В квантовой теории информации , квантовая относительная энтропия является мерой различимости между двумя квантовыми состояниями . Это квантово-механический аналог относительной энтропии .
Мотивация [ править ]
Для простоты предполагается, что все объекты в изделии являются конечномерными.
Сначала обсудим классический случай. Предположим, что вероятности конечной последовательности событий задаются распределением вероятностей P = { p 1 ... p n }, но почему-то мы ошибочно предположили, что это Q = { q 1 ... q n }. Например, мы можем принять несправедливую монету за честную. Согласно этому ошибочному предположению наша неопределенность относительно j -го события или, что эквивалентно, количества информации, предоставленной после наблюдения j -го события, составляет
(Предполагаемая) средняя неопределенность всех возможных событий тогда равна
С другой стороны, энтропия Шеннона распределения вероятностей p , определяемая формулой
это реальная величина неопределенности до наблюдения. Следовательно, разница между этими двумя величинами
является мерой различимости двух распределений вероятностей p и q . Это и есть классическая относительная энтропия, или дивергенция Кульбака – Лейблера :
Примечание
- В приведенных выше определениях предполагается, что 0 · log 0 = 0, поскольку lim x → 0 x log x = 0. Интуитивно можно было бы ожидать, что событие с нулевой вероятностью не внесет никакого вклада в энтропию.
- Относительная энтропия не является метрикой . Например, он не симметричен. Несоответствие неопределенности при принятии справедливой монеты за несправедливость - не то же самое, что противоположная ситуация.
Определение [ править ]
Как и в случае со многими другими объектами квантовой теории информации, квантовая относительная энтропия определяется путем расширения классического определения от распределений вероятностей до матриц плотности . Пусть ρ - матрица плотности. Фон Неймана энтропии из р , который является квантово - механическое аналог энтропии Шеннона, дается
Для двух матриц плотности р и сг , тем квантовая относительная энтропия р с относительно σ определяется
Мы видим, что, когда состояния связаны классическим образом, т. Е. Ρσ = σρ , определение совпадает с классическим случаем.
Неограниченная (расходящаяся) относительная энтропия [ править ]
В общем случае носитель матрицы M является ортогональным дополнением к ее ядру , т . Е. При рассмотрении квантовой относительной энтропии мы предполагаем, что - s · log 0 = ∞ для любого s > 0. Это приводит к определению, что
когда
Это можно интерпретировать следующим образом. Неформально квантовая относительная энтропия - это мера нашей способности различать два квантовых состояния, где большие значения указывают на состояния, которые более разные. Ортогональность представляет собой самые разные квантовые состояния. Это отражается в не конечной квантовой относительной энтропии для ортогональных квантовых состояний. Следуя аргументам, приведенным в разделе «Мотивация», если мы ошибочно предполагаем, что состояние имеет поддержку , это ошибка, которую невозможно исправить.
Однако следует быть осторожным, чтобы не заключить, что расхождение квантовой относительной энтропии означает, что состояния и ортогональны или даже сильно различаются по другим параметрам. В частности, может расходиться, когда и отличаться на исчезающе малую величину, измеренную какой-либо нормой. Например, пусть имеет диагональное представление
с for и for где - ортонормированный набор. Ядро - это пространство, охватываемое множеством . Далее пусть
для небольшого положительного числа . Поскольку имеет поддержку (а именно состояние ) в ядре , расходится, несмотря на то, что норма следа разности есть . Это означает, что разница между и, измеренная нормой следа, исчезающе мала, даже если она расходится (то есть бесконечна). Это свойство квантовой относительной энтропии представляет собой серьезный недостаток, если к нему не обращаться осторожно.
Неотрицательность относительной энтропии [ править ]
Соответствующее классическое высказывание [ править ]
Для классической расходимости Кульбака – Лейблера можно показать, что
и равенство имеет место тогда и только тогда , когда P = Q . В просторечии это означает, что неопределенность, рассчитанная с использованием ошибочных предположений, всегда превышает реальную величину неопределенности.
Чтобы показать неравенство, перепишем
Обратите внимание, что журнал - это вогнутая функция . Следовательно, -log выпуклый . Применяя неравенство Йенсена , получаем
Неравенство Йенсена также утверждает , что равенство имеет место тогда и только тогда, когда для всех I , д я = (Σ Q J ) р я , то есть р = д .
Результат [ править ]
Неравенство Клейна утверждает, что квантовая относительная энтропия
в целом неотрицательна. Он равен нулю тогда и только тогда, когда ρ = σ .
Доказательство
Пусть ρ и σ имеют спектральные разложения
- \ sum_i \; , \; \сигма
Так
Прямой расчет дает
где P i j = | v i * w j | 2 .
Поскольку матрица ( P i j ) ij является дважды стохастической матрицей, а -log - выпуклой функцией, приведенное выше выражение имеет вид
Определим r i = ∑ j q j P i j . Тогда { r i } - это распределение вероятностей. Из неотрицательности классической относительной энтропии имеем
Вторая часть утверждения следует из того, что, поскольку -log строго выпукло, равенство достигается в
тогда и только тогда, когда ( P i j ) является матрицей перестановок , из чего следует, что ρ = σ , после подходящей разметки собственных векторов { v i } и { w i }.
Совместная выпуклость относительной энтропии [ править ]
Относительная энтропия вместе выпуклая . Для и состояний у нас есть
Монотонность относительной энтропии [ править ]
Относительная энтропия монотонно уменьшается при полностью положительном сохранении следов (CPTP) операций над матрицами плотности,
.
Это неравенство называется монотонностью квантовой относительной энтропии.
Мера запутанности [ править ]
Пусть составная квантовая система имеет пространство состояний
и р , матрица плотности , действующая на Н .
Относительная энтропия перепутывания от р определяется
где минимум берется по семейству сепарабельных состояний . Физическая интерпретация величины - это оптимальная отличимость состояния ρ от сепарабельных состояний.
Ясно, что когда ρ не запутано
неравенством Клейна.
Связь с другими величинами квантовой информации [ править ]
Одна из причин, по которой квантовая относительная энтропия полезна, заключается в том, что некоторые другие важные величины квантовой информации являются ее частными случаями. Часто теоремы формулируются в терминах квантовой относительной энтропии, что приводит к непосредственным следствиям, касающимся других величин. Ниже мы перечислим некоторые из этих отношений.
Пусть ρ АВ будет совместное состояние двудольного системы с подсистемой А размерности п А и В размерности п B . Пусть ρ A , ρ B - приведенные состояния соответственно, а I A , I B - соответствующие тождества. В максимально смешанные состояния являются я / п и я Б / н Б . Тогда с помощью прямого вычисления можно показать, что
где I ( A : B ) - квантовая взаимная информация, а S ( B | A ) - квантовая условная энтропия .
Ссылки [ править ]
- Ведрал, В. (8 марта 2002 г.). «Роль относительной энтропии в квантовой теории информации». Обзоры современной физики . Американское физическое общество (APS). 74 (1): 197–234. arXiv : квант-ph / 0102094 . Bibcode : 2002RvMP ... 74..197V . DOI : 10,1103 / revmodphys.74.197 . ISSN 0034-6861 .
- Майкл А. Нильсен, Исаак Л. Чуанг, «Квантовые вычисления и квантовая информация»