Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из Proposition (математика) )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Не путать с Теоремой , Теоремой или Теорией .
Теорема Пифагора имеет не менее 370 известных доказательств [1]

В математике и логике , теорема не является самоочевидным утверждением , что было доказано , чтобы быть правдой, либо на основе общепринятых утверждений , такие как аксиомы или на основе ранее установленные утверждения , такие как другие теоремы. [2] [3] [4] Следовательно, теорема является логическим следствием аксиом, причем доказательство теоремы является логическим аргументом, который устанавливает ее истинность через правила вывода дедуктивной системы.. В результате доказательство теоремы часто интерпретируется как подтверждение истинности утверждения теоремы. В свете требования доказательства теорем понятие теоремы является в своей основе дедуктивным , в отличие от понятия научного закона , которое является экспериментальным . [5] [6]

Многие математические теоремы являются условными утверждениями, доказательства которых выводят выводы из условий, известных как гипотезы или посылки . В свете интерпретации доказательства как оправдания истины заключение часто рассматривается как необходимое следствие гипотез. А именно, что вывод верен в том случае, если гипотезы верны - без каких-либо дополнительных предположений. Однако условное выражение также может интерпретироваться по-разному в некоторых дедуктивных системах , в зависимости от значений, присвоенных правилам вывода и условному символу (например, неклассическая логика ).

Хотя теоремы могут быть записаны в полностью символической форме (например, как предложения в исчислении высказываний ), они часто неформально выражаются на естественном языке, таком как английский, для лучшей читаемости. То же самое и с доказательствами, которые часто выражаются в виде логически организованных и четко сформулированных неформальных аргументов, призванных убедить читателей в истинности утверждения теоремы вне всяких сомнений и из которых в принципе может быть построено формальное символическое доказательство.

В дополнение к лучшей читаемости, неформальные аргументы обычно легче проверить, чем чисто символические - действительно, многие математики отдали бы предпочтение доказательству, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и каким-то образом объясняет, почему это очевидно. правда. В некоторых случаях можно даже доказать теорему, используя картинку в качестве доказательства.

Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также занимают центральное место в ее эстетике . Теоремы часто называют «тривиальными», «сложными», «глубокими» или даже «красивыми». Эти субъективные суждения меняются не только от человека к человеку, но также со временем и культурой: например, когда доказательство получено, упрощено или лучше понято, теорема, которая когда-то была сложной, может стать тривиальной. [7] С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но ее доказательство может включать удивительные и тонкие связи между разрозненными областями математики. Великая теорема Ферма - особенно известный пример такой теоремы. [8]

Неформальное изложение теорем [ править ]

Логически , многие теоремы имеют формы индикативного Conditional : если А, то В . Такая теорема не утверждает B -только , что Б является необходимым следствием A . В этом случае A называется гипотезой теоремы («гипотеза» здесь означает нечто очень отличное от гипотезы ), а B - вывод теоремы. В качестве альтернативы, A и B можно также назвать антецедентом и следствием соответственно. [9] Теорема «Еслиn - четное натуральное число , тогда n / 2 - натуральное число »- типичный пример, в котором гипотеза состоит в том, что« n - четное натуральное число », а вывод -« n / 2 также является натуральным числом ».

Чтобы теорема была доказана, она должна быть в принципе выражена в виде точного формального утверждения. Однако теоремы обычно выражаются на естественном языке, а не в полностью символической форме - с предположением, что формальное утверждение может быть выведено из неформального.

В математике принято выбирать несколько гипотез в рамках данного языка и заявлять, что теория состоит из всех утверждений, которые можно доказать на основе этих гипотез. Эти гипотезы составляют фундаментальную основу теории и называются аксиомами или постулатами. Область математики, известная как теория доказательств, изучает формальные языки, аксиомы и структуру доказательств.

Плоская карта с пяти цветов , таких , что никакие две области с одинаковым цветом встречаются. На самом деле его можно раскрасить таким образом всего четырьмя цветами. Теорема о четырех цветах утверждает, что такие раскраски возможны для любой плоской карты, но каждое известное доказательство включает в себя вычислительный поиск, который слишком длинный, чтобы проверить его вручную.

Некоторые теоремы « тривиальны » в том смысле, что они очевидным образом вытекают из определений, аксиом и других теорем и не содержат каких-либо удивительных идей. [10] Некоторые, с другой стороны, могут быть названы «глубокими», потому что их доказательства могут быть длинными и трудными, затрагивать области математики, внешне отличные от формулировки самой теоремы, или обнаруживать удивительные связи между разрозненными областями математики. [11] Теорема может быть простой, но все же глубокой. Прекрасным примером является Великая теорема Ферма , [8] , и есть много других примеров простых , но глубоких теорем теории чисел и комбинаторике , среди других областей.

Другие теоремы имеют известное доказательство, которое нелегко записать. Наиболее яркими примерами являются теорема о четырех цветах и гипотеза Кеплера . Обе эти теоремы становятся истинными только при сведении их к вычислительному поиску, который затем проверяется компьютерной программой. Первоначально многие математики не принимали эту форму доказательства, но она стала более широко распространенной. Математик Дорон Зейлбергер зашел так далеко, что заявил, что это, возможно, единственные нетривиальные результаты, которые когда-либо доказали математики. [12] Многие математические теоремы могут быть сведены к более простым вычислениям, включая полиномиальные тождества, тригонометрические тождества [13] и гипергеометрические тождества.[14] [ необходима страница ]

Доказуемость и теорема [ править ]

Чтобы утверждать математическое утверждение как теорему, требуется доказательство. То есть должна быть продемонстрирована правильная линия рассуждений от аксиом и других уже установленных теорем к данному утверждению. В общем, доказательство считается отделенным от самой формулировки теоремы. Отчасти это связано с тем, что, хотя для одной теоремы может быть известно более одного доказательства, требуется только одно доказательство, чтобы установить статус утверждения как теоремы. Теорема Пифагора и закон квадратичной взаимности претендуют на звание теоремы с наибольшим количеством различных доказательств. [15] [16]

Связь с научными теориями [ править ]

Теоремы в математике и теории в науке принципиально различаются по своей эпистемологии . Научная теория не может быть доказана; его ключевой атрибут - то, что он поддается опровержению , то есть он делает предсказания о мире природы, которые можно проверить экспериментально . Любое расхождение между предсказанием и экспериментом демонстрирует неправильность научной теории или, по крайней мере, ограничивает ее точность или область действия. Математические теоремы, с другой стороны, представляют собой чисто абстрактные формальные утверждения: доказательство теоремы не может включать эксперименты или другие эмпирические свидетельства таким же образом, как эти свидетельства используются для поддержки научных теорий. [5]

Гипотеза Коллатца : один из способов проиллюстрировать ее сложность - расширить итерацию с натуральных чисел до комплексных. В результате получается фрактал , который (по универсальности ) напоминает множество Мандельброта .

Тем не менее, открытие математических теорем требует некоторой степени эмпиризма и сбора данных. Создавая закономерность, иногда с использованием мощного компьютера, математики могут иметь представление о том, что нужно доказывать, а в некоторых случаях даже план того, как приступить к доказательству. Например, гипотеза Коллатца была проверена для начальных значений примерно до 2,88 × 10 18 . Гипотеза Римана была проверена для первых 10 триллионов нулей дзета-функции . Ни одно из этих утверждений не считается доказанным.

Такие доказательства не являются доказательством. Например, гипотеза Мертенса - это утверждение о натуральных числах, которое теперь известно как ложное, но не существует явного контрпримера (т. Е. Натурального числа n, для которого функция Мертенса M ( n ) равна или превышает квадратный корень из n ). известно: все числа меньше 10 14 обладают свойством Мертенса, а наименьшее число, не имеющее этого свойства, известно только как меньше экспоненты 1,59 × 10 40 , что приблизительно равно 10 в степени 4,3 × 10 39. Поскольку число частиц во Вселенной обычно считается меньше 10 в степени 100 ( гугол ), нет никакой надежды найти явный контрпример путем исчерпывающего поиска .

Слово «теория» также существует в математике для обозначения совокупности математических аксиом, определений и теорем, как, например, в теории групп (см. Математическую теорию ). Существуют также «теоремы» в науке, особенно в физике, и в инженерии, но они часто содержат утверждения и доказательства, в которых важную роль играют физические предположения и интуиция; физические аксиомы, на которых основаны такие «теоремы», сами по себе опровергаются.

Терминология [ править ]

Существует ряд различных терминов для математических утверждений; эти термины указывают на роль, которую утверждения играют в конкретном предмете. Иногда различие между разными терминами бывает довольно произвольным, и использование некоторых терминов со временем изменилось.

  • Аксиома или постулат является утверждение , что принимается без доказательств и рассматривается как основополагающее значение для субъекта. Исторически они считались «самоочевидными», но в последнее время они стали рассматриваться как предположения, характеризующие предмет исследования. В классической геометрии аксиомы - это общие утверждения, а постулаты - утверждения о геометрических объектах. [17] определение является еще одной формой заявления, которое также принимается без доказательства, так как он просто дает значение слова или фразы в терминах известных понятий.
  • Недоказанное утверждение, которое считается истинным, называется гипотезой (или иногда гипотезой , но с другим значением, чем рассмотренное выше). Чтобы считаться гипотезой, утверждение обычно должно быть предложено публично, после чего к гипотезе может быть добавлено имя сторонника, как в случае с гипотезой Гольдбаха . Другие известные гипотезы включают гипотезу Коллатца и гипотезу Римана . С другой стороны, Великая теорема Ферма всегда была известна под этим именем, даже до того, как она была доказана; она никогда не была известна как «гипотеза Ферма».
  • Предложение является теоремой меньшего значения. Этот термин иногда означает утверждение с простым доказательством, в то время как термин теорема обычно используется для наиболее важных результатов или результатов с длинными или сложными доказательствами. Некоторые авторы никогда не используют «предложение», а другие используют «теорему» только для фундаментальных результатов. В классической геометрии этот термин использовался по-другому: в «Элементах» Евклида (около 300 г. до н. Э.) Все теоремы и геометрические конструкции назывались «предложениями» независимо от их важности.
  • Лемма является «помогает теореме», пропозиция с небольшой применимостью исключения того, что оно является частью доказательства большей теоремы. В некоторых случаях, когда относительная важность различных теорем становится более ясной, то, что когда-то считалось леммой, теперь считается теоремой, хотя слово «лемма» остается в названии. Примеры включают в себя лемму Гаусса , лемму Цорна , и основную лемму .
  • Следствием является утверждение , что следует с небольшим количеством доказательства из другой теоремы или определения. [18] Также следствием может быть теорема, переформулированная для более ограниченного частного случая . Например, теорема о том, что все углы в прямоугольнике являются прямыми углами, имеет как следствие, что все углы в квадрате ( частный случай прямоугольника) являются прямыми углами .
  • Обратные теорем является утверждением , образованное перестановки , что дано в теореме , и что должно быть доказано. Например, теорема о равнобедренном треугольнике утверждает, что если две стороны треугольника равны, то два угла равны. И наоборот, данное (что две стороны равны) и то, что должно быть доказано (что два угла равны) меняются местами, так что обратное утверждение - это утверждение, что если два угла треугольника равны, то две стороны равны. В этом примере обратное можно доказать как еще одну теорему, но часто это не так. Например, обратное к теореме о том, что два прямых угла равны углам, является утверждением, что два равных угла должны быть прямыми углами, и это явно не всегда так. [19]
  • Обобщение является теоремой , которая включает в себя ранее доказанную теорему как частный случай и , следовательно , как следствие.

Существуют и другие термины, которые используются реже, которые обычно присоединяются к доказанным утверждениям, так что некоторые теоремы упоминаются под историческими или обычными именами. Например:

  • Идентичность является равенством, содержащееся в теореме, между двумя математическими выражениями , которые держат независимо от значений, используемым для любых переменных или параметров , входящих в выражении (пока они находятся в пределах диапазона действия). [20] Примеры включают формулу Эйлера и личность Вандермонда .
  • Правило является теоремой, такими как правило Байеса и Крамера , который устанавливает полезную формулу.
  • Закон или принцип является теоремой , которая применяется в широком диапазоне условий. Примеры включают в себя закон больших чисел , то закон косинусов , нулевые один закон Колмогорова , принцип Гарнака , по крайней мере, верхней грань принцип , и принцип Дирихля . [21]

Несколько известных теорем имеют еще более своеобразные названия. Алгоритм деления (см евклидово деления ) является теоремой , выражающей результат деления в натуральных числах и более общих кольцах. Тождество Безу - это теорема, утверждающая, что наибольший общий делитель двух чисел может быть записан как линейная комбинация этих чисел. Парадокс Банаха-Тарского теорема в теории меры , что это ни парадоксально , в том смысле , что это противоречит общим интуиций о объеме в трехмерном пространстве.

Макет [ править ]

Теорема и ее доказательство обычно излагаются следующим образом:

Теорема (имя человека, который ее доказал, с указанием года открытия или публикации доказательства).
Формулировка теоремы (иногда называемая предложением ).
Доказательство .
Описание доказательства.
Конец

Окончание доказательства может быть обозначено буквами QED ( quod erat manifestrandum ) или одним из знаков надгробия , например «□» или «∎», означающим «Конец доказательства», введенным Полом Халмосом после их использования в журналы, чтобы отметить конец статьи. [22]

Точный стиль зависит от автора или публикации. Во многих изданиях есть инструкции или макросы для набора в домашнем стиле .

Обычно теореме предшествуют определения, описывающие точное значение терминов, используемых в теореме. Также обычно теореме предшествует ряд предложений или лемм, которые затем используются в доказательстве. Однако иногда леммы включаются в доказательство теоремы либо с вложенными доказательствами, либо с их доказательствами, представленными после доказательства теоремы.

Следствия теоремы приводятся либо между теоремой и доказательством, либо сразу после доказательства. Иногда следствия имеют собственные доказательства, объясняющие, почему они следуют из теоремы.

Знания [ править ]

Было подсчитано, что ежегодно доказывается более четверти миллиона теорем. [23]

Известный афоризмом , «Математик является устройством для превращения кофе в теоремы» , вероятно , связанно с Рением , хотя это часто связанно с коллегой Рения Эрдёш (и Рение , возможно, думать о Эрдеше), который был известным за множество теорем, которые он создал, за количество его совместных работ и за то, что он пил кофе. [24]

Классификация конечных простых групп рассматриваются некоторыми как самое длинное доказательство теоремы. Он включает десятки тысяч страниц в 500 журнальных статьях около 100 авторов. Считается, что вместе эти статьи дают полное доказательство, и несколько текущих проектов надеются сократить и упростить это доказательство. [25] Другой теоремой этого типа является теорема о четырех цветах, доказательство которой сгенерировано компьютером, слишком длинное, чтобы человек мог его прочитать. Это одно из самых длинных известных доказательств теоремы, утверждение которой может легко понять неспециалист. [ необходима цитата ]

Теоремы в логике [ править ]

Логика , особенно в области теории доказательств , рассматривает теоремы как утверждения (называемые формулами или хорошо сформированными формулами ) формального языка. Утверждения языка представляют собой цепочки символов, которые можно в широком смысле разделить на бессмыслицу и правильно построенные формулы. Должен быть предоставлен набор правил вывода , также называемых правилами преобразования или правилами вывода . Эти правила вывода точно указывают, когда формула может быть получена из набора предпосылок. Набор правильно построенных формул можно в общих чертах разделить на теоремы и нетеоремы. Однако, по словам Хофштадтера,, формальная система часто просто определяет все свои правильно сформированные формулы как теоремы. [26] [ необходима страница ]

Различные наборы правил вывода порождают разные интерпретации того, что означает выражение, которое является теоремой. Некоторые правила вывода и формальные языки предназначены для улавливания математических рассуждений; наиболее распространенные примеры используют логику первого порядка . Другие дедуктивные системы описывают переписывание терминов , например правила редукции для λ-исчисления .

Определение теорем как элементов формального языка позволяет получать результаты в теории доказательств, изучающие структуру формальных доказательств и структуру доказуемых формул. Самый известный результат - теоремы Гёделя о неполноте ; Представляя теоремы об основной теории чисел в виде выражений на формальном языке, а затем представляя этот язык в самой теории чисел, Гёдель построил примеры утверждений, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью аксиоматизаций теории чисел.

На этой диаграмме показаны синтаксические объекты, которые могут быть построены из формальных языков . Эти символы и строка символов можно условно разделить на бессмысленные и хорошо образованные формулы . Формальный язык можно рассматривать как идентичный набору его хорошо сформированных формул. Набор правильно построенных формул можно в общих чертах разделить на теоремы и нетеоремы.

Теорема может быть выражена на формальном языке (или «формализована»). Формальная теорема - это чисто формальный аналог теоремы. В общем, формальная теорема - это тип хорошо составленной формулы, которая удовлетворяет определенным логическим и синтаксическим условиям. Обозначения часто используются, чтобы указать, что это теорема.

Формальные теоремы состоят из формул формального языка и правил преобразования формальной системы. В частности, формальная теорема всегда является последней формулой вывода в некоторой формальной системе, каждая формула которой является логическим следствием формул, предшествующих ей при выводе. Первоначально принятые формулы вывода называются его аксиомами и являются основой вывода теоремы. Множество теорем называется теорией .

Что делает формальные теоремы полезными и интересными, так это то, что их можно интерпретировать как истинные предложения, а их выводы можно интерпретировать как доказательство истинности полученного выражения. Набор формальных теорем можно назвать формальной теорией . Теорема, интерпретация которой является истинным утверждением о формальной системе (в отличие от формальной системы), называется метатеоремой .

Синтаксис и семантика [ править ]

Основные статьи: Синтаксис (логика) и формальная семантика (логика)

Понятие формальной теоремы в основе своей является синтаксическим, в отличие от понятия истинного предложения, которое вводит семантику . Различные дедуктивные системы могут давать другие интерпретации, в зависимости от допущений правил вывода (т.е. убеждения , обоснования или других модальностей ). Разумность формальной системы зависит от того , не все ее теоремы также сроки действия . Валидность - это формула, которая истинна при любой возможной интерпретации (например, в классической логике высказываний валидности являются тавтологиями ). Формальная система считается семантически полной когда все его теоремы также являются тавтологиями.

Вывод теоремы [ править ]

Основная статья: Формальное доказательство

Понятие теоремы очень тесно связано с ее формальным доказательством (также называемым «выводом»). В качестве иллюстрации рассмотрим очень упрощенную формальную систему , алфавит которой состоит всего из двух символов { A , B }, и чье правило формирования формул:

Любая строка символов, длина которой не менее трех символов и не может быть бесконечно длинной, является формулой. Ничто иное не формула.

Единственная аксиома :

ABBA .

Единственное правило вывода (правило преобразования) для :

Любое появление « A » в теореме может быть заменено появлением строки « AB », и результатом будет теорема.

Теоремы в определяются как те формулы, на которых заканчивается вывод. Например,

  1. ABBA (дано как аксиома)
  2. ABBBA (с применением правила преобразования)
  3. ABBBAB (с применением правила преобразования)

является производным. Следовательно, « ABBBAB » является теоремой . Понятие истины (или ложности) не может применяться к формуле « ABBBAB » до тех пор, пока ее символам не будет дана интерпретация. Таким образом, в этом примере формула еще не представляет предложение, а является просто пустой абстракцией.

Две метатеоремы :

Каждая теорема начинается с буквы « А ».
Каждая теорема имеет ровно два « A S».

Интерпретация формальной теоремы [ править ]

Основная статья: Интерпретация (логика)

Теоремы и теории [ править ]

Основные статьи: Теория и теория (математическая логика)

См. Также [ править ]

  • Список теорем
  • Основная теорема
  • Формула
  • Вывод
  • Теорема игрушки

Заметки [ править ]

  1. ^ Элиша Скотт Лумис. «Пифагорейское предложение: его демонстрации проанализированы и классифицированы, а также библиография источников данных четырех видов доказательств» (PDF) . Информационный центр образовательных ресурсов . Институт педагогических наук (IES) Министерства образования США . Проверено 26 сентября 2010 . Первоначально опубликовано в 1940 г. и переиздано в 1968 г. Национальным советом учителей математики.
  2. ^ «Определение ТЕОРЕМЫ» . www.merriam-webster.com . Проверено 2 ноября 2019 .
  3. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - теорема" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 2 ноября 2019 .
  4. ^ "Теорема | Определение теоремы по лексике" . Словари Lexico | Английский . Проверено 2 ноября 2019 .
  5. ^ a b Марки, Питер (2017), «Рационализм против эмпиризма» , в Zalta, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (издание осень 2017 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , извлечено 2019- 11-02
  6. ^ Однако и теоремы, и научный закон являются результатом исследований. См.Введение в Heath 1897 , Терминология Архимеда , стр. clxxxii: «теорема (θεὼρνμα) из θεωρεἳν для исследования»
  7. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема» . mathworld.wolfram.com . Проверено 2 ноября 2019 .
  8. ^ a b Дармон, Анри; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (9 сентября 2007 г.). «Последняя теорема Ферма» (PDF) . Университет Макгилла - математико-статистический факультет . Проверено 1 ноября 2019 .
  9. ^ «Последствия» . intrologic.stanford.edu . Проверено 2 ноября 2019 .
  10. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - тривиальный" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 2 ноября 2019 .
  11. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Глубокая теорема» . MathWorld .
  12. ^ Дорон Зейлбергер . «Мнение 51» .
  13. ^ Например, вывод формулы дляиз формул сложения синуса и косинуса .
  14. ^ Петковсек и др. 1996 г.
  15. ^ "Теорема Пифагора и ее многочисленные доказательства" . www.cut-the-knot.org . Проверено 2 ноября 2019 .
  16. ^ См., Например, доказательства квадратичной взаимности .
  17. ^ Wentworth, G .; Смит, DE (1913). «Статья 46, 47». Плоская геометрия . Джинн и Ко.
  18. ^ Искусство Wentworth & Smith. 51
  19. ^ Следует за Wentworth & Smith Art. 79
  20. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - идентичность" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 2 ноября 2019 .
  21. ^ Слово закон может также относиться к аксиоме, в правилах вывода , или, в теории вероятностей , с распределением вероятностей .
  22. ^ «Раннее использование символов теории множеств и логики» . jeff560.tripod.com . Дата обращения 2 ноября 2019 .
  23. Перейти ↑ Hoffman 1998, p. 204.
  24. Перейти ↑ Hoffman 1998, p. 7.
  25. ^ Огромная теорема: классификация конечных простых групп , Ричард Элвес, Plus Magazine, выпуск 41, декабрь 2006 г.
  26. ^ Хофштадтер 1980

Ссылки [ править ]

  • Хит, сэр Томас Литтл (1897). Произведения Архимеда . Дувр . Проверено 15 ноября 2009 .
  • Хоффман, П. (1998). Человек, который любил только числа : история Пола Эрдеша и поиски математической истины . Гиперион, Нью-Йорк. ISBN 1-85702-829-5.
  • Хофштадтер, Дуглас (1979). Гедель, Эшер, Бах : вечная золотая коса . Основные книги.
  • Хантер, Джеффри (1996) [1973]. Металогика: Введение в метатеорию стандартной логики первого порядка . Калифорнийский университет Press. ISBN 0-520-02356-0.
  • Матс, Бенсон (1972). Элементарная логика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-501491-X.
  • Петковсек, Марко; Уилф, Герберт; Зейлбергер, Дорон (1996). А = В . AK Peters, Веллесли, Массачусетс. ISBN 1-56881-063-6.

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, связанные с теоремами, на Викискладе?
  • Вайсштейн, Эрик В. «Теорема» . MathWorld .
  • Теорема дня