В теории категорий , разделе математики , универсальное свойство является важным свойством, которому удовлетворяет универсальный морфизм (см. Формальное определение). Универсальные морфизмы также можно рассматривать более абстрактно , как начальные или терминальные объекты одного категории разделителей (см Связи с запятой Категорией). Универсальные свойства встречаются в математике почти повсюду, и поэтому точное теоретико-категориальное понятие помогает выявить сходства между различными разделами математики, некоторые из которых могут даже показаться несвязанными.
Универсальные свойства могут неявно использоваться в других областях математики, но абстрактное и более точное определение их можно изучить в теории категорий.
В этой статье дается общее описание универсальных свойств. Чтобы понять концепцию, полезно сначала изучить несколько примеров, которых много: все свободные объекты , прямое произведение и прямая сумма , свободная группа , свободная решетка , группа Гротендика , пополнение Дедекинда – МакНейла , топология произведения , Стоун – Чех компактификация , тензорное произведение , обратный предел и прямой предел , ядро и коядро , откат , выталкивание и эквалайзер .
Мотивация
Прежде чем дать формальное определение универсальных свойств, мы предложим некоторые мотивы для изучения таких конструкций.
- Конкретные детали данной конструкции могут быть беспорядочными, но если конструкция удовлетворяет универсальному свойству, можно забыть обо всех этих деталях: все, что нужно знать о конструкции, уже содержится в универсальном свойстве. Доказательства часто становятся короткими и элегантными, если использовать универсальное свойство, а не конкретные детали. Например, тензорная алгебра из векторного пространства немного больно на самом деле построить, но используя его универсальное свойство делает его гораздо легче иметь дело с.
- Универсальные свойства определяют объекты однозначно с точностью до уникального изоморфизма . [1] Таким образом, один из способов доказать, что два объекта изоморфны, - это показать, что они удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.
- Универсальные конструкции функториальны в природе: если один может осуществлять строительство для каждого объекта в категории С , то получается функтор на C . Кроме того, этот функтор является сопряженным справа или слева функтору U, используемому в определении универсального свойства. [2]
- Универсальные свойства встречаются в математике повсюду. Понимая их абстрактные свойства, можно получить информацию обо всех этих конструкциях и избежать повторения одного и того же анализа для каждого отдельного случая.
Формальное определение
Чтобы понять определение универсальной конструкции, важно посмотреть на примеры. Универсальные конструкции не были определены на пустом месте, а были, скорее, определены после того, как математики начали замечать закономерности во многих математических конструкциях (см. Примеры ниже). Следовательно, определение может сначала не иметь смысла для человека, но станет ясным, когда его свяжут с конкретными примерами.
Позволять быть функтором между категориями а также . В дальнейшем пусть быть объектом , пока а также являются объектами .
Таким образом, функтор карты , а также в к , а также в .
Универсальный морфизм к уникальная пара в который обладает следующим свойством, обычно называемым универсальным свойством . Для любого морфизма вида в , существует единственный морфизм в такая, что коммутирует следующая диаграмма :
Мы можем дуализировать это категориальное понятие. Универсальный морфизм к уникальная пара который удовлетворяет следующему универсальному свойству. Для любого морфизма вида в , существует единственный морфизм в такая, что коммутирует следующая диаграмма:
Обратите внимание, что в каждом определении стрелки перевернуты. Оба определения необходимы для описания универсальных конструкций, которые появляются в математике; но они также возникают из-за присущей теории категорий двойственности. В любом случае мы говорим, что пара который ведет себя, как указано выше, удовлетворяет универсальному свойству.
В качестве примечания некоторые авторы представляют вторую диаграмму следующим образом.
Конечно, схемы такие же; выбор способа написания - дело вкуса. Они просто отличаются поворотом на 180 °. Однако исходная диаграмма предпочтительнее, потому что она иллюстрирует двойственность между двумя определениями, поскольку ясно, что стрелки в каждом случае меняются местами.
Связь с категориями запятых
Универсальные морфизмы можно описать более кратко как начальные и конечные объекты в категории запятых.
Позволять быть функтором и объект . Затем напомним, что категория запятой это категория, в которой
- Объекты - это пары формы , где это объект в
- Морфизм из к дается морфизмом в такая, что диаграмма коммутирует:
Теперь предположим, что объект в начальный. Тогда для каждого объекта, существует единственный морфизм такая, что следующая диаграмма коммутирует.
Обратите внимание, что равенство здесь просто означает, что диаграммы совпадают. Также обратите внимание, что диаграмма в правой части равенства точно такая же, как и диаграмма, предложенная при определении универсального морфизма из к . Таким образом, мы видим, что универсальный морфизм из к эквивалентно начальному объекту в категории запятой .
Напротив, напомним, что категория запятой это категория, в которой
- Объекты - это пары формы где это объект в
- Морфизм из к дается морфизмом в такая, что диаграмма коммутирует:
Предполагать является конечным объектом в . Тогда для каждого объекта, существует единственный морфизм такие, что следующие диаграммы коммутируют.
Диаграмма в правой части равенства - это та же диаграмма, что и при определении универсального морфизма из к . Следовательно, универсальный морфизм из к соответствует конечному объекту в категории запятая .
Примеры
Ниже приведены несколько примеров, чтобы подчеркнуть общую идею. Читатель может построить множество других примеров, обратившись к статьям, упомянутым во введении.
Тензорные алгебры
Позволять - категория векторных пространств -Vect над полем и разреши быть категорией алгебр -Alg over(предполагается, что они единичны и ассоциативны ). Позволять
- : -Alg → -Vect
быть забывчивым функтором, который присваивает каждой алгебре ее базовое векторное пространство.
Учитывая любое векторное пространство над мы можем построить тензорную алгебру . Тензорная алгебра характеризуется тем, что:
- «Любая линейная карта из к алгебре однозначно продолжается до гомоморфизма алгебр из к . »
Это утверждение является исходным свойством тензорной алгебры, поскольку оно выражает тот факт, что пара , где отображение включения, универсальный морфизм из векторного пространства к функтору .
Поскольку эта конструкция работает для любого векторного пространства , заключаем, что является функтором от -Vect в-Алг . Это значит, чтоявляется левым сопряженным к забывчивым функтора(см. раздел ниже о присоединенных функторах ).
Продукты
Категоричен продукт может характеризоваться универсальной конструкцией. Для конкретности можно рассматривать декартово произведение в Set , прямое произведение в Grp или топологию продукта в Top , где продукты существуют.
Позволять а также быть объектами категории с конечными продуктами. Продукт а также это объект × вместе с двумя морфизмами
- :
- :
так что для любого другого объекта из и морфизмы а также существует уникальный морфизм такой, что а также .
Чтобы понять эту характеристику как универсальное свойство, возьмем категорию быть товарной категорией и определим диагональный функтор
от а также . потом универсальный морфизм из к объекту из : если есть ли какой-либо морфизм из к , то он должен быть морфизмом из к с последующим .
Пределы и коллимиты
Категориальные продукты - это особый вид ограничений в теории категорий. Приведенный выше пример можно обобщить на произвольные пределы и копределы.
Позволять а также быть категориями с небольшой Индекс категории и пусть- соответствующая категория функторов . Диагональный функтор
это функтор, который отображает каждый объект в к постоянному функтору к (т.е. для каждого в ).
Учитывая функтор (мыслится как объект в ), То предел из, если он существует, есть не что иное, как универсальный морфизм из к . Двойственно, то копредел из универсальный морфизм из к .
Характеристики
Существование и уникальность
Определение количества не гарантирует его существования. Учитывая функтор и объект из , может существовать или не существовать универсальный морфизм из к . Если же универсальный морфизмдействительно существует, то он по сути уникален. В частности, он является уникальным до более уникального изоморфизма : если другая пара, то существует единственный изоморфизм такой, что . В этом легко убедиться, подставив в определении универсального морфизма.
Это пара что по сути уникально в этом смысле. Объектсам по себе единственен с точностью до изоморфизма. Действительно, если универсальный морфизм и есть любой изоморфизм, то пара , где также универсальный морфизм.
Эквивалентные составы
Определение универсального морфизма можно перефразировать по-разному. Позволять быть функтором и пусть быть объектом . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
- универсальный морфизм из к
- представляет собой исходный объект из категории запятой
- является представление о
Двойные утверждения также эквивалентны:
- универсальный морфизм из к
- является конечным объектом категории запятая
- представляет собой представление
Отношение к присоединенным функторам
Предполагать универсальный морфизм из к а также универсальный морфизм из к . По универсальному свойству универсальных морфизмов для любого морфизма существует уникальный морфизм такая, что коммутирует следующая диаграмма:
Если каждый объект из допускает универсальный морфизм , то присвоение а также определяет функтор . Картызатем определите естественное преобразование из (функтор тождества на ) к . Функторыявляются парой сопряженных функторов , причем слева примыкает к а также право-примыкающий к .
Аналогичные утверждения применимы к двойственной ситуации терминальных морфизмов из . Если такие морфизмы существуют для каждого в получается функтор которая сопряжена справа с (так слева сопряжена с ).
Действительно, все пары сопряженных функторов возникают из универсальных конструкций таким образом. Позволять а также - пара сопряженных функторов с единицей и совместное предприятие (определения см. в статье о сопряженных функторах ). Тогда у нас есть универсальный морфизм для каждого объекта в а также :
- Для каждого объекта в , универсальный морфизм из к . То есть для всех существует уникальный для которых коммутируют следующие диаграммы.
- Для каждого объекта в , универсальный морфизм из к . То есть для всех существует уникальный для которых коммутируют следующие диаграммы.
Универсальные конструкции более общие, чем пары сопряженных функторов: универсальная конструкция подобна задаче оптимизации; она порождает присоединенную пару тогда и только тогда, когда эта проблема имеет решение для каждого объекта (эквивалентно, каждый объект ).
История
Универсальные свойства различных топологических конструкций были представлены Пьером Самуэлем в 1948 году. Позже они широко использовались Бурбаки . Тесно связанное понятие сопряженных функторов было независимо введено Дэниелом Каном в 1958 году.
Смотрите также
- Бесплатный объект
- Естественная трансформация
- Присоединенный функтор
- Монада (теория категорий)
- Разнообразие алгебр
- Декартова закрытая категория
Заметки
- Перейти ↑ Jacobson (2009), Proposition 1.6, p. 44.
- ^ См., Например, Polcino & Sehgal (2002), стр. 133. Упражнение 1 об универсальности групповых колец .
Рекомендации
- Пол Кон , Универсальная алгебра (1981), D.Reidel Publishing, Голландия. ISBN 90-277-1213-1 .
- Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
- Борсё, Ф. Справочник по категориальной алгебре: том 1 Базовая теория категорий (1994) Cambridge University Press, (Энциклопедия математики и ее приложений) ISBN 0-521-44178-1
- Н. Бурбаки, Livre II: Algèbre (1970), Герман, ISBN 0-201-00639-1 .
- Милиес, Сезар Польчино; Сегал, Сударшан К. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, Том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
- Якобсон. Базовая алгебра II. Дувр. 2009 г. ISBN 0-486-47187-X
Внешние ссылки
- nLab , вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения
- Андре Жоял , CatLab , вики-проект, посвященный демонстрации категориальной математики
- Хиллман, Крис. «Категорический букварь». CiteSeerX 10.1.1.24.3264 : Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) формальное введение в теорию категорий. - Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штекер, Абстрактные и конкретные категории - радость кошек
- Стэнфордская энциклопедия философии : « Теория категорий » - Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
- Список научных конференций по теории категорий
- Баэз, Джон, 1996, « Сказка о n- категориях ». Неформальное введение в категории высшего порядка.
- WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .
- The catsters , YouTube-канал о теории категорий.
- Видеоархив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
- Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.