Критерий Переса – Городецкого

Критерий Перес-Horodecki является необходимым условием для совместной матрицы плотности два механических систем квантовых и , быть отделимы . Его также называют критерием PPT для положительного частичного транспонирования . В случаях размерностей 2x2 и 2x3 условие также является достаточным. Он используется для определения разделимости смешанных состояний , где разложение Шмидта не применяется. ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

В более высоких измерениях тест неубедителен, и его следует дополнить более продвинутыми тестами, такими как тесты, основанные на свидетелях запутанности .

Определение [ править ]

Если у нас есть общее состояние, которое действует на ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {B}}$

\rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|

Его частичное транспонирование (относительно стороны B) определяется как

\rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|

Обратите внимание, что партиал в имени подразумевает, что транспонируется только часть состояния. Точнее, карта идентичности применяется к стороне A, а карта транспонирования применяется к стороне B. $(I\otimes T)(\rho )$

Это определение можно увидеть более четко, если мы запишем состояние в виде блочной матрицы:

\rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}}

Где , а каждый блок представляет собой квадратную матрицу размерности . Тогда частичное транспонирование будет $n=\dim {\mathcal {H}}_{A}$ $m=\dim {\mathcal {H}}_{B}$

\rho ^{T_{B}}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}

Критерий утверждает , что если сепарабельно , то все собственные значения из неотрицательны. Другими словами, если у него отрицательное собственное значение, запутывание гарантировано . Обратное к этим утверждениям верно тогда и только тогда, когда размерность пространства продукта равна или . $\rho \;\!$ $\rho ^{T_{B}}$ $\rho ^{T_{B}}$ $\rho \;\!$ $2\times 2$ $2\times 3$

Результат не зависит от транспонированной стороны, потому что . $\rho ^{T_{A}}=(\rho ^{T_{B}})^{T}$

Пример [ править ]

Рассмотрим это 2-кубитное семейство утверждений Вернера :

\rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}

Это можно рассматривать как выпуклую комбинацию из , в максимально запутанном состоянии , и идентичности, в максимально смешанном состоянии . $|\Psi ^{-}\rangle$

Его матрица плотности равна

\rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}

и частичное транспонирование

\rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}

Наименьшее собственное значение равно . Следовательно, состояние запутано для . $(1-3p)/4$ $1\geq p>1/3$

Демонстрация [ править ]

Если ρ отделимо, его можно записать как

\rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}

В этом случае эффект частичного транспонирования тривиален:

\rho ^{T_{B}}=I\otimes T(\rho )=\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}

Поскольку отображение транспонирования сохраняет собственные значения, спектр оператора такой же, как спектр , и, в частности, должен быть положительно полуопределенным. Таким образом, также должно быть положительно полуопределенным. Это доказывает необходимость критерия PPT. $(\rho _{i}^{B})^{T}$ $\rho _{i}^{B}\;\!$ $(\rho _{i}^{B})^{T}$ $\rho ^{T_{B}}$

Более сложно показать, что быть PPT также достаточно для случаев 2 X 2 и 3 X 2 (эквивалентно 2 X 3). Городецкие показали, что для каждого запутанного состояния существует свидетель запутанности . Это результат геометрической природы и вызывает теорему Хана – Банаха (см. Ссылку ниже).

Из существования свидетелей запутанности можно показать, что положительность для всех положительных отображений Λ является необходимым и достаточным условием отделимости ρ, где Λ отображается в $I\otimes \Lambda (\rho )$ $B({\mathcal {H}}_{B})$ $B({\mathcal {H}}_{A})$

Более того, каждое положительное отображение от до может быть разложено на сумму полностью положительных и полностью копозитивных отображений, когда и . Другими словами, любое такое отображение Λ можно записать как $B({\mathcal {H}}_{B})$ $B({\mathcal {H}}_{A})$ ${\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2$ ${\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A})=2\;{\textrm {or}}\;3$

\Lambda =\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\circ T,

где и полностью положительны, а T - отображение транспозиции. Это следует из теоремы Стёрмера-Вороновича. $\Lambda _{1}$ $\Lambda _{2}$

Грубо говоря, карта транспонирования является единственной, которая может генерировать отрицательные собственные значения в этих измерениях. Итак, если положительно, положительно для любого Λ. Таким образом, мы заключаем, что критерий Переса – Городецкого также достаточен для отделимости, когда . $\rho ^{T_{B}}$ $I\otimes \Lambda (\rho )$ ${\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B})\leq 6$

Однако в более высоких измерениях существуют карты, которые нельзя разложить таким образом, и критерия уже недостаточно. Следовательно, есть запутанные состояния, которые имеют положительное частичное транспонирование. Такие состояния имеют интересное свойство , что они Bound запутался , то есть они не могут быть дистиллированными для квантовой связи целей.

Системы непрерывных переменных [ править ]

Критерий Переса – Городецкого был распространен на системы с непрерывными переменными. Саймон ^[1] сформулировал конкретную версию критерия PPT в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для -модовых гауссовских состояний (см. ^[2] для кажущихся разными, но по существу эквивалентных подход). Позже было обнаружено ^[3], что условие Саймона также необходимо и достаточно для -модовых гауссовских состояний, но уже не достаточно для -модовых гауссовых состояний. Условие Саймона можно обобщить, учитывая моменты высших порядков канонических операторов ^[4]^[5] или используя энтропийные меры. ^[6] $1\oplus 1$ $1\oplus n$ $2\oplus 2$ ^[7]

Симметричные системы [ править ]

Для симметричных состояний двудольных систем положительность частичного транспонирования матрицы плотности связана со знаком некоторых двухчастичных корреляций. Здесь симметрия означает, что

\rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,

имеет место, где оператор переворота или свопинга обменивается двумя сторонами и . Полный базис симметричного подпространства имеет вид с и здесь для и должны иметь, где размерность двух сторон. $F_{AB}$ $A$ $B$ $(\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt {2}}$ $m\neq n$ $\vert n\rangle _{A}\vert n\rangle _{B}.$ $n$ $m,$ $0\leq n,m\leq d-1$ $d$

Можно показать, что для таких состояний имеет положительное частичное транспонирование тогда и только тогда, когда ^[8] $\rho$

\langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0

выполняется для всех операторов Следовательно, если выполняется для некоторых, то состояние обладает не-PPT- сцепленностью . $M.$ $\langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0$ $M$

Ссылки [ править ]

^ Саймон, Р. (2000). "Критерий разделимости Переса-Городецкого для непрерывных переменных систем". Письма с физическим обзором . 84 (12): 2726–2729. arXiv : квант-ph / 9909044 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2726S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.2726 . PMID 11017310 .
^ Дуань, Лу-Мин; Giedke, G .; Cirac, JI; Золлер, П. (2000). «Критерий неразрывности систем с непрерывными переменными». Письма с физическим обзором . 84 (12): 2722–2725. arXiv : квант-ph / 9908056 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2722D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.2722 . PMID 11017309 .
^ Вернер, РФ; Вольф, ММ (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Письма с физическим обзором . 86 (16): 3658–3661. arXiv : квант-ph / 0009118 . Bibcode : 2001PhRvL..86.3658W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.86.3658 . PMID 11328047 .
^ Щукин, Е .; Фогель, В. (2005). «Критерии неразрывности для непрерывных двудольных квантовых состояний». Письма с физическим обзором . 95 (23): 230502. Arxiv : колич-фот / 0508132 . Bibcode : 2005PhRvL..95w0502S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.95.230502 . PMID 16384285 .
^ Хиллери, Марк; Зубайри, М. Сухайль (2006). «Условия зацепления для двухрежимных состояний». Письма с физическим обзором . 96 (5): 050503. Arxiv : колич-фот / 0507168 . Bibcode : 2006PhRvL..96e0503H . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.96.050503 . PMID 16486912 .
^ Walborn, S .; Taketani, B .; Salles, A .; Тоскано, Ф .; де Матос Филью Р. (2009). «Критерии энтропийной запутанности для непрерывных переменных». Письма с физическим обзором . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Bibcode : 2009PhRvL.103p0505W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.103.160505 . PMID 19905682 .
^ Yichen Хуанг (октябрь 2013). «Обнаружение запутанности: сложность и энтропийные критерии Шеннона». IEEE Transactions по теории информации . 59 (10): 6774–6778. DOI : 10.1109 / TIT.2013.2257936 .
^ Тот, Геза; Гюне, Отфрид (1 мая 2009 г.). «Запутанность и перестановочная симметрия». Письма с физическим обзором . 102 (17): 170503. arXiv : 0812.4453 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.170503 .

Ашер Перес , Критерий разделимости матриц плотности , Phys. Rev. Lett. 77 , 1413–1415 (1996).
Городецкий, Михал; Городецкий, Павел; Городецкий, Рышард (1996). «Разделимость смешанных состояний: необходимые и достаточные условия». Физика Буквы A . 223 (1–2): 1–8. arXiv : квант-ph / 9605038 . Bibcode : 1996PhLA..223 .... 1H . DOI : 10.1016 / s0375-9601 (96) 00706-2 .
Кароль Жичковски и Ингемар Бенгтссон, Геометрия квантовых состояний , Cambridge University Press, 2006
Воронович, SL (1976). «Положительные отображения матричных алгебр малой размерности». Rep. Math. Phys . 10 (2): 165–183. Bibcode : 1976RpMP ... 10..165W . DOI : 10.1016 / 0034-4877 (76) 90038-0 .

[1] Саймон, Р. (2000). "Критерий разделимости Переса-Городецкого для непрерывных переменных систем". Письма с физическим обзором . 84 (12): 2726–2729. arXiv : квант-ph / 9909044 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2726S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.2726 . PMID 11017310 .

[2] Дуань, Лу-Мин; Giedke, G .; Cirac, JI; Золлер, П. (2000). «Критерий неразрывности систем с непрерывными переменными». Письма с физическим обзором . 84 (12): 2722–2725. arXiv : квант-ph / 9908056 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2722D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.2722 . PMID 11017309 .

[3] Вернер, РФ; Вольф, ММ (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Письма с физическим обзором . 86 (16): 3658–3661. arXiv : квант-ph / 0009118 . Bibcode : 2001PhRvL..86.3658W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.86.3658 . PMID 11328047 .

[4] Щукин, Е .; Фогель, В. (2005). «Критерии неразрывности для непрерывных двудольных квантовых состояний». Письма с физическим обзором . 95 (23): 230502. Arxiv : колич-фот / 0508132 . Bibcode : 2005PhRvL..95w0502S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.95.230502 . PMID 16384285 .

[5] Хиллери, Марк; Зубайри, М. Сухайль (2006). «Условия зацепления для двухрежимных состояний». Письма с физическим обзором . 96 (5): 050503. Arxiv : колич-фот / 0507168 . Bibcode : 2006PhRvL..96e0503H . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.96.050503 . PMID 16486912 .

[6] Walborn, S .; Taketani, B .; Salles, A .; Тоскано, Ф .; де Матос Филью Р. (2009). «Критерии энтропийной запутанности для непрерывных переменных». Письма с физическим обзором . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Bibcode : 2009PhRvL.103p0505W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.103.160505 . PMID 19905682 .

[7] Yichen Хуанг (октябрь 2013). «Обнаружение запутанности: сложность и энтропийные критерии Шеннона». IEEE Transactions по теории информации . 59 (10): 6774–6778. DOI : 10.1109 / TIT.2013.2257936 .

[8] Тот, Геза; Гюне, Отфрид (1 мая 2009 г.). «Запутанность и перестановочная симметрия». Письма с физическим обзором . 102 (17): 170503. arXiv : 0812.4453 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.170503 .

[1]