В математике существует множество видов неравенств, связанных с матрицами и линейными операторами в гильбертовых пространствах . В статье рассматриваются некоторые важные операторные неравенства, связанные со следами матриц. [1] [2] [3] [4]
Основные определения
Пусть H n обозначает пространство эрмитовых матриц размера n × n , H n + обозначает множество, состоящее из положительных полуопределенных эрмитовых матриц размера n × n, а H n ++ обозначает набор положительно определенных эрмитовых матриц. Для операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве мы требуем, чтобы они были классом следов и самосопряженными ; в этом случае применяются аналогичные определения, но для простоты мы обсуждаем только матрицы.
Для любой вещественнозначной функции f на интервале I ⊂ ℝ можно определить матричную функцию f (A) для любого оператора A ∈ H n с собственными значениями λ из I , определив ее на собственных значениях и соответствующих проекторах P как
- учитывая спектральное разложение
Оператор монотонный
Функция f : I → ℝ, определенная на интервале I ⊂ ℝ, называется операторно-монотонной, если ∀ n и для всех A, B ∈ H n с собственными значениями в I выполняется следующее:
где неравенство A ≥ B означает, что оператор A - B ≥ 0 положительно полуопределен. Можно проверить , что F (A) = A 2 , на самом деле, не монотонный оператор!
Оператор выпуклый
Функция называется операторно выпуклой, если для всехи все A, B ∈ H n с собственными значениями из I , и, имеет место
Обратите внимание, что оператор имеет собственные значения в , поскольку а также имеют собственные в I .
Функция является оператором вогнутой , если является операторно выпуклым, т. е. выполненное выше неравенство для обратный.
Выпуклость суставов
Функция , определенные на интервалах называется совместно выпуклой, если для всех и все с собственными значениями в и все с собственными значениями в , и любые следующее имеет место
Функция g является совместно вогнутой, если - g совместно выпуклой, т. Е. Указанное выше неравенство для g является обратным.
Функция трассировки
Для функции f : ℝ → ℝ соответствующая функция следа на H n задается следующим образом:
где A имеет собственные значения λ, а Tr обозначает след оператора.
Выпуклость и монотонность следовой функции.
Пусть f : ℝ → ℝ непрерывно, а n - любое целое число. Тогда, если монотонно возрастает, так же как и на H n .
Аналогично, если является выпуклым , так какна H n , и оно будет строго выпуклым, если f строго выпукло.
См. Доказательство и обсуждение, например , в [1] .
Теорема Лёвнера – Хайнца
Для , функция является операторно монотонным и операторно вогнутым.
Для , функция является операторно монотонным и операторно вогнутым.
Для , функция операторно выпуклый. Более того,
- оператор вогнутый и оператор монотонный, а
- операторно выпуклый.
Первоначальное доказательство этой теоремы принадлежит К. Лёвнеру, который дал необходимое и достаточное условие для операторной монотонности f . [5] Элементарное доказательство теоремы обсуждается в [1], а более общий вариант - в [6].
Неравенство Клейна
Для всех эрмитовых матриц A и B размера n × n и всех дифференцируемых выпуклых функций f : ℝ → ℝ с производной f ' или для всех положительно определенных эрмитовых матриц A и B размера n × n и всех дифференцируемых выпуклых функций f : (0, ∞) → ℝ выполняется неравенство
В любом случае, если F является строго выпуклой, равенство имеет место тогда и только тогда , когда = B . Популярным выбором в приложениях является f ( t ) = t log t , см. Ниже.
Доказательство
Позволять так что для ,
- ,
варьируется от к .
Определять
- .
Ввиду выпуклости и монотонности следовых функций выпукло, и поэтому для всех ,
- ,
который,
- ,
и на самом деле правая часть монотонно убывает по .
Принимая предел урожайность,
- ,
что с перестановкой и заменой является неравенством Клейна:
Обратите внимание, что если строго выпуклый и , тогда строго выпуклый. Окончательное утверждение следует из этого и того факта, что монотонно убывает по .
Неравенство Голдена – Томпсона.
В 1965 г. С. Голден [7] и К. Дж. Томпсон [8] независимо друг от друга обнаружили, что
Для любых матриц ,
Это неравенство можно обобщить для трех операторов: [9] для неотрицательных операторов,
Неравенство Пайерлса – Боголюбова.
Позволять таково, что Tr e R = 1. Определяя g = Tr Fe R , имеем
Доказательство этого неравенства следует из сказанного выше и неравенства Клейна . Возьмем f ( x ) = exp ( x ), A = R + F и B = R + gI . [10]
Вариационный принцип Гиббса
Позволять - самосопряженный оператор такой, что это класс след . Тогда для любого с участием
с равенством тогда и только тогда, когда
Теорема Либа о вогнутости
Следующая теорема была доказана Э. Х. Либом в [9]. Она доказывает и обобщает гипотезу Э. П. Вигнера, М. М. Янасе и Ф. Дж. Дайсона. [11] Шесть лет спустя Т. Андо [12] и Б. Саймон [3] дали другие доказательства, и с тех пор было дано еще несколько доказательств .
Для всех матрицы , и все а также такой, что а также , с участием настоящая карта на дано
- совместно вогнута в
- выпуклый в .
Здесь обозначает сопряженный оператор к
Теорема Либа
Для фиксированной эрмитовой матрицы , функция
вогнутая на .
Теорема и доказательство принадлежат EH Lieb, [9] Thm 6, где он получил эту теорему как следствие теоремы Либа о вогнутости. Самое прямое доказательство принадлежит Х. Эпштейну; [13] см. Статьи М.Б. Рускаи, [14] [15] для обзора этого аргумента.
Теорема Андо о выпуклости
Доказательство Т. Андо [12] теоремы Либа о вогнутости привело к следующему существенному дополнению к нему:
Для всех матрицы , и все а также с участием , действительная карта на дано
выпуклый.
Совместная выпуклость относительной энтропии
Для двух операторов определить следующую карту
Для матриц плотности а также , карта - квантовая относительная энтропия Умегаки .
Обратите внимание, что неотрицательность следует из неравенства Клейна с .
Заявление
Карта совместно выпуклый.
Доказательство
Для всех , совместно вогнута по теореме Либа о вогнутости , и, таким образом,
выпуклый. Но
и в пределе выпуклость сохраняется.
Доказательство принадлежит Г. Линдбладу. [16]
Оператор Дженсена и неравенства следов
Операторная версия неравенства Дженсена принадлежит К. Дэвису. [17]
Непрерывная действительная функция на интервале удовлетворяет операторному неравенству Йенсена, если выполняется
для операторов с участием а для самосопряженных операторов со спектром на.
См. [17] [18] для доказательства следующих двух теорем.
Следовое неравенство Дженсена
Пусть f - непрерывная функция, определенная на интервале I, и пусть m и n - натуральные числа. Если f выпуклая, то имеем неравенство
для всех ( X 1 , ..., X n ) самосопряженных матриц размера m × m со спектрами, содержащимися в I, и всех ( A 1 , ..., A n ) матриц размера m × m с
Наоборот, если указанное выше неравенство выполняется для некоторых n и m , где n > 1, то f выпукло.
Неравенство оператора Дженсена
Для непрерывной функции определяется на интервале следующие условия эквивалентны:
- операторно выпуклый.
- Для каждого натурального числа у нас есть неравенство
для всех ограниченные самосопряженные операторы в произвольном гильбертовом пространстве со спектрами, содержащимися в и все на с участием
- для каждой изометрии на бесконечномерном гильбертовом пространстве а также
каждый самосопряженный оператор со спектром в .
- для каждой проекции на бесконечномерном гильбертовом пространстве , каждый самосопряженный оператор со спектром в и каждый в .
Неравенство Араки – Либа – Тирринга.
Либ и В.Е. Тирринг в 1976 г. в [19] доказали следующее неравенство : для любого, а также
В 1990 г. [20] Х. Араки обобщил указанное выше неравенство на следующее: для любого, а также
- для
а также
- для
Неравенство Либа – Тирринга также имеет следующее обобщение: [21] для любого, а также
Теорема Эффроса и ее расширение
Э. Эффрос в [22] доказал следующую теорему.
Если - операторно выпуклая функция, а а также являются коммутирующими ограниченными линейными операторами, т. е. коммутатор , перспектива
совместно выпукло, т. е. если а также с участием (i = 1,2), ,
Ebadian et al. позже неравенство распространилось на случай, когда а также не ездить на работу. [23]
Неравенство следов фон Неймана, названное в честь его создателя Джона фон Неймана , утверждает, что для любых комплексных матриц A , B размера n × n с сингулярными значениями а также соответственно [24]
Простым следствием этого является следующий результат: [25] Для эрмитовых положительных полуопределенных комплексных матриц размера n × n A , B, где теперь собственные значения сортируются по убыванию ( а также , соответственно),
Смотрите также
- энтропия фон Неймана
- Неравенство Либа – Тирринга.
- Теорема Шура – Хорна
Рекомендации
- ^ a b c Э. Карлен, Следовые неравенства и квантовая энтропия: вводный курс, Contemp. Математика. 529 (2010) 73-140 дои : 10,1090 / conm / 529/10428
- ^ Р. Бхатия, Матричный анализ, Springer, (1997).
- ^ а б Б. Саймон, Идеалы трассировки и их приложения, Cambridge Univ. Press, (1979); Второе издание. Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд (2005).
- ^ М. Охя, Д. Петц, Квантовая энтропия и ее использование, Springer, (1993).
- ^ Löwner, Карл (1934). «Убер монотонный Matrixfunktionen». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 38 (1): 177–216. DOI : 10.1007 / bf01170633 . ISSN 0025-5874 . S2CID 121439134 .
- ^ WF Донохью младший , Монотонные матричные функции и аналитическое продолжение, Springer, (1974).
- ^ Голден, Сидней (1965-02-22). «Нижние оценки функции Гельмгольца». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 137 (4B): B1127 – B1128. DOI : 10.1103 / Physrev.137.b1127 . ISSN 0031-899X .
- ^ Томпсон, Колин Дж. (1965). «Неравенство с приложениями в статистической механике». Журнал математической физики . Издательство AIP. 6 (11): 1812–1813. DOI : 10.1063 / 1.1704727 . ISSN 0022-2488 .
- ^ а б в Либ, Эллиотт H (1973). «Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера-Янасе-Дайсона» . Успехи в математике . 11 (3): 267–288. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (73) 90011-х . ISSN 0001-8708 .
- ^ D. Ruelle, Статистическая механика: точные результаты, World Scient. (1969).
- ^ Вигнер, Юджин П .; Янасэ, Муцуо М. (1964). «О положительной полуопределенной природе одного матричного выражения». Канадский математический журнал . Канадское математическое общество. 16 : 397–406. DOI : 10,4153 / CJM-1964-041-х . ISSN 0008-414X .
- ^ а б Андо, Т. (1979). «Вогнутость некоторых отображений на положительно определенных матрицах и приложениях к произведениям Адамара» . Линейная алгебра и ее приложения . Elsevier BV. 26 : 203–241. DOI : 10.1016 / 0024-3795 (79) 90179-4 . ISSN 0024-3795 .
- ^ Эпштейн, Х. (1973). «Замечания к двум теоремам Э. Либа». Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 31 (4): 317–325. DOI : 10.1007 / bf01646492 . ISSN 0010-3616 . S2CID 120096681 .
- ^ Рускай, Мэри Бет (2002). «Неравенства для квантовой энтропии: обзор с условиями равенства». Журнал математической физики . Издательство AIP. 43 (9): 4358–4375. arXiv : квант-ph / 0205064 . DOI : 10.1063 / 1.1497701 . ISSN 0022-2488 . S2CID 3051292 .
- ^ Рускай, Мэри Бет (2007). «Еще одно краткое и элементарное доказательство сильной субаддитивности квантовой энтропии». Доклады по математической физике . Elsevier BV. 60 (1): 1–12. arXiv : квант-ph / 0604206 . DOI : 10.1016 / s0034-4877 (07) 00019-5 . ISSN 0034-4877 . S2CID 1432137 .
- ^ Линдблад, Горан (1974). «Ожидания и энтропийные неравенства для конечных квантовых систем». Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 39 (2): 111–119. DOI : 10.1007 / bf01608390 . ISSN 0010-3616 . S2CID 120760667 .
- ^ a b К. Дэвис, Неравенство Шварца для выпуклых операторных функций, Proc. Амер. Математика. Soc. 8, 42–44, (1957).
- ^ Хансен, Франк; Педерсен, Герт К. (2009-06-09). «Неравенство оператора Дженсена». Бюллетень Лондонского математического общества . 35 (4): 553–564. arXiv : math / 0204049 . DOI : 10.1112 / s0024609303002200 . ISSN 0024-6093 . S2CID 16581168 .
- ^ EH Lieb, WE Thirring, Неравенства для моментов собственных значений гамильтониана Шредингера и их связь с неравенствами Соболева, в исследованиях по математической физике, под редакцией Э. Либа, Б. Саймона и А. Вайтмана, Princeton University Press, 269 –303 (1976).
- ^ Араки, Хузихиро (1990). «О неравенстве Либа и Тирринга». Письма по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 19 (2): 167–170. DOI : 10.1007 / bf01045887 . ISSN 0377-9017 . S2CID 119649822 .
- ^ З. Аллен-Чжу, Й. Ли, Л. Ореккья, Использование оптимизации для получения независимого от ширины, параллельного, более простого и быстрого положительного решателя SDP, в Симпозиуме ACM-SIAM по дискретным алгоритмам, 1824–1831 (2016).
- ^ Эффрос, ЭГ (21 января 2009 г.). «Матричный подход выпуклости к некоторым знаменитым квантовым неравенствам» . Труды Национальной академии наук США . Труды Национальной академии наук. 106 (4): 1006–1008. arXiv : 0802.1234 . DOI : 10.1073 / pnas.0807965106 . ISSN 0027-8424 . PMC 2633548 . PMID 19164582 .
- ^ Ebadian, A .; Никуфар, I .; Эшаги Горджи, М. (18.04.2011). «Перспективы матричных выпуклых функций» . Труды Национальной академии наук . Труды Национальной академии наук США. 108 (18): 7313–7314. DOI : 10.1073 / pnas.1102518108 . ISSN 0027-8424 .
- ^ Мирский, Л. (декабрь 1975). «След неравенства Джона фон Неймана». Monatshefte für Mathematik . 79 (4): 303–306. DOI : 10.1007 / BF01647331 . S2CID 122252038 .
- ^ Маршалл, Альберт У .; Олкин, Инграм; Арнольд, Барри (2011). Неравенства: теория мажоризации и ее приложения (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 340 -341. ISBN 978-0-387-68276-1.
- Первоисточник Scholarpedia .