Государство Вернера

Состояние Вернера ^[1] представляет собой × -мерную двудольную матрицу плотности квантовых состояний , инвариантную относительно всех унитарных операторов вида . То есть это двудольное квантовое состояние , удовлетворяющее${\ displaystyle d ^ {2}}$${\ displaystyle d ^ {2}}$${\ displaystyle U \ otimes U}$ ${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$

${\ displaystyle \ rho _ {AB} = (U \ otimes U) \ rho _ {AB} (U ^ {\ dagger} \ otimes U ^ {\ dagger})}$

для всех унитарных операторов U, действующих в d -мерном гильбертовом пространстве.

Каждое состояние Вернера представляет собой смесь проекторов на симметричное и антисимметричное подпространства , причем относительный вес является основным параметром, определяющим состояние, в дополнение к размерности :${\ displaystyle W_ {AB} ^ {(p, d)}}$ ${\ displaystyle p \ in [0,1]}$${\ displaystyle d \ geq 2}$

${\ Displaystyle W_ {AB} ^ {(p, d)} = p {\ frac {2} {d (d + 1)}} P_ {AB} ^ {\ text {sym}} + (1-p) {\ frac {2} {d (d-1)}} P_ {AB} ^ {\ text {as}},}$

где

${\ displaystyle P_ {AB} ^ {\ text {sym}} = {\ frac {1} {2}} (I_ {AB} + F_ {AB}),}$

${\ displaystyle P_ {AB} ^ {\ text {as}} = {\ frac {1} {2}} (I_ {AB} -F_ {AB}),}$

проекторы и

${\displaystyle F_{AB}=\sum _{ij}|i\rangle \langle j|_{A}\otimes |j\rangle \langle i|_{B}}$

это перестановка или флип - оператор , который обменивается на две подсистемы и Б .

Состояния Вернера отделимы при p ≥ 1 ⁄ 2 и запутаны при p < 1 ⁄ 2 . Все запутанные состояния Вернера нарушают критерий отделимости PPT , но при d ≥ 3 ни одно состояние Вернера не нарушает критерий более слабой редукции . Состояния Вернера можно параметризовать по-разному. Один из способов их написания -

${\displaystyle \rho _{AB}={\frac {1}{d^{2}-d\alpha }}(I_{AB}-\alpha F_{AB}),}$

где новый параметр α изменяется от -1 до 1 и относится к p как

${\displaystyle \alpha =((1-2p)d+1)/(1-2p+d).}$

Каналы Вернера-Холево [ править ]

Квантовый канал Вернера-Холево с параметрами и целым числом определяется как ^{[2] [3] [4]}${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}}$${\displaystyle p\in \left[0,1\right]}$${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}=p{\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}},}$

где квантовые каналы и определяются как${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}(X_{A})={\frac {1}{d+1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}+\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}(X_{A})={\frac {1}{d-1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}-\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

и обозначает частичные транспонирования карты на системы A . Обратите внимание, что состояние Чоя канала Вернера-Холево является состоянием Вернера:${\displaystyle T_{A}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{p,d}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}(\Phi _{RA})=p{\frac {2}{d\left(d+1\right)}}P_{RB}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\frac {2}{d\left(d-1\right)}}P_{RB}^{\text{as}},}$

где .${\displaystyle \Phi _{RA}={\frac {1}{d}}\sum _{i,j}|i\rangle \langle j|_{R}\otimes |i\rangle \langle j|_{A}}$

Многосторонние утверждения Вернера [ править ]

Состояния Вернера можно обобщить на многочастный случай. ^[5] An N стороны он Вернер состояние является состоянием, инвариантной относительно для любой унитарного U на одной подсистемы. Состояние Вернера больше не описывается одним параметром, а N ! - 1 параметр и представляет собой линейную комбинацию N ! различные перестановки на N системах.${\displaystyle U\otimes U\otimes ...\otimes U}$

Ссылки [ править ]