В квантовой механике , разъемные квантовые состояния являются состояния без квантовой запутанности .
Разделимые чистые состояния
Для простоты ниже предполагается, что все соответствующие пространства состояний конечномерны. Во-первых, рассмотрим разделимость чистых состояний .
Позволять а также быть квантово-механическими пространствами состояний, то есть конечномерными гильбертовыми пространствами с базисными состояниями а также , соответственно. Согласно постулату квантовой механики , пространство состояний составной системы задается тензорным произведением
с базовыми состояниями , или в более компактных обозначениях . Из самого определения тензорного произведения любой вектор нормы 1, т.е. чистое состояние составной системы, можно записать как
где является константой. Если чистое состояние можно записать в виде где является чистым состоянием i-й подсистемы, оно называется сепарабельным . В противном случае это называется запутанным . Когда система находится в запутанном чистом состоянии, невозможно присвоить состояния ее подсистемам. В соответствующем смысле это будет верно и для случая смешанного состояния.
Формально вложение продукта состояний в пространство продукта дается вложением Сегре . То есть квантово-механическое чистое состояние отделимо тогда и только тогда, когда оно находится в образе вложения Сегре.
Вышеупомянутое обсуждение может быть распространено на случай, когда пространство состояний является бесконечномерным и практически ничего не меняется.
Разделимость для смешанных состояний
Рассмотрим случай смешанного состояния. Смешанное состояние композитной системы описывается матрицей плотности действующий на . ρ отделимо, если существуют, а также которые являются смешанными состояниями соответствующих подсистем, такими что
где
Иначе называется запутанным состоянием. Без ограничения общности в приведенном выше выражении можно считать, что а также все являются проекциями ранга 1, т. е. представляют собой чистые ансамбли соответствующих подсистем. Из определения ясно, что семейство сепарабельных состояний является выпуклым множеством .
Обратите внимание, что, опять же из определения тензорного произведения, любая матрица плотности, фактически любая матрица, действующая в составном пространстве состояний, может быть тривиально записана в желаемой форме, если мы откажемся от требования, что а также сами государства и Если эти требования выполнены, то мы можем интерпретировать общее состояние как распределение вероятностей по некоррелированным состояниям продукта .
Что касается квантовых каналов , отделимое состояние может быть создано из любого другого состояния с использованием локальных действий и классической коммуникации, в то время как запутанное состояние - нет.
Когда пространства состояний бесконечномерны, матрицы плотности заменяются операторами класса положительных следов со следом 1, и состояние является сепарабельным, если оно может быть аппроксимировано в норме следа состояниями указанной выше формы.
Если есть только один ненулевой , то состояние называется просто отделимым (или «состоянием продукта»).
Распространение на многочастный случай
Приведенное выше обсуждение легко обобщается на случай квантовой системы, состоящей более чем из двух подсистем. Пусть система имеет n подсистем и пространство состояний. Чистое состояние отделимо, если принимает вид
Аналогично смешанное состояние ρ, действующее на H , сепарабельно, если оно является выпуклой суммой
Или, в бесконечномерном случае, ρ сепарабельно, если его можно аппроксимировать в норме следа состояниями указанного выше вида.
Критерий отделимости
Проблема определения того, является ли состояние сепарабельным в целом, иногда называется проблемой сепарабельности.в квантовой теории информации . Считается сложной проблемой. Было показано, что это NP-сложно . [1] [2] Некоторое понимание этой трудности может быть получено, если кто-то попытается решить проблему, используя прямой метод грубой силы для фиксированного измерения. Мы видим, что проблема быстро становится неразрешимой даже для небольших размеров. Таким образом, требуются более сложные рецептуры. Проблема отделимости является предметом текущих исследований.
Критерий отделимости является необходимым условием государство должно удовлетворять сепарабельными. В низкоразмерных случаях ( 2 X 2 и 2 X 3 ) критерий Переса-Городецкого фактически является необходимым и достаточным условием отделимости. Другие критерии отделимости включают (но не ограничиваясь ими) критерий диапазона , критерий сокращения , и те , которые основаны на неопределенности отношений. [3] [4] [5] [6] См. Ссылку. [7] для обзора критериев разделимости в системах с дискретными переменными.
В системах с непрерывными переменными также применяется критерий Переса-Городецкого . В частности, Саймон [8] сформулировал конкретную версию критерия Переса-Городецкого в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для-модовые гауссовские состояния (см., казалось бы, другой, но по существу эквивалентный подход в [9] ). Позже было установлено [10], что условие Саймона также необходимо и достаточно для-модовые гауссовские состояния, но уже не достаточны для -модовые гауссовские состояния. Условие Саймона можно обобщить, учитывая моменты высших порядков канонических операторов [11] [12] или используя энтропийные меры. [13] [14]
Характеризация через алгебраическую геометрию
Квантовая механика может быть смоделирована на проективном гильбертовом пространстве , и категориальным произведением двух таких пространств является вложение Сегре . В двудольном случае квантовое состояние сепарабельно тогда и только тогда, когда оно лежит в образе вложения Сегре. Йон Магне Лейнаас , Ян Мирхейм и Эйрик Оврум в своей статье «Геометрические аспекты запутанности» [15] описывают проблему и изучают геометрию сепарабельных состояний как подмножество общих матриц состояний. Это подмножество пересекается с подмножеством состояний, удовлетворяющих критерию Переса-Городецкого . В этой статье Leinaas et al. также дают численный подход к проверке разделимости в общем случае.
Проверка на разделимость
Проверка на разделимость в общем случае является NP-сложной задачей. [1] [2] Leinaas et. al. [15] сформулировал итерационный вероятностный алгоритм для проверки того, является ли данное состояние разделимым. Когда алгоритм работает успешно, он дает явное случайное представление данного состояния как отдельного состояния. В противном случае он дает расстояние от данного состояния до ближайшего разделяемого состояния, которое оно может найти.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b Гурвиц, Л., Классическая детерминированная сложность проблемы Эдмондса и квантовой запутанности, в материалах 35-го симпозиума ACM по теории вычислений, ACM Press, Нью-Йорк, 2003.
- ^ a b Севаг Гарибян, Сильная NP-трудность проблемы квантовой отделимости, Квантовая информация и вычисления, Vol. 10, No. 3 & 4, pp. 343-360, 2010. arXiv: 0810.4507.
- ^ Hofmann, Holger F .; Такеучи, Сигеки (22 сентября 2003 г.). «Нарушение отношений локальной неопределенности как признак запутанности». Physical Review . 68 (3): 032103. Arxiv : колич-фот / 0212090 . Bibcode : 2003PhRvA..68c2103H . DOI : 10.1103 / PhysRevA.68.032103 .
- ^ Гюне, Отфрид (18 марта 2004 г.). «Характеристика запутанности через отношения неопределенности». Письма с физическим обзором . 92 (11): 117903. Arxiv : колич-фот / 0306194 . Bibcode : 2004PhRvL..92k7903G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.92.117903 . PMID 15089173 .
- ^ Гюне, Отфрид; Левенштейн, Мацей (24 августа 2004 г.). «Энтропийные отношения неопределенности и запутанность». Physical Review . 70 (2): 022316. Arxiv : колич-фот / 0403219 . Bibcode : 2004PhRvA..70b2316G . DOI : 10.1103 / PhysRevA.70.022316 .
- ^ Хуан, Ичэнь (29 июля 2010 г.). «Критерии запутанности через отношения неопределенности вогнутой функции». Physical Review . 82 (1): 012335. Bibcode : 2010PhRvA..82a2335H . DOI : 10.1103 / PhysRevA.82.012335 .
- ^ Гюне, Отфрид; Тот, Геза (2009). «Обнаружение запутывания». Отчеты по физике . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Bibcode : 2009PhR ... 474 .... 1G . DOI : 10.1016 / j.physrep.2009.02.004 .
- ^ Саймон, Р. (2000). "Критерий разделимости Переса-Городецкого для непрерывных переменных систем". Письма с физическим обзором . 84 (12): 2726–2729. arXiv : квант-ph / 9909044 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2726S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.2726 . PMID 11017310 .
- ^ Дуань, Лу-Мин; Giedke, G .; Cirac, JI; Золлер, П. (2000). «Критерий неразрывности систем с непрерывными переменными». Письма с физическим обзором . 84 (12): 2722–2725. arXiv : квант-ph / 9908056 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2722D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.2722 . PMID 11017309 .
- ^ Вернер, РФ; Вольф, ММ (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Письма с физическим обзором . 86 (16): 3658–3661. arXiv : квант-ph / 0009118 . Bibcode : 2001PhRvL..86.3658W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.86.3658 . PMID 11328047 .
- ^ Щукин, Э .; Фогель, В. (2005). «Критерии неразрывности для непрерывных двудольных квантовых состояний». Письма с физическим обзором . 95 (23): 230502. Arxiv : колич-фот / 0508132 . Bibcode : 2005PhRvL..95w0502S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.95.230502 . PMID 16384285 .
- ^ Хиллери, Марк; Зубайри, М. Сухайль (2006). «Условия зацепления для двухрежимных состояний». Письма с физическим обзором . 96 (5): 050503. Arxiv : колич-фот / 0507168 . Bibcode : 2006PhRvL..96e0503H . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.96.050503 . PMID 16486912 .
- ^ Walborn, S .; Taketani, B .; Salles, A .; Тоскано, Ф .; де Матос Филью Р. (2009). «Критерии энтропийной запутанности для непрерывных переменных». Письма с физическим обзором . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Bibcode : 2009PhRvL.103p0505W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.103.160505 . PMID 19905682 .
- ^ Ичэнь Хуан (октябрь 2013 г.). «Обнаружение запутанности: сложность и энтропийные критерии Шеннона». IEEE Transactions по теории информации . 59 (10): 6774–6778. DOI : 10.1109 / TIT.2013.2257936 .
- ^ a b «Геометрические аспекты запутанности», Physical Review A 74, 012313 (2006)
Внешние ссылки
- Веб-приложение "StateSeparator"