В квантовой теории информации сильная субаддитивность квантовой энтропии ( SSA ) - это связь между энтропиями фон Неймана различных квантовых подсистем более крупной квантовой системы, состоящей из трех подсистем (или одной квантовой системы с тремя степенями свободы). Это основная теорема современной квантовой теории информации . Это было высказано Д. В. Робинсоном и Д. Рюэллем [1] в 1966 г. и О. Э. Ланфордом III и Д. В. Робинсоном [2] в 1968 г. и доказано в 1973 г. Э. Х. Либом и М. Б. Рускай . [3] В 2010 году Рускай выяснил, чтоДж. Кифер доказал это еще в 1959 году. [4] [5]
Классическая версия SSA была давно известна и ценилась в классической теории вероятностей и теории информации. Доказательство этого соотношения в классическом случае довольно просто, но квантовый случай сложен из-за некоммутативности приведенных матриц плотности, описывающих квантовые подсистемы.
Вот некоторые полезные ссылки:
Определения
В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: Гильбертово пространство обозначается через, а также обозначает ограниченные линейные операторы на . Тензорные произведения обозначаются надстрочными индексами, например,. След обозначается.
Матрица плотности
Матрица плотности является эрмитовой , положительно полуопределенной матрицей трассировки одного. Он позволяет описывать квантовую систему в смешанном состоянии . Матрицы плотности на тензорном произведении обозначаются надстрочными индексами, например, матрица плотности на .
Энтропия
Квантовая энтропия фон Неймана матрицы плотности является
- .
Относительная энтропия
Квантовая относительная энтропия двух матриц плотности Умегаки [9] а также является
- .
Совместная вогнутость
Функция двух переменных называется совместно вогнутой, если для любого следующее имеет место
Субаддитивность энтропии
Обычная субаддитивность [10] касается только двух пространств. и матрица плотности . В нем говорится, что
Это неравенство справедливо, конечно, в классической теории вероятностей, но последняя также содержит теорему о том, что условные энтропии а также оба неотрицательны. Однако в квантовом случае оба могут быть отрицательными, например может быть нулевым, в то время как . Тем не менее, верхняя граница субаддитивностипродолжает держаться. Самое близкое, что нужноявляется неравенством треугольника Араки – Либа [10]
которое получено в [10] из субаддитивности математическим методом, известным как «очистка».
Сильная субаддитивность (SSA)
Предположим, что гильбертово пространство системы является тензорным произведением трех пространств:. Физически эти три пространства можно интерпретировать как пространство трех различных систем или как три части или три степени свободы одной физической системы.
Учитывая матрицу плотности на , определим матрицу плотности на как частичный след :. Точно так же мы можем определить матрицы плотности:, , , , .
Заявление
Для любого трехстороннего государства следующее имеет место
- ,
где , Например.
Точно так же это утверждение можно переформулировать в терминах условных энтропий, чтобы показать, что для трехчастного состояния,
- .
Это также можно переформулировать с точки зрения квантовой взаимной информации :
- .
Эти утверждения идут параллельно классической интуиции, за исключением того, что квантовые условные энтропии могут быть отрицательными, а квантовая взаимная информация может превышать классическую границу предельной энтропии.
Сильное неравенство субаддитивности было улучшено следующим образом Карленом и Либом [11]
- ,
с оптимальной константой .
Как упоминалось выше, SSA была впервые доказана Дж. Кифером [4] [5] в 1959 г. и независимо Э. Х. Либом и М. Б. Рускаем [3] в 1973 г. с использованием теоремы Либа. [12] Расширение системы гильбертова пространства на систему алгебры фон Неймана, где состояния не задаются матрицами плотности, было выполнено Нарнхофером и Тиррингом. [13]
Теорема также может быть получена путем доказательства многочисленных эквивалентных утверждений, некоторые из которых кратко изложены ниже.
Гипотеза Вигнера – Янасе – Дайсона
Е. П. Вигнер и М. М. Янасе [14] предложили другое определение энтропии, которое было обобщено Ф. Дж. Дайсоном.
Информация о p- перекосе Вигнера – Янасе – Дайсона.
Вигнер – Янасе – Дайсон -искаженная информация матрицы плотности. по отношению к оператору является
где коммутатор, является соплеменником а также фиксированный.
Вогнутость р- перекоса информации
Вигнер и М.М. Янасе в [15] высказали предположение, что- информация о перекосе вогнута как функция матрицы плотности для фиксированного .
Поскольку срок вогнутая (линейная), гипотеза сводится к проблеме вогнутости . Как отмечено в [12], эта гипотеза (для всех) следует SSA и доказано для в, [15] и для всехв [12] в следующем более общем виде: Функция двух матричных переменных
( 1 )
совместно вогнута в а также когда а также .
Эта теорема является важной частью доказательства SSA в [3].
В своей статье [15] Е.П. Вигнер и М.М. Янасе также высказали предположение о субаддитивности-скидная информация для , что было опровергнуто Хансеном [16] контрпримером.
Первые два оператора эквивалентны SSA
В [10] было указано, что первое утверждение ниже эквивалентно SSA, и А. Ульман в [17] показал эквивалентность второго утверждения ниже и SSA.
- Обратите внимание, что условные энтропии а также не обязательно должны быть одновременно неотрицательными.
- Карта выпуклый.
Оба эти утверждения были непосредственно доказаны в [3].
Совместная выпуклость относительной энтропии
Как отметили Линдблад [18] и Ульманн [19], если в уравнении ( 1 ) взять а также а также и отличает в , получаем совместную выпуклость относительной энтропии : т. е. если, а также , тогда
( 2 )
где с участием .
Монотонность квантовой относительной энтропии
Относительная энтропия монотонно убывает при полностью положительных операциях сохранения следов (CPTP). по матрицам плотности,
.
Это неравенство называется монотонностью квантовой относительной энтропии. Благодаря теореме факторизации Стайнспринга , это неравенство является следствием конкретного выбора карты CPTP - карты частичного следа, описанной ниже.
Самый важный и базовый класс карт CPTP - это операция частичной трассировки. , данный . потом
( 3 )
которая называется монотонностью квантовой относительной энтропии по частичному следу .
Чтобы увидеть, как это следует из совместной выпуклости относительной энтропии, заметим, что можно записать в представлении Ульмана как
для некоторых конечных и некоторый набор унитарных матриц на (или проинтегрировать по мере Хаара ). Поскольку след (а значит, и относительная энтропия) унитарно инвариантен, неравенство ( 3 ) теперь следует из ( 2 ). Эта теорема принадлежит Линдбладу [18] и Ульманну [17] , доказательство которых приводится здесь.
SSA получается из ( 3 ) с заменен на а также заменены . Брать . Тогда ( 3 ) становится
Следовательно,
который является SSA. Таким образом, из монотонности квантовой относительной энтропии (которая следует из ( 1 )) следует SSA.
Отношения между неравенством
Все перечисленные выше важные неравенства эквивалентны друг другу и также могут быть доказаны напрямую. Следующие варианты эквивалентны:
- Монотонность квантовой относительной энтропии (МОНО);
- Монотонность квантовой относительной энтропии по частичному следу (MPT);
- Сильная субаддитивность (SSA);
- Совместная выпуклость квантовой относительной энтропии (JC);
Следующие выводы показывают эквивалентность этих неравенств.
- МОНОНУКЛЕОЗ MPT: следует, поскольку MPT является частным случаем MONO;
- MPT МОНО: было показано Линдбладом [20] с использованием представления стохастических отображений как частичного следа над вспомогательной системой;
- MPT SSA: следует путем выбора конкретного трехчастного состояния в MPT, описанного в разделе «Монотонность квантовой относительной энтропии» выше;
- SSA MPT: по выбору чтобы быть блочно-диагональным, можно показать, что SSA подразумевает, что отображение
выпуклый. В [3] было замечено, что эта выпуклость дает MPT;
- MPT JC: как было сказано выше, выбрав (и аналогично, ) быть блочно-диагональной матрицей с блоками (а также ) частичный след представляет собой сумму по блокам, так что , поэтому из MPT можно получить JC;
- JC SSA: используя «процесс очистки», Араки и Либ [10] [21] заметили, что можно получить новые полезные неравенства из известных. Очищая к можно показать, что SSA эквивалентно
Более того, если чисто, тогда а также , поэтому в указанном неравенстве выполняется равенство. Поскольку крайние точки выпуклого множества матриц плотности являются чистыми состояниями, SSA следует из JC;
См. Обсуждение в [21] [22] .
Случай равенства
Равенство в монотонности квантового неравенства относительной энтропии
В [23] [24] Д. Петц показал, что единственный случай равенства в соотношении монотонности - это наличие собственного канала «восстановления»:
Для всех штатов а также в гильбертовом пространстве и все квантовые операторы ,
тогда и только тогда, когда существует квантовый оператор такой, что
- а также
Более того, можно явно задать формулой
где является сопряженное отображение из.
Д. Петц также дал другое условие [23], когда в монотонности квантовой относительной энтропии выполняется равенство: первое утверждение ниже. Дифференцируя это ву нас есть второе условие. Более того, М.Б. Рускай привел еще одно доказательство второго утверждения.
Для всех штатов а также на и все квантовые операторы ,
тогда и только тогда, когда выполняются следующие эквивалентные условия:
- для всех настоящих .
где является сопряженным отображением .
Равенство в сильном неравенстве субаддитивности
П. Хайден , Р. Джозса, Д. Петц и А. Винтер описали состояния, для которых выполняется равенство в SSA. [25]
Штат в гильбертовом пространстве удовлетворяет сильной субаддитивности с равенством тогда и только тогда, когда существует разложение второй системы как
в прямую сумму тензорных произведений, такую, что
с государствами на а также на , и распределение вероятностей .
Расширение Карлена-Либа
Э. Х. Либ и Е. А. Карлен нашли явный член ошибки в неравенстве SSA [11], а именно:
Если а также , как это всегда бывает для классической энтропии Шеннона, это неравенство не о чем говорит. С другой стороны, для квантовой энтропии вполне возможно, что условные энтропии удовлетворяют или же (но не оба сразу!). Затем в этом «высококвантовом» режиме это неравенство дает дополнительную информацию.
Константа 2 является оптимальной в том смысле, что для любой постоянной, превышающей 2, можно найти состояние, для которого нарушается неравенство с этой константой.
Операторное расширение сильной субаддитивности
В своей работе [26] И. Ким исследовал операторное расширение сильной субаддитивности, доказав следующее неравенство:
Для трехчастного состояния (матрица плотности) на ,
Доказательство этого неравенства основывается на теореме Эфрос в , [27] , для которых конкретные функции и операторы выбирают так, чтобы получить неравенство выше. М.Б. Рускаи подробно описывает эту работу в [28] и обсуждает, как доказать большой класс новых матричных неравенств в трехдольном и двудольном случаях, проводя частичный след по всем пространствам, кроме одного.
Расширения сильной субаддитивности с точки зрения восстанавливаемости
Значительное усиление сильной субаддитивности было доказано в 2014 г. [29], которое впоследствии было улучшено в [30] и. [31] В 2017 году [32] было показано, что канал восстановления можно принять за исходную карту восстановления Petz. Эти улучшения сильной субаддитивности имеют физические интерпретации с точки зрения восстанавливаемости, что означает, что если условная взаимная информация трехчастного квантового состояния почти равно нулю, то можно выполнить восстановление канала (из системы E в AE) такую, что . Таким образом, эти результаты обобщают упомянутые выше условия точного равенства.
Смотрите также
- Энтропия фон Неймана
- Условная квантовая энтропия
- Квантовая взаимная информация
- Дивергенция Кульбака – Лейблера.
Рекомендации
- ^ Робинсон, Дерек В .; Руэль, Дэвид (1967). «Средняя энтропия состояний в классической статистической механике» . Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 5 (4): 288–300. DOI : 10.1007 / bf01646480 . ISSN 0010-3616 .
- ^ Ланфорд, Оскар Э .; Робинсон, Дерек В. (1968). «Средняя энтропия состояний в квантовой статистической механике». Журнал математической физики . Издательство AIP. 9 (7): 1120–1125. DOI : 10.1063 / 1.1664685 . ISSN 0022-2488 .
- ^ а б в г д Либ, Эллиотт Х .; Рускай, Мэри Бет (1973). «Доказательство сильной субаддитивности квантово-механической энтропии» (PDF) . Журнал математической физики . Издательство AIP. 14 (12): 1938–1941. DOI : 10.1063 / 1.1666274 . ISSN 0022-2488 .
- ^ а б Кифер, Дж. (Июль 1959 г.). «Оптимальные экспериментальные проекты» . Журнал Королевского статистического общества, серия B (методологическая) . 21 (2): 272–310. DOI : 10.1111 / j.2517-6161.1959.tb00338.x .
- ^ а б Рускай, Мэри Бет. «Эволюция фундаментальной теоремы о квантовой энтропии» . youtube.com . World Scientific . Проверено 20 августа 2020 .
Приглашенный доклад на конференции в честь 90-летия Фримена Дайсона, Институт перспективных исследований, Технологический университет Наньян, Сингапур, 26–29 августа 2013 г. Примечание о Кифере (1959 г.) находится на отметке 26:40.
- ^ М. Нильсен, И. Чуанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, Cambr. У. Пресс, (2000)
- ^ М. Охя, Д. Петц, Квантовая энтропия и ее использование, Springer (1993)
- ^ Э. Карлен, Следовые неравенства и квантовая энтропия: вводный курс, Contemp. Математика. 529 (2009).
- ^ Умегаки, Хисахару (1962). «Условное математическое ожидание в операторной алгебре. IV. Энтропия и информация» . Отчеты математического семинара Кодай . Токийский технологический институт, факультет математики. 14 (2): 59–85. DOI : 10.2996 / KMJ / 1138844604 . ISSN 0023-2599 .
- ^ а б в г д Араки, Хузихиро; Либ, Эллиот Х. (1970). «Энтропийные неравенства». Сообщения по математической физике . 18 (2): 160–170. DOI : 10.1007 / BF01646092 . ISSN 0010-3616 .
- ^ а б Карлен, Эрик А .; Либ, Эллиотт Х. (2012). «Границы запутанности через расширение сильной субаддитивности энтропии». Письма по математической физике . 101 : 1–11. arXiv : 1203,4719 . DOI : 10.1007 / s11005-012-0565-6 .
- ^ а б в Либ, Эллиотт H (1973). «Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера-Янасе-Дайсона» . Успехи в математике . 11 (3): 267–288. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (73) 90011-X . ISSN 0001-8708 .
- ^ Нарнгофер, Х. (1985). «От относительной энтропии к энтропии». Физика . 17 : 258–262.
- ^ Вигнер, EP; Янасэ, М.М. (1 мая 1963 г.). «Информационное наполнение рассылок» . Труды Национальной академии наук . 49 (6): 910–918. DOI : 10.1073 / pnas.49.6.910 . ISSN 0027-8424 . PMC 300031 . PMID 16591109 .
- ^ а б в Вигнер, Юджин П .; Янасэ, Муцуо М. (1964). «О положительной полуопределенной природе одного матричного выражения» . Канадский математический журнал . Канадское математическое общество. 16 : 397–406. DOI : 10,4153 / CJM-1964-041-х . ISSN 0008-414X .
- ^ Хансен, Франк (18 января 2007 г.). «Энтропия Вигнера-Янасе не является субаддитивной». Журнал статистической физики . Springer Nature. 126 (3): 643–648. arXiv : math-ph / 0609019 . DOI : 10.1007 / s10955-006-9265-х . ISSN 0022-4715 .
- ^ a b A. Ulhmann, Endlich Dimensionale Dichtmatrizen, II, Wiss. Z. Karl-Marx-University Leipzig 22 Jg. Н. 2., 139 (1973).
- ^ а б Линдблад, Горан (1974). «Ожидания и энтропийные неравенства для конечных квантовых систем» . Сообщения по математической физике . 39 (2): 111–119. DOI : 10.1007 / BF01608390 . ISSN 0010-3616 .
- ^ Ульманн, А. (1977). «Относительная энтропия и вогнутость Вигнера-Янаса-Дайсона-Либа в теории интерполяции». Сообщения по математической физике . 54 (1): 21–32. DOI : 10.1007 / BF01609834 . ISSN 0010-3616 .
- ^ Линдблад, Горан (1975). «Полностью положительные отображения и энтропийные неравенства». Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 40 (2): 147–151. DOI : 10.1007 / bf01609396 . ISSN 0010-3616 .
- ^ а б Либ, EH (1975). «Некоторые свойства выпуклости и субаддитивности энтропии» . Бык. AMS . 81 : 1–13. DOI : 10.1090 / s0002-9904-1975-13621-4 .
- ^ Рускай, Мэри Бет (2002). «Неравенства для квантовой энтропии: обзор с условиями равенства». Журнал математической физики . Издательство AIP. 43 (9): 4358–4375. arXiv : квант-ph / 0205064 . DOI : 10.1063 / 1.1497701 . ISSN 0022-2488 . ошибка 46, 019901 (2005)
- ^ а б Петц, Денес (1986). «Достаточные подалгебры и относительная энтропия состояний алгебры фон Неймана» . Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 105 (1): 123–131. DOI : 10.1007 / bf01212345 . ISSN 0010-3616 .
- ^ Д. Петц, Достаточность каналов над алгебрами фон Неймана, Quart. J. Math. Oxford 35, 475–483 (1986).
- ^ П. Хайден , Р. Джозса, Д. Петц, А. Винтер , Структура состояний, удовлетворяющих сильной субаддитивности квантовой энтропии с равенством, Comm. Математика. Phys. 246. С. 359–374 (2003).
- ^ И. Ким, Операторное расширение сильной субаддитивности энтропии, arXiv : 1210.5190 (2012).
- ^ Эффрос, EG (2009). "Матричный подход выпуклости к некоторым знаменитым квантовым неравенствам" . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 106 (4): 1006–1008. DOI : 10.1073 / pnas.0807965106 . PMC 2633548 . PMID 19164582 .
- ^ М.Б. Рускай, Замечания о сильном матричном неравенстве Кима: расширения и условия равенства, arXiv : 1211.0049 (2012).
- ^ О. Фаузи, Р. Реннер. Квантовая условная взаимная информация и приближенные цепи Маркова. Сообщения по математической физике: 340, 2 (2015)
- ^ MM Wilde. Восстанавливаемость в квантовой теории информации. Труды Королевского общества A, vol. 471, нет. 2182, стр. 20150338 Октябрь 2015 г.
- ^ Мариус Юнге, Ренато Реннер, Дэвид Саттер, Марк М. Уайльд, Андреас Винтер. Карты универсального восстановления и приблизительная достаточность квантовой относительной энтропии. Анналы Анри Пуанкаре, т. 19, нет. 10, страницы 2955--2978, октябрь 2018 г. arXiv : 1509.07127
- ^ Карлен, Эрик А .; Вершинина, Анна (06.10.2017). «Восстановление стабильности карты при неравенстве обработки данных». arXiv : 1710.02409 [ math.OA ].