В вероятностной логике неравенства Фреше , также известные как неравенства Буля-Фреше , являются правилами, неявными в работах Джорджа Буля [1] [2] и явно выведенными Морисом Фреше [3] [4] , которые управляют комбинацией вероятностей о логических предложениях или событиях, логически связанных друг с другом с помощью конъюнкций ( операций И ) или дизъюнкций ( операций ИЛИ ), как в логических выражениях или деревьях ошибок или событий, распространенных воценка рисков , инженерное проектирование и искусственный интеллект . Эти неравенства можно рассматривать как правила о том, как ограничивать вычисления, включающие вероятности, не предполагая независимости или даже не делая никаких предположений о зависимости . Неравенства Фреше тесно связаны с неравенствами Буля–Бонферрони–Фреше и с оценками Фреше .
где P( ) обозначает вероятность события или предложения. В случае, когда есть только два события, скажем, А и В , неравенства сводятся к
Неравенства связывают вероятности двух видов совместных событий с учетом вероятностей отдельных событий. Например, если A «имеет рак легких», а B — «имеет мезотелиому», то A & B — «имеет и рак легких, и мезотелиому», а A ∨ B — «имеет рак легких, мезотелиому или оба заболевания». а неравенства связывают риски этих событий.
Обратите внимание, что логические союзы обозначаются по-разному в разных полях, включая И, &, ∧ и графические элементы И. Логические дизъюнкции также обозначаются по-разному, включая ИЛИ, |, ∨ и графические элементы ИЛИ . Если события считать наборами , а не логическими предложениями , теоретико-множественные версии неравенств Фреше будут
Если вероятность события А равна Р(А) = а = 0,7, а вероятность события В равна Р(В) = b = 0,8, то вероятность конъюнкции , т. е. совместного события А и В, обязательно в промежутке
Эти интервалы сопоставляются с результатами, полученными из правил вероятности, предполагающих независимость , где вероятность соединения равна P(A & B) = a × b = 0,7 × 0,8 = 0,56, а вероятность дизъюнкции равна P(A ∨ В) = а + б - а × Ь = 0,94.