LOCC

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Январь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Парадигма LOCC: сторонам не разрешается согласованно обмениваться частицами. Разрешены только локальные операции и классическое общение.

LOCC , или локальные операции и классическая коммуникация , - это метод в квантовой теории информации, в котором локальная операция (продукт) выполняется на части системы, и где результат этой операции классически «передается» другой части, где обычно другой локальный операция выполняется на основании полученной информации.

Математические свойства [ править ]

Формальное определение набора операций LOCC усложняется из-за того, что последующие локальные операции в целом зависят от всей предыдущей классической коммуникации, а также из-за неограниченного количества раундов коммуникации. Для любого конечного числа можно определить набор операций LOCC, которые могут быть выполнены с помощью раундов классической коммуникации. Набор становится строго больше всякий раз, когда увеличивается, и нужно позаботиться о том, чтобы определить предел бесконечного числа раундов. В частности, множество LOCC не является топологически замкнутым, то есть существуют квантовые операции, которые могут быть сколь угодно близко аппроксимированы LOCC, но сами по себе не являются LOCC. ^[1] ${\ displaystyle r \ geq 1}$ ${\ displaystyle LOCC_ {r}}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r}$

Один круглый LOCC является квантовым инструментом , для которого след-невозрастающих полностью положительные карты (CPMS) являются локальными для всех результатов измерений , то есть, и есть один сайт , так что только на карте не прослеживать сохраняющие. Это означает, что инструмент может быть реализован стороной на месте, применяющей (локальный) инструмент и сообщающей классический результат всем другим сторонам, каждая из которых затем выполняет (при условии ) сохраняющие след (детерминированные) локальные квантовые операции . ${\ displaystyle LOCC_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ left \ {{\ mathcal {E}} _ {x} \ right \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {x}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {x} = \ bigotimes _ {j} ({\ cal {E}} _ {x} ^ {j})}$ ${\ displaystyle j = K}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {x} ^ {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {x} = \ bigotimes _ {j \ not = K} ({\ cal {T_ {j} ^ {x}}}) \ otimes {\ cal {E}} _ {K}}$ ${\ displaystyle K}$ $\left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}$ $x$ $x$ ${\cal {T}}_{x}^{j}$

Затем рекурсивно определяются как те операции, которые могут быть реализованы после операции с -операцией. Здесь допускается, что сторона, выполняющая последующие операции, зависит от результата предыдущих раундов. Более того, мы допускаем также «грубое зерно», то есть отбрасываем некоторую классическую информацию, закодированную в результатах измерений (всех раундов). $LOCC_{r}$ $LOCC_{r-1}$ $LOCC_{1}$

Совокупность всех операций обозначается значком и содержит инструменты, которые можно лучше и лучше аппроксимировать с помощью большего количества раундов LOCC. Его топологическое замыкание содержит все такие операции. $LOCC_{r}$ $LOCC_{\mathbb {N} }$ ${\overline {LOCC_{\mathbb {N} }}}$

Можно показать, что все эти множества разные: ^[1]

LOCC_{r}\subset LOCC_{r+1}\subset LOCC_{\mathbb {N} }\subset {\overline {LOCC_{\mathbb {N} }}}

Множество всех операций LOCC содержится в множестве всех разделимых операций . содержит все операции, которые могут быть записаны с использованием операторов Крауса, которые имеют любую форму продукта, т. е. $SEP$ $SEP$

{\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },

с . Не все операции в LOCC, $\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger }=1$ $SEP$

{\overline {LOCC_{\mathbb {N} }}}\subset SEP,

т.е. есть примеры, которые нельзя реализовать локально даже при бесконечном количестве циклов связи. ^[1]

LOCC - это «свободные операции» в ресурсных теориях запутанности : запутанность не может быть произведена из разделяемых состояний с помощью LOCC, и если локальные стороны, помимо возможности выполнять все операции LOCC, также снабжены некоторыми запутанными состояниями, они могут реализовать больше операций, чем только с LOCC.

Примеры [ править ]

Операции LOCC полезны для государственной подготовки , государственной дискриминации и запутанности преобразований .

Государственная подготовка [ править ]

Алисе и Бобу дается двухквантовая система в состоянии продукта . Их задача - произвести разделимое состояние . С помощью одних только локальных операций этого нельзя достичь, поскольку они не могут производить (классические) корреляции, присутствующие в . Но с LOCC (с одним раундом коммуникации) можно подготовиться: Алиса бросает беспристрастную монету (которая показывает орел или решку с вероятностью 50%) и переворачивает свой кубит (к ), если монета показывает «решку», в противном случае она остается. без изменений. Затем она отправляет результат подбрасывания монеты (классическую информацию) Бобу, который также переворачивает свой кубит, если получает сообщение «решка». В результате получается состояние . В общем, все сепарабельные состояния $|00\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}$ $\rho ={\frac {1}{2}}|00\rangle \langle 00|+{\frac {1}{2}}|11\rangle \langle 11|$ $\rho$ $\rho$ $|1\rangle _{A}$ $\rho$ (и только они) могут быть получены из состояний продукта только с помощью операций LOCC. ^[1]

Государственная дискриминация [ править ]

Учитывая два квантовых состояния в двух- или многочастном гильбертовом пространстве , задача состоит в том, чтобы определить, какое из двух (или более) возможных состояний это. В качестве простого примера рассмотрим два состояния Белла $\psi$ ${\cal {H}}={\cal {H}}_{A}\otimes {\cal {H}}_{B}\otimes \dots {\cal {H}}_{Z}$ $\psi _{1},\psi _{2}$

|\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)

|\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)

Скажем, разделена двухкубитная система, где первый кубит отдается Алисе, а второй - Бобу. Без связи Алиса и Боб не могут различить два состояния, поскольку для всех локальных измерений все статистические данные измерений одинаковы (оба состояния имеют одинаковую уменьшенную матрицу плотности). Например, предположим, что Алиса измеряет первый кубит и получает результат 0. Поскольку этот результат с равной вероятностью (с вероятностью 50%) произойдет в каждом из двух случаев, она не получает никакой информации о том, какая пара Белла ей была предоставлена. то же самое верно и для Боба, если он выполняет какие-либо измерения. Но теперь позвольте Алисе отправить результат Бобу по классическому каналу. Теперь Боб может сравнить свой результат с ее результатами, и, если они совпадают, он может сделать вывод, что данная пара была $|\psi _{1}\rangle$ , поскольку только это позволяет получить совместный результат измерения . Таким образом, с помощью LOCC и двух измерений эти два состояния можно отлично различить. Обратите внимание, что с глобальными ( нелокальными или запутанными ) измерениями одного измерения (в совместном гильбертовом пространстве ) достаточно, чтобы различить эти два (взаимно ортогональных ) состояния. $|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}$

Есть квантовые состояния, которые нельзя различить с помощью операций LOCC. ^[2]

Преобразования запутанности [ править ]

Хотя LOCC не может генерировать запутанные состояния из состояний продукта, их можно использовать для преобразования запутанных состояний в другие запутанные состояния. Ограничение LOCC сильно ограничивает возможные преобразования.

Преобразование запутанности [ править ]

Нильсен ^[3] вывел общее условие, чтобы определить, может ли одно чистое состояние двудольной квантовой системы быть преобразовано в другое, используя только LOCC. Полную информацию можно найти в упомянутой ранее статье, а здесь в общих чертах представлены результаты.

Рассмотрим две частицы в гильбертовом пространстве размерности с состояниями частиц и с разложениями Шмидта $d$ $|\psi \rangle$ $|\phi \rangle$

|\psi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}}}|i_{A}\rangle \otimes |i_{B}\rangle

|\phi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}'}}|i_{A}'\rangle \otimes |i_{B}'\rangle

В «s известны как коэффициенты Шмидта . Если они упорядочены от наибольшего к наименьшему (т. Е. С ), тогда их можно преобразовать в использование только локальных операций тогда и только тогда, когда для всех в диапазоне ${\sqrt {\omega _{i}}}$ $\omega _{1}>\omega _{d}$ $|\psi \rangle$ $|\phi \rangle$ $k$ $1\leq k\leq d$

\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'

В более кратких обозначениях:

|\psi \rangle \rightarrow |\phi \rangle \quad {\text{iff}}\quad \omega \prec \omega '

Это более ограничительное условие, чем то, что локальные операции не могут увеличить меры сцепления . Вполне возможно, что и имеют одинаковую степень запутанности, но преобразование одного в другое невозможно, и даже такое преобразование в любом направлении невозможно, потому что ни один набор коэффициентов Шмидта не преобладает над другим. Для больших, если все коэффициенты Шмидта не равны нулю, вероятность того, что один набор коэффициентов превосходит другой, становится незначительной. Следовательно, для больших вероятность того, что любое произвольное состояние может быть преобразовано в другое через LOCC, становится незначительной. $|\psi \rangle$ $|\phi \rangle$ $d$ $d$

Описанные до сих пор операции являются детерминированными, т. Е. Они выполняются со 100% вероятностью. Если вы удовлетворены вероятностными преобразованиями, с помощью LOCC возможно гораздо больше преобразований. ^[4] Эти операции называются стохастическими LOCC (SLOCC). В частности, для многочастных состояний изучается конвертируемость в рамках SLOCC, чтобы получить качественное представление о свойствах сцепленности вовлеченных состояний. ^[5]

Выходя за рамки LOCC: Каталитическая конверсия [ править ]

Если запутанные состояния доступны в качестве ресурса, они вместе с LOCC допускают гораздо больший класс преобразований. Это так, даже если эти состояния ресурсов не потребляются в процессе (как, например, при квантовой телепортации ). Таким образом, преобразования называются катализом запутывания . ^[6] В этой процедуре преобразование начального состояния в конечное состояние, которое невозможно с LOCC, становится возможным, если взять тензорное произведение начального состояния с «состоянием катализатора» и потребовать, чтобы это состояние все еще было доступно в конец процесса конвертации. То есть состояние катализатора остается неизменным в результате превращения, а затем его можно удалить, оставив только желаемое конечное состояние. Рассмотрим состояния, $|c\rangle$

|\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle

|\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle

|c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle

Эти состояния записываются в виде разложения Шмидта в порядке убывания. Сравним сумму коэффициентов при и $|\psi \rangle$ $|\phi \rangle$

$k$	$\|\psi \rangle$	$\|\phi \rangle$
0	0,4	0,5
1	0,8	0,75
2	0,9	1.0
3	1.0	1.0

В таблице красный цвет ставится, если , зеленый цвет ставится, если , и белый цвет остается, если . Составив таблицу, можно легко определить, являются ли и конвертируемыми, посмотрев на цвет в направлении. могут быть преобразованы в LOCC, если все цвета зеленые или белые, и могут быть преобразованы в LOCC, если все цвета красные или белые. Когда таблица представлена как красным, так и зеленым цветом, состояния не могут быть преобразованы. $\sum _{i=0}^{k}\omega _{i}>\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}$ $\sum _{i=0}^{k}\omega _{i}<\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}$ $\sum _{i=0}^{k}\omega _{i}=\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}$ $|\psi \rangle$ $|\phi \rangle$ $k$ $|\psi \rangle$ $|\phi \rangle$ $|\phi \rangle$ $|\psi \rangle$

Теперь рассмотрим состояния продукта и ： $|\psi \rangle |c\rangle$ $|\phi \rangle |c\rangle$

{\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}

{\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}

Аналогично составляем таблицу:

$k$	$\|\psi \rangle \|c\rangle$	$\|\phi \rangle \|c\rangle$
0	0,24	0,30
1	0,48	0,50
2	0,64	0,65
3	0,80	0,80
4	0,86	0,90
5	0,92	1,00
6	0,96	1,00
7	1,00	1,00

Цвет в направлении - зеленый или белый, поэтому, согласно теореме Нильсена, можно преобразовать в LOCC. Катализатор состояние снимается после преобразования. Наконец мы находим по LOCC. $k$ $|\psi \rangle |c\rangle$ $|\phi \rangle |c\rangle$ $|c\rangle$ $|\psi \rangle {\overset {|c\rangle }{\rightarrow }}|\phi \rangle$

Ссылки [ править ]

^ a b c d Chitambar, E .; Leung, D .; Mancinska, L .; Озолс, М., Винтер, А. (2012). «Все, что вы всегда хотели знать о LOCC (но боялись спросить)». Commun. Математика. Phys . 328 : 303. arXiv : 1210.4583 . Bibcode : 2014CMaPh.328..303C . DOI : 10.1007 / s00220-014-1953-9 .CS1 maint: uses authors parameter (link)
^ Чарльз Х. Беннетт, Дэвид П. Ди Винченцо, Кристофер А. Фукс, Тал Мор, Эрик Рэйнс, Питер У. Шор, Джон А. Смолин и Уильям К. Вуттерс (1999). «Квантовая нелокальность без запутанности». Phys. Rev. A . 59 : 1070. arXiv : Quant-ph / 9804053 . Bibcode : 1999PhRvA..59.1070B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.59.1070 .CS1 maint: uses authors parameter (link)
Перейти ↑ MA Nielsen (1999). «Условия одного класса преобразований зацепления». Phys. Rev. Lett . 83 : 436–439. arXiv : квант-ph / 9811053 . Bibcode : 1999PhRvL..83..436N . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.83.436 .
^ Гифре Видаль (2000). «Монотонная запутанность». J. Mod. Опт . 47 : 355. arXiv : Quant-ph / 9807077 . DOI : 10.1080 / 09500340008244048 .
^ Г. Gour и NR Уоллы (2013). «Классификация многомерной запутанности конечной размерности». Phys. Rev. Lett . 111 : 060502. arXiv : 1304.7259 . Bibcode : 2013PhRvL.111f0502G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.111.060502 . PMID 23971544 . CS1 maint: uses authors parameter (link)
^ Д. Джонатан и MB Plenio (1999). «Локальное манипулирование чистыми квантовыми состояниями с помощью запутывания». Phys. Rev. Lett . 83 : 3566. Arxiv : колич-фот / 9905071 . Bibcode : 1999PhRvL..83.3566J . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.83.3566 .CS1 maint: uses authors parameter (link)

Дальнейшее чтение [ править ]

https://quantiki.org/wiki/locc-operations
Нильсен М.А. (1999). «Условия одного класса преобразований сцепленности». Phys. Rev. Lett . 83 (2): 436–439. arXiv : квант-ph / 9811053 . Bibcode : 1999PhRvL..83..436N . DOI : 10.1103 / physrevlett.83.436 .

[CLMOW2012-1] Chitambar, E .; Leung, D .; Mancinska, L .; Озолс, М., Винтер, А. (2012). «Все, что вы всегда хотели знать о LOCC (но боялись спросить)». Commun. Математика. Phys . 328 : 303. arXiv : 1210.4583 . Bibcode : 2014CMaPh.328..303C . DOI : 10.1007 / s00220-014-1953-9 .CS1 maint: uses authors parameter (link)

[2] Чарльз Х. Беннетт, Дэвид П. Ди Винченцо, Кристофер А. Фукс, Тал Мор, Эрик Рэйнс, Питер У. Шор, Джон А. Смолин и Уильям К. Вуттерс (1999). «Квантовая нелокальность без запутанности». Phys. Rev. A . 59 : 1070. arXiv : Quant-ph / 9804053 . Bibcode : 1999PhRvA..59.1070B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.59.1070 .CS1 maint: uses authors parameter (link)

[3] Перейти ↑ MA Nielsen (1999). «Условия одного класса преобразований зацепления». Phys. Rev. Lett . 83 : 436–439. arXiv : квант-ph / 9811053 . Bibcode : 1999PhRvL..83..436N . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.83.436 .

[Vidal2000-4] Гифре Видаль (2000). «Монотонная запутанность». J. Mod. Опт . 47 : 355. arXiv : Quant-ph / 9807077 . DOI : 10.1080 / 09500340008244048 .

[GoWa2013-5] Г. Gour и NR Уоллы (2013). «Классификация многомерной запутанности конечной размерности». Phys. Rev. Lett . 111 : 060502. arXiv : 1304.7259 . Bibcode : 2013PhRvL.111f0502G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.111.060502 . PMID 23971544 . CS1 maint: uses authors parameter (link)

[6] Д. Джонатан и MB Plenio (1999). «Локальное манипулирование чистыми квантовыми состояниями с помощью запутывания». Phys. Rev. Lett . 83 : 3566. Arxiv : колич-фот / 9905071 . Bibcode : 1999PhRvL..83.3566J . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.83.3566 .CS1 maint: uses authors parameter (link)

[1]