Критерий редукции

В квантовой теории информации , то критерий сокращения является необходимым условием а смешанное состояние должно удовлетворять для того , чтобы быть отделимо . Другими словами, критерий редукции - это критерий отделимости . Впервые это было доказано ^[1] и независимо сформулировано в 1999 году. ^[2] Нарушение критерия восстановления тесно связано с дистиллируемостью рассматриваемого состояния. ^[1]

Подробности [ править ]

Пусть H ₁ и H ₂ - гильбертовы пространства конечных размерностей n и m соответственно. L ( H _i ) будет обозначать пространство линейных операторов, действующих на H _i . Рассмотрим двудольную квантовую систему, пространство состояний которой является тензорным произведением

{\ displaystyle H = H_ {1} \ otimes H_ {2}.}

(Ип-нормализовано) смешанное состояние ρ является положительным линейным оператором (матрица плотности) , действующее на H .

Линейное отображение Φ: L ( H ₂ ) → L ( H ₁ ) называется положительным, если оно сохраняет конус положительных элементов, т. Е. A положительно, значит, Φ ( A ) также.

Из взаимно однозначного соответствия между положительными отображениями и свидетелями запутанности следует, что состояние ρ запутано тогда и только тогда, когда существует положительное отображение Φ такое, что

{\ Displaystyle (I \ otimes \ Phi) (\ rho)}

не положительный. Следовательно, если ρ отделимо, то для любого положительного отображения Φ

{\ Displaystyle (I \ otimes \ Phi) (\ rho) \ geq 0.}

Таким образом, каждое положительное, но не полностью положительное отображение Φ таким образом порождает необходимое условие отделимости. Критерий редукции является частным примером этого.

Предположим, что H ₁ = H ₂ . Определим положительное отображение Φ: L ( H ₂ ) → L ( H ₁ ) следующим образом:

{\ displaystyle \ Phi (A) = \ operatorname {Tr} AA.}

Известно, что Φ положительно, но не полностью положительно. Таким образом , сепарабельность смешанного состояния ρ означает

{\ Displaystyle (I \ otimes \ Phi) (\ rho) \ geq 0.}

Прямой расчет показывает, что приведенное выше выражение совпадает с

{\ displaystyle I \ otimes \ rho _ {1} - \ rho \ geq 0}

где ρ ₁ представляет собой частичный след от р по отношению к второй системе. Двойственное отношение

{\ displaystyle \ rho _ {2} \ otimes I- \ rho \ geq 0}

получается аналогично. Критерий редукции состоит из двух указанных выше неравенств.

Связь с границами Фреше [ править ]

Последние два неравенства вместе с нижними границами для ρ можно рассматривать как квантовые неравенства Фреше , то есть как квантовый аналог классических вероятностных оценок Фреше , которые выполняются для сепарабельных квантовых состояний . Верхние границы являются предыдущие , и нижние границы являются очевидным сдерживающим фактором вместе с , где единичные матрицы подходящих размеров. Нижние оценки были получены в ^[3]^:^{Теорема A.16} Этим ^{оценкам} удовлетворяют сепарабельные матрицы плотности, а запутанные состояния могут их нарушать. ${\ Displaystyle I \ otimes \ rho _ {1} \ geq \ rho}$ $\rho _{2}\otimes I\geq \rho$ $\rho \geq 0$ $\rho \geq I\otimes \rho _{1}+\rho _{2}\otimes I-I$ $I$ . Запутанные состояния демонстрируют форму стохастической зависимости, более сильную, чем сильнейшая классическая зависимость, и фактически они нарушают границы типа Фреше. Также стоит упомянуть, что можно дать байесовскую интерпретацию этих границ. ^[3]

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b М. Городецкий и П. Городецкий (1999). «Редукционный критерий разделимости и пределы для класса протоколов перегонки». Phys. Rev. A . 59 : 4206. Arxiv : колич-фот / 9708015 . Bibcode : 1999PhRvA..59.4206H . DOI : 10.1103 / PhysRevA.59.4206 .
^ Н. Серф; и другие. (1999). «Критерий приведения к разделимости». Phys. Rev. A . 60 : 898. arXiv : Quant-ph / 9710001 . Bibcode : 1999PhRvA..60..898C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.60.898 .
^ ^а ^б Бенаволи, А .; Факкини, А .; Заффалон, М. (10 октября 2016 г.). «Квантовая механика: байесовская теория, обобщенная на пространство эрмитовых матриц» . Physical Review . 94 (4): 1-27. arXiv : 1605.08177 . Bibcode : 2016PhRvA..94d2106B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.94.042106 .

[HH99-1] М. Городецкий и П. Городецкий (1999). «Редукционный критерий разделимости и пределы для класса протоколов перегонки». Phys. Rev. A . 59 : 4206. Arxiv : колич-фот / 9708015 . Bibcode : 1999PhRvA..59.4206H . DOI : 10.1103 / PhysRevA.59.4206 .

[Cerf99-2] Н. Серф; и другие. (1999). «Критерий приведения к разделимости». Phys. Rev. A . 60 : 898. arXiv : Quant-ph / 9710001 . Bibcode : 1999PhRvA..60..898C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.60.898 .

[benavoli2016-3] а ^б Бенаволи, А .; Факкини, А .; Заффалон, М. (10 октября 2016 г.). «Квантовая механика: байесовская теория, обобщенная на пространство эрмитовых матриц» . Physical Review . 94 (4): 1-27. arXiv : 1605.08177 . Bibcode : 2016PhRvA..94d2106B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.94.042106 .

[1]