В теории категорий , то произведение двух (или более) объектов в категории этого понятие, чтобы охватить суть позади конструкций в других областях математики , такие как декартово произведение из множеств , в прямом произведении из групп или колец , и продукт из топологических пространств . По сути, продукт семейства объектов - это «самый общий» объект, который допускает морфизм для каждого из данных объектов.
Определение
Произведение двух предметов
Исправление категории C . Пусть X 1 и X 2 объектов C . Произведение X 1 и X 2 - это объект X , обычно обозначаемый X 1 × X 2 , снабженный парой морфизмов π 1 : X → X 1 , π 2 : X → X 2, удовлетворяющий следующему универсальному свойству :
- Для каждого объекта Y и каждой пары морфизмов f 1 : Y → X 1 , f 2 : Y → X 2 существует единственный морфизм f : Y → X 1 × X 2, такой что следующая диаграмма коммутирует :
Существование продукта может зависеть от C или от X 1 и X 2 . Если он существует, то оно единственно с точностью до канонического изоморфизма, так как универсального свойства, поэтому можно говорить о о продукте.
Морфизмы π 1 и π 2 называются каноническими проекциями или проекционными морфизмами . Учитывая , Y и F 1 , F 2 , единственный морфизм е называется произведение морфизмов F 1 и F 2 и обозначается ⟨ е 1 , е 2 ⟩ .
Продукт произвольной семьи
Вместо двух объектов, мы можем начать с любым семейством объектов , индексированных по множеству I .
Для семейства ( X i ) i ∈ I объектов продукт семейства - это объект X, снабженный морфизмами π i : X → X i, удовлетворяющий следующему универсальному свойству:
- Для каждого объекта Y и любого I -индексированного семейства морфизмов f i : Y → X i существует единственный морфизм f : Y → X такой, что следующие диаграммы коммутируют для всех i в I :
Продукт обозначается ∏ i ∈ I X i . Если я = {1, ..., п } , то он обозначается Х 1 × ⋯ × Х п и произведение морфизмов обозначается ⟨ е 1 , ..., е п ⟩ .
Уравнение определение
В качестве альтернативы продукт может быть определен с помощью уравнений. Так, например, для бинарного произведения:
- Существование f гарантируется существованием операции ⟨⋅, ⋅⟩ .
- Перестановочность диаграмм выше гарантируется равенством ∀ ф 1 , ∀ F 2 ∀ я ∈ {1, 2}, π я ∘ ⟨ е 1 , е 2 ⟩ = F I .
- Уникальность е гарантируется равенством ∀ г : Y → X 1 × Х 2 , ⟨ л 1 ∘ г , л 2 ∘ г ⟩ = г . [1]
Как предел
Продукт является частным случаем лимита . Это можно увидеть, используя дискретную категорию (семейство объектов без каких-либо морфизмов, кроме их тождественных морфизмов) в качестве диаграммы, необходимой для определения предела. Дискретные объекты будут служить указателем компонентов и проекций. Если рассматривать эту диаграмму как функтор, то это функтор из набора индексов, который я считал дискретной категорией. Тогда определение произведения совпадает с определением предела, где { f } i является конусом, а проекции - пределом (ограничивающим конусом).
Универсальная собственность
Так же, как предел является частным случаем универсальной конструкции , так и продукт. Начиная с определением , данным для универсального свойства пределов , взять J в качестве дискретной категории с двумя объектами, так что C J это просто категория продукта C × C . Диагональная функтор Δ: C → C × C присваивает каждый объект Х упорядоченная пара ( Х , Х ) и каждый морфизм ф пары ( ф , ф ) . Продукт Х 1 × Х 2 в С задаются универсальным морфизмом из функтора А к объекту ( Х 1 , Х 2 ) в С × С . Этот универсальный морфизм состоит из объекта X языка C и морфизма ( X , X ) → ( X 1 , X 2 ), который содержит проекции.
Примеры
В категории множеств продукт (в теоретико-категориальном смысле) - это декартово произведение. Для семейства множеств X i произведение определяется как
- ∏ i ∈ I X i : = {( x i ) i ∈ I | ∀ i ∈ I , x i ∈ X i }
с каноническими проекциями
- π j : ∏ i ∈ I X i → X j , π j (( x i ) i ∈ I ): = x j .
Учитывая , любой набор Y с семейством функций ф I : Y → X я , универсальная стрелка F : Y → П я ∈ I Х я определяется F ( у ) : = ( е я ( у )) я ∈ I .
Другие примеры:
- В категории топологических пространств продукт - это пространство, базовым множеством которого является декартово произведение и которое несет топологию продукта . Топология продукта - это грубейшая топология, для которой все проекции непрерывны .
- В категории модулей над некоторым кольцом R произведением является декартово произведение с покомпонентным сложением и дистрибутивным умножением.
- В категории групп произведение - это прямое произведение групп, заданных декартовым произведением с покомпонентным умножением.
- В категории графов произведением является тензорное произведение графов .
- В категории отношений продукт представляет собой несвязное объединение . (Это может немного удивить, учитывая, что категория множеств является подкатегорией категории отношений.)
- В категории алгебраических многообразий произведение дается вложением Сегре .
- В категории полуабелевых моноидов продукт представляет собой исторический моноид .
- Частично упорядоченное множество можно рассматривать как категорию, используя отношение порядка в качестве морфизмов. В этом случае произведения и копроизведения соответствуют точным нижним границам ( соответствует ) и наименьшим верхним границам ( соединениям ).
Обсуждение
Пример, в котором продукт не существует: в категории полей продукт Q × F p не существует, поскольку нет поля с гомоморфизмами как в Q, так и в F p .
Другой пример: пустой продукт (т.е. I - пустое множество ) совпадает с конечным объектом , а некоторые категории, такие как категория бесконечных групп, не имеют конечного объекта: для любой бесконечной группы G существует бесконечно много морфизмы, поэтому G не может быть терминальным.
Если я такое множество, что все продукты для семей , индексированных с I существует, то можно рассматривать каждый продукт как функтор C I → C . [2] Как этот функтор отображает объекты, очевидно. Отображение морфизмов является тонким, потому что продукт морфизмов, определенных выше, не подходит. Сначала рассмотрим функтор двоичного произведения, который является бифунктором . Для f 1 : X 1 → Y 1 , f 2 : X 2 → Y 2 мы должны найти морфизм X 1 × X 2 → Y 1 × Y 2 . Выберем ⟨ е 1 ∘ π 1 , е 2 ∘ π 2 ⟩ . Эта операция над морфизмами называется декартовым произведением морфизмов . [3] Во-вторых, рассмотрим общий функтор произведения. Для семейств { X } i , { Y } i , f i : X i → Y i мы должны найти морфизм ∏ i ∈ I X i → ∏ i ∈ I Y i . Выберем произведение морфизмов { f i ∘ π i } i .
Категория, в которой каждый конечный набор объектов имеет продукт, иногда называется декартовой категорией [3] (хотя некоторые авторы используют эту фразу для обозначения «категории со всеми конечными пределами»).
Товар ассоциативный . Пусть С является декартовой категорией, функторы продукта были выбраны , как описаны выше, и 1 обозначает клеммный объект C . Тогда у нас есть естественные изоморфизмы
Эти свойства формально аналогичны свойствам коммутативного моноида ; декартова категория с ее конечными произведениями является примером симметричной моноидальной категории .
Распределительность
Для любых объектов X , Y и Z категории с конечными произведениями и копроизведениями существует канонический морфизм X × Y + X × Z → X × ( Y + Z ) , где знак плюс здесь обозначает копроизведение . Чтобы убедиться в этом, отметим, что универсальное свойство копроизведения X × Y + X × Z гарантирует существование уникальных стрелок, заполняющих следующую диаграмму (индуцированные стрелки отмечены пунктиром):
Универсальное свойство произведения X × ( Y + Z ) тогда гарантирует уникальный морфизм X × Y + X × Z → X × ( Y + Z ), индуцированный пунктирными стрелками на приведенной выше диаграмме. Дистрибутивный категория является один , в котором этот морфизм является на самом деле изоморфизмом. Таким образом, в дистрибутивной категории имеется канонический изоморфизм
Смотрите также
- Копродукт - двойник продукта
- Диагональный функтор - левый сопряженный функтора произведения.
- Предел и копределы
- Эквалайзер
- Обратный предел
- Декартова закрытая категория
- Категорический откат
Рекомендации
- ^ Ламбека Дж, Скотт П. (1988). Введение в категориальную логику высокого порядка . Издательство Кембриджского университета. п. 304.
- ^ Лейн, С. Мак (1988). Категории для работающего математика (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 37. ISBN 0-387-90035-7.
- ^ а б Майкл Барр, Чарльз Уэллс (1999). Теория категорий - Конспект лекций для ESSLLI . п. 62. Архивировано из оригинала на 2011-04-13.
- Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
- Барр, Майкл; Чарльз Уэллс (1999). Теория категорий для вычислительной науки (PDF) . Les Publications CRM Montreal (публикация PM023). Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 21 марта 2016 . Глава 5.
- Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
- Определение 2.1.1 в Борсё, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений 50–51, 53 [т.е. 52]. Том 1. Издательство Кембриджского университета. п. 39 . ISBN 0-521-44178-1.
|volume=
есть дополнительный текст ( справка )
Внешние ссылки
- Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры продуктов в категории конечных наборов. Автор Джоселин Пейн .
- Продукт в nLab