Раздавленное запутывание

Сжатая запутанность , также называемая запутанностью CMI (CMI можно произносить как «см. Меня»), представляет собой теоретико-информационную меру квантовой запутанности для двусоставной квантовой системы. Если - матрица плотности системы, состоящей из двух подсистем и , то запутанность CMI системы определяется выражением${\ displaystyle \ varrho _ {A, B}}$${\ Displaystyle (А, В)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle E_ {CMI}}$${\ Displaystyle (А, В)}$

${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})={\frac {1}{2}}\min _{\varrho _{A,B,\Lambda }\in K}S(A:B|\Lambda )}$,

Уравнение (1)

где - множество всех матриц плотности для трехчастной системы таких, что . Таким образом, запутанность CMI определяется как экстремум функционала от . Ниже мы определяем квантовую условную взаимную информацию (CMI) . Более общая версия уравнения (1) заменяет «min» (минимум) в уравнении (1) на «inf» ( инфимум ). Когда является чистым состоянием, в соответствии с определением запутанности образования для чистых состояний. Вот это фон Неймана энтропия матрицы плотности .${\displaystyle K}$${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$${\displaystyle (A,B,\Lambda )}$${\displaystyle \varrho _{A,B}=tr_{\Lambda }(\varrho _{A,B,\Lambda })}$ ${\displaystyle S(A:B|\Lambda )}$${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$${\displaystyle S(A:B|\Lambda )}$${\displaystyle \varrho _{A,B}}$${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})=S(\varrho _{A})=S(\varrho _{B})}$${\displaystyle S(\varrho )}$${\displaystyle \varrho }$

Мотивация для определения запутанности CMI [ править ]

Как мы объясним ниже, запутанность CMI имеет свои корни в классической (неквантовой) теории информации .

Для любых двух случайных величин классическая теория информации определяет взаимную информацию , меру корреляций, как${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle H(A:B)=H(A)+H(B)-H(A,B)\,}$.

Уравнение (2)

Для трех случайных величин он определяет CMI как${\displaystyle A,B,\Lambda }$

${\displaystyle {\begin{matrix}H(A:B|\Lambda )&=&H(A|\Lambda )+H(B|\Lambda )-H(A,B|\Lambda )\\&=&H(A,\Lambda )+H(B,\Lambda )-H(\Lambda )-H(A,B,\Lambda )\end{matrix}}}$.

Уравнение (3)

Это можно показать .${\displaystyle H(A:B|\Lambda )\geq 0}$

Теперь предположим, что это матрица плотности для трехчастной системы . Мы представим частичный след по отношению к одной или двум его подсистемам с помощью стертого символа отслеживаемой системы. Например, . Квантовый аналог уравнения (2) можно определить следующим образом:${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$${\displaystyle (A,B,\Lambda )}$${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$${\displaystyle \varrho _{A,B}=tr_{\Lambda }(\varrho _{A,B,\Lambda })}$

${\displaystyle S(A:B)=S(\varrho _{A})+S(\varrho _{B})-S(\varrho _{A,B})\,}$,

Уравнение (4)

и квантовый аналог уравнения (3) формулой

${\displaystyle S(A:B|\Lambda )=S(\varrho _{A,\Lambda })+S(\varrho _{B,\Lambda })-S(\varrho _{\Lambda })-S(\varrho _{A,B,\Lambda })\,}$.

Уравнение (5)

Это можно показать . Это неравенство часто называют свойством сильной субаддитивности квантовой энтропии.${\displaystyle S(A:B|\Lambda )\geq 0}$

Рассмотрим три случайные величины с распределением вероятностей , которые мы будем обозначать как . Для тех, кто особенной формы${\displaystyle A,B,\Lambda }$${\displaystyle P_{A,B,\Lambda }(a,b,\lambda )}$${\displaystyle P(a,b,\lambda )}$${\displaystyle P(a,b,\lambda )}$

${\displaystyle P(a,b,\lambda )=P(a|\lambda )P(b|\lambda )P(\lambda )\,}$,

Уравнение (6)

Рис.1: Байесовская сеть, представление уравнения (6)

это можно показать . Распределения вероятностей вида (6) на самом деле описываются байесовской сетью, показанной на рисунке 1.${\displaystyle H(A:B|\Lambda )=0}$

Классическую запутанность CMI можно определить следующим образом:

${\displaystyle E_{CMI}(P_{A,B})=\min _{P_{A,B,\Lambda }\in K}H(A:B|\Lambda )}$,

Уравнение (7)

где - множество всех распределений вероятностей в трех случайных величинах , таких что для всех . Поскольку при заданном распределении вероятностей его всегда можно расширить до распределения вероятностей, которое удовлетворяет уравнению (6) ^{[ необходима цитата ]} , отсюда следует, что классическая запутанность CMI равна нулю для всех . Тот факт, что всегда исчезает, является важной мотивацией для определения . Нам нужна мера квантовой запутанности, которая исчезает в классическом режиме.${\displaystyle K}$${\displaystyle P_{A,B,\Lambda }}$${\displaystyle A,B,\Lambda }$${\displaystyle \sum _{\lambda }P_{A,B,\Lambda }(a,b,\lambda )=P_{A,B}(a,b)\,}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle P_{A,B}}$${\displaystyle P_{A,B,\Lambda }}$${\displaystyle E_{CMI}(P_{A,B})}$${\displaystyle P_{A,B}}$${\displaystyle E_{CMI}(P_{A,B})}$${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})}$

Предположим, что for - это набор неотрицательных чисел, которые в сумме дают единицу, а for - ортонормированный базис для гильбертова пространства, связанного с квантовой системой . Пусть и , для - матрицы плотности для систем и соответственно. Можно показать, что следующая матрица плотности${\displaystyle w_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$${\displaystyle |\lambda \rangle }$${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \varrho _{A}^{\lambda }}$${\displaystyle \varrho _{B}^{\lambda }}$${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }=\sum _{\lambda }\varrho _{A}^{\lambda }\varrho _{B}^{\lambda }w_{\lambda }|\lambda \rangle \langle \lambda |\,}$

Уравнение (8)

удовлетворяет . Уравнение (8) является квантовым аналогом уравнения (6). Прослеживая матрицу плотности уравнения (8) , мы получаем , что является сепарабельным состоянием . Следовательно, уравнение (1) обращается в нуль для всех сепарабельных состояний.${\displaystyle S(A:B|\Lambda )=0}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \varrho _{A,B}=\sum _{\lambda }\varrho _{A}^{\lambda }\varrho _{B}^{\lambda }w_{\lambda }\,}$${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})}$

Когда есть чистое состояние, человек получает . Это согласуется с определением запутанности образования для чистых состояний, данным Ben96 .${\displaystyle \varrho _{A,B}}$${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})=S(\varrho _{A})=S(\varrho _{B})}$

Далее предположим , для несколько состояний в гильбертовом пространстве , связанном с квантовой системой . Пусть - набор матриц плотности, определенных ранее для уравнения (1). Определите как набор всех матриц плотности, которые являются элементами и имеют особую форму . Можно показать, что если мы заменим в уравнении (1) набор его собственным подмножеством , то уравнение (1) сведется к определению запутанности образования для смешанных состояний, как это дано в Ben96 . и представляют различные степени знания о том, как было создано. представляет собой полное невежество.${\displaystyle |\psi _{A,B}^{\lambda }\rangle }$${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{o}}$${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }=\sum _{\lambda }|\psi _{A,B}^{\lambda }\rangle \langle \psi _{A,B}^{\lambda }|w_{\lambda }|\lambda \rangle \langle \lambda |\,}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{o}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{o}}$${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$${\displaystyle K}$

Поскольку запутанность CMI сводится к запутанности формации, если минимизировать ее вместо , можно ожидать, что запутанность CMI наследует многие желательные свойства от запутанности формации.${\displaystyle K_{o}}$${\displaystyle K}$

История [ править ]

Важное неравенство было впервые доказано Либом и Рускаем в LR73 .${\displaystyle S(A:B|\Lambda )\geq 0}$

Классический CMI, задаваемый уравнением (3), впервые вошел в знания теории информации вскоре после основополагающей статьи Шеннона 1948 года и, по крайней мере, уже в 1954 году в McG54 . Квантовый CMI, задаваемый уравнением (5), был впервые определен Серфом и Адами в Cer96 . Однако, похоже, Серф и Адами не осознавали связь CMI с запутанностью или возможность получения меры квантовой запутанности на основе CMI; это можно сделать, например, из более поздней статьи Cer97 , где они пытаются использовать вместо CMI для понимания запутанности. Первой статьей, явно указывающей на связь между CMI и квантовой запутанностью, является Tuc99 .${\displaystyle S(A|B)}$

Окончательное определение запутанности CMI (1) было впервые дано Туччи в серии из 6 статей. (См., Например, уравнение (8) в Tuc02 и уравнение (42) в Tuc01a ). В Tuc00b он указал на классическую вероятностную мотивацию уравнения (1) и его связь с определениями запутанности образования для чистых и смешанных состояний. В Tuc01a он представил алгоритм и компьютерную программу, основанные на методе теории информации Аримото-Блахута , для численного расчета запутанности CMI. В Tuc01b он аналитически рассчитал запутанность CMI для смешанного состояния двух кубитов .

В Hay03 Хайден, Джозса, Петц и Винтер исследовали связь между квантовым CMI и отделимостью .

Однако только до Chr03 было показано, что запутанность CMI на самом деле является мерой запутанности, т. Е. Что она не увеличивается при локальных операциях и классической коммуникации (LOCC). Доказательство адаптировало аргументы Бен96 о запутанности формации. В Chr03 они также доказали множество других интересных неравенств, касающихся запутанности CMI, в том числе то, что она аддитивна, и исследовали ее связь с другими мерами запутанности. Название « сплющенная запутанность» впервые появилось в Chr03 . В Chr05 Кристандл и Винтер аналитически вычислили запутанность CMI некоторых интересных состояний.

В Ali03 Алики и Фаннес доказали непрерывность запутанности CMI. В BCY10 Брандао, Кристандл и Ярд показали, что запутанность CMI равна нулю тогда и только тогда, когда состояние разделимо. В Hua14 Хуанг доказал, что вычисление сжатой запутанности NP-сложно.

Ссылки [ править ]

• Ali03 Alicki, R .; Фаннес, М. (2003). «Непрерывность квантовой взаимной информации». J. Phys. . 37 (55): L55 – L57. arXiv : квант-ph / 0312081 . Bibcode : 2004JPhA ... 37L..55A . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 37/5 / L01 .
• BCY10 Brandao, F .; Christandl, M .; Ярд, Дж. (Сентябрь 2011 г.). «Верное раздавленное запутывание». Сообщения по математической физике . 306 (3): 805–830. arXiv : 1010,1750 . Bibcode : 2011CMaPh.306..805B . DOI : 10.1007 / s00220-011-1302-1 .
• Ben96 Bennett, Charles H .; Ди Винченцо, Дэвид П .; Смолин, Джон А .; Wootters, Уильям К. (1996). «Смешанная запутанность состояний и квантовая коррекция ошибок». Physical Review . 54 (5): 3824–3851. arXiv : квант-ph / 9604024 . Bibcode : 1996PhRvA..54.3824B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.54.3824 . PMID 9913930 . 
• Cer96 Cerf, Нью-Джерси; Адами, К. (1996). «Квантовая механика измерения». arXiv : квант-ph / 9605002 .
• Cer97 Cerf, NJ; Adami, C .; Гингрич, Р.М. (1999). «Квантовый условный оператор и критерий отделимости». Physical Review . 60 (2): 893–898. arXiv : квант-ph / 9710001 . Bibcode : 1999PhRvA..60..893C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.60.893 .
• Chr03 Маттиас Кристандл ; Андреас Винтер (2003). « » Squashed запутывание «: Добавка мера запутанности». Журнал математической физики . 45 (3): 829–840. arXiv : квант-ph / 0308088 . Bibcode : 2004JMP .... 45..829C . DOI : 10.1063 / 1.1643788 .
• Chr05 Маттиас Кристандл ; Андреас Винтер (2005). «Неопределенность, моногамия и блокировка квантовых корреляций». IEEE Transactions по теории информации . 51 (9): 3159–3165. arXiv : квант-ph / 0501090 . DOI : 10.1109 / TIT.2005.853338 .
• Chr06 Маттиас Кристандл (2006). «Структура двудольных квантовых состояний - выводы из теории групп и криптографии». arXiv : квант-ph / 0604183 . Кембриджская докторская диссертация.
• Hay03 Патрик Хайден; Ричард Джозса; Денес Петц; Андреас Винтер (2004). «Структура состояний, удовлетворяющих сильной субаддитивности квантовой энтропии с равенством». Сообщения по математической физике . 246 (2): 359–374. arXiv : квант-ph / 0304007 . Bibcode : 2004CMaPh.246..359H . DOI : 10.1007 / s00220-004-1049-Z .
• Хуа14 Хуанг, Ичэнь (21 марта 2014 г.). «Вычислительный квантовый разлад является NP-полным». Новый журнал физики . 16 (3): 033027. arXiv : 1305.5941 . Bibcode : 2014NJPh ... 16c3027H . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 16/3/033027 .
• LR73 Эллиотт Х. Либ, Мэри Бет Рускай, "Доказательство сильной субаддитивности квантово-механической энтропии", Журнал математической физики 14 (1973) 1938-1941.
• McG54 WJ McGill, "Многомерная передача информации", IRE Trans. Информация. Теория 4 (1954) 93–111.
• Tuc99 Туччи, Роберт Р. (1999). «Квантовая запутанность и условная передача информации». arXiv : квант-ph / 9909041 .
• Tuc00a Tucci, Роберт Р. (2000). «Разделимость матриц плотности и условная передача информации». arXiv : квант-ph / 0005119 .
• Tuc00b Туччи, Роберт Р. (2000). «Запутанность формирования и условной передачи информации». arXiv : квант-ph / 0010041 .
• Tuc01a Туччи, Роберт Р. (2001). «Релаксационный метод расчета квантовой запутанности». arXiv : квант-ph / 0101123 .
• Tuc01b Туччи, Роберт Р. (2001). «Сплетение колокольных смесей двух кубитов». arXiv : квант-ph / 0103040 .
• Tuc02 Туччи, Роберт Р. (2002). «Запутанность дистилляции и условной взаимной информации». arXiv : квант-ph / 0202144 .

Внешние ссылки [ править ]

• Верное сплющенное запутывание