математически; если состояние, описывающее две подсистемы A и B, является сепарабельным состоянием, то приведенная матрица плотности является чистым состоянием . Таким образом, энтропия состояния равна нулю. Точно так же матрица плотности B также будет иметь нулевую энтропию. Таким образом, уменьшенная матрица плотности с ненулевой энтропией является сигналом о наличии запутанности в системе.${\ Displaystyle | \ Psi _ {AB} \ rangle = | \ phi _ {A} \ rangle | \ phi _ {B} \ rangle}$${\ displaystyle \ rho _ {A} = \ operatorname {Tr} _ {B} | \ Psi _ {AB} \ rangle \ langle \ Psi _ {AB} | = | \ phi _ {A} \ rangle \ langle \ phi _ {A} |}$

Энтропия двудольной запутанности [ править ]

Предположим, что квантовая система состоит из частиц. Двойное разделение системы - это раздел, который делит систему на две части и , содержащие и частицы соответственно с . Энтропия двудольной запутанности определяется относительно этой двудольности.${\ displaystyle N}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle l}$${\ Displaystyle к + л = N}$

Энтропия запутанности фон Неймана [ править ]

Двудольная энтропия запутанности фон Неймана определяется как энтропия фон Неймана любого из ее приведенных состояний, так как они имеют одинаковое значение (может быть доказано из разложения Шмидта состояния по двудольности); результат не зависит от того, какой из них мы выберем. То есть для чистого состояния он определяется по формуле:${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ rho _ {AB} = | \ Psi \ rangle \ langle \ Psi | _ {AB}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(\rho _{A})=-\operatorname {Tr} [\rho _{A}\operatorname {log} \rho _{A}]=-\operatorname {Tr} [\rho _{B}\operatorname {log} \rho _{B}]={\mathcal {S}}(\rho _{B})}$

где и - приведенные матрицы плотности для каждого разбиения.${\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})}$${\displaystyle \rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})}$

Энтропия запутанности может быть выражена с использованием сингулярных значений разложения Шмидта состояния. Любое чистое состояние может быть записано как где и являются ортонормированными состояниями в подсистеме и подсистеме соответственно. Энтропия запутывания просто:${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}}$${\displaystyle |u_{i}\rangle _{A}}$${\displaystyle |v_{i}\rangle _{B}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log(|\alpha _{i}|^{2})}$

Эта форма записи энтропии ясно дает понять, что энтропия запутанности одинакова независимо от того, вычисляется ли частичный след по подсистеме или .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Многие меры запутанности сводятся к энтропии запутанности при оценке на чистых состояниях. Среди них:

• Перегонная запутанность
• Стоимость запутывания
• Запутанность формации
• Относительная энтропия запутанности
• Сжатое запутывание

Вот некоторые меры запутанности, которые не сводятся к энтропии запутанности:

• Негатив
• Логарифмическая отрицательность
• Устойчивость запутывания ^[1]

Энтропия запутанности Реньи [ править ]

Энтропии запутанности Реньи также определяются в терминах приведенных матриц плотности и индекса Реньи . Он определяется как энтропия Реньи приведенных матриц плотности:${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \geq 0}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {log} \operatorname {tr} (\rho _{A}^{\alpha })={\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{B})}$

Обратите внимание, что в пределе энтропия запутанности Реньи приближается к энтропии запутанности Фон Неймана.${\displaystyle \alpha \rightarrow 1}$

Пример со связанными гармоническими осцилляторами [ править ]

Рассмотрим два связанных квантовых гармонических осцилляторов , с позициями и , импульсы и , и система гамильтонова${\displaystyle q_{A}}$${\displaystyle q_{B}}$${\displaystyle p_{A}}$${\displaystyle p_{B}}$

${\displaystyle H=(p_{A}^{2}+p_{B}^{2})/2+\omega _{1}^{2}(q_{A}^{2}+q_{B}^{2})/{2}+{\omega _{2}^{2}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}}$

При матрица плотности чистого основного состояния системы равна , которая в базисе положения равна . Тогда ^[2]${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}}$${\displaystyle \rho _{AB}=|0\rangle \langle 0|}$${\displaystyle \langle q_{A},q_{B}|\rho _{AB}|q_{A}',q_{B}'\rangle \propto \exp \left(-{\omega _{+}(q_{A}+q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{+}(q'_{A}+q'_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q'_{A}-q'_{B})^{2}}/{2}\right)}$

${\displaystyle \langle q_{A}|\rho _{A}|q_{A}'\rangle \propto \exp \left({\frac {2(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}q_{A}q_{A}'-(8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2})(q_{A}^{2}+q_{A}'^{2})}{8(\omega _{+}+\omega _{-})}}\right)}$

Поскольку оказывается в точности равной матрице плотности одиночного квантового гармонического осциллятора частоты при тепловом равновесии с температурой ( где - постоянная Больцмана ), собственные значения являются неотрицательными целыми числами . Таким образом, энтропия фон Неймана${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle \omega \equiv {\sqrt {\omega _{+}\omega _{-}}}}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)}$${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle \lambda _{n}=(1-e^{-\omega /k_{B}T})e^{-n\omega /k_{B}T}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle -\sum _{n}\lambda _{n}\ln(\lambda _{n})={\frac {\omega /k_{B}T}{e^{\omega /k_{B}T}-1}}-\ln(1-e^{-\omega /k_{B}T})}$.

Аналогично энтропия Реньи .${\displaystyle S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )}$

Закон площади двудольной энтропии запутанности [ править ]

Квантовое состояние удовлетворяет закону площадей, если главный член энтропии запутанности растет не более чем пропорционально границе между двумя разделами. Законы площадей очень распространены для основных состояний локальных квантовых систем многих тел с зазором. Это имеет важные приложения, одно из которых состоит в том, что оно значительно снижает сложность квантовых систем многих тел. В матрицы плотности ренормгрупповые и матрица продуктов состояния , например, косвенно полагаться на такие законы области.^[3]

Ссылки / источники [ править ]

• Янцинг, Доминик (2009). «Энтропия запутывания». В Гринбергере, Дэниел; Хентшель, Клаус; Weinert, Friedel (ред.). Компендиум квантовой физики . Springer. стр.  205 -209. DOI : 10.1007 / 978-3-540-70626-7_66 . ISBN 978-3-540-70626-7.