Из Википедии, свободной энциклопедии
  (Перенаправлено из Эстетики математики )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пример «красоты в методе» - простой и элегантный визуальный описатель теоремы Пифагора .

Математическая красота - это эстетическое удовольствие, обычно получаемое от абстрактности, чистоты, простоты, глубины или упорядоченности математики . [1] Математики часто выражают это удовольствие, описывая математику (или, по крайней мере, какой-то ее аспект) как прекрасную . Они также могут описать математику как вид искусства (например, позицию, занятую Дж. Х. Харди [2] ) или, как минимум, как творческую деятельность . Часто сравнивают музыку и стихи.

Бертран Рассел выразил свое чувство математической красоты следующими словами:

Математика, с правильной точки зрения, обладает не только истиной, но и высочайшей красотой - красотой холодной и суровой, как красота скульптуры, не обращающейся ни к какой части нашей более слабой природы, без великолепных атрибутов живописи или музыки, но безупречно чистой и способной сурового совершенства, которое может показать только величайшее искусство. Истинный дух восторга, возвышения, чувство того, что вы больше, чем человек, который является пробным камнем высочайшего совершенства, можно найти в математике так же верно, как и в поэзии. [3]

Пол Эрдёш выразил свое мнение о невыразимости математики, когда сказал: «Почему числа красивы? Это все равно, что спрашивать, почему Девятая симфония Бетховена прекрасна. Если вы не понимаете, почему, кто-то не может вам сказать. Я знаю, что числа прекрасны. . Если они некрасивы, то ничего нет ». [4]

Красота в методе [ править ]

Математики описывают особенно приятный способ доказательства как элегантные . В зависимости от контекста это может означать:

  • Доказательство, использующее минимум дополнительных предположений или предыдущих результатов.
  • Необычайно лаконичное доказательство.
  • Доказательство, которое неожиданным образом выводит результат (например, из очевидно несвязанной теоремы или набора теорем).
  • Доказательство, основанное на новых и оригинальных выводах.
  • Метод доказательства, который можно легко обобщить для решения семейства схожих задач.

В поисках элегантного доказательства математики часто ищут различные независимые способы доказательства результата, поскольку первое найденное доказательство часто можно улучшить. Теорема, для которой было обнаружено наибольшее количество различных доказательств, вероятно, является теоремой Пифагора , с сотнями доказательств, опубликованных на сегодняшний день. [5] Другая теорема, которая была доказана множеством различных способов, - это теорема о квадратичной взаимности . Фактически, только у Карла Фридриха Гаусса было восемь различных доказательств этой теоремы, шесть из которых он опубликовал. [6]

И наоборот, результаты, которые являются логически правильными, но включают в себя трудоемкие вычисления, чрезмерно сложные методы, весьма традиционные подходы или большое количество мощных аксиом или предыдущие результаты, обычно не считаются элегантными и могут даже называться уродливыми или неуклюжими .

Красота в результатах [ править ]

Начиная с e 0 = 1, путешествуя со скоростью i относительно своего положения в течение времени π, и прибавляя 1, мы получаем 0. (Диаграмма представляет собой диаграмму Аргана ).

Некоторые математики видят красоту в математических результатах, которые устанавливают связи между двумя областями математики, которые на первый взгляд кажутся не связанными друг с другом. [7] Эти результаты часто называют глубокими . Хотя трудно прийти к единому мнению о том, является ли результат глубоким, некоторые примеры приводятся чаще, чем другие. Одним из таких примеров является тождество Эйлера : [8]

Тождество Эйлера - это частный случай формулы Эйлера , которую физик Ричард Фейнман назвал «нашей жемчужиной» и «самой замечательной формулой в математике». [9] Современные примеры включают теорему модульности , которая устанавливает важную связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами (работа , на которой привела к вручению премии Вольфа к Эндрю Уайлс и Ленглендс ), и « чудовищной самогон », который соединяет Группа монстров к модульным функциям через теорию струн (для которойРичард Борчердс был награжден медалью Филдса ).

Другие примеры глубоких результатов включают неожиданное понимание математических структур. Например, теорема Гаусса Egregium - это глубокая теорема, которая удивительным образом связывает локальное явление ( кривизну ) с глобальным явлением ( областью ). В частности, площадь треугольника на изогнутой поверхности пропорциональна избытку треугольника, а пропорциональность - кривизне. Другой примером является фундаментальной теоремой исчисления [10] (и его векторные версий , включая теорему Грина и теорему Стокса ).

Противоположность глубокому - тривиальная вещь . Тривиальная теорема может быть результатом, который может быть очевидным и прямым способом выведен из других известных результатов или применим только к определенному набору конкретных объектов, например, к пустому набору . Однако в некоторых случаях формулировка теоремы может быть достаточно оригинальной, чтобы считаться глубокой, даже если ее доказательство довольно очевидно.

В своей Апологии математика в , Харди предполагает , что красивое доказательство или результат обладает «неотвратимостью», «неожиданность», и «экономику». [11]

Рота , однако, не согласен с неожиданностью как с необходимым условием красоты и предлагает контрпример:

Большое количество математических теорем при первой публикации кажутся удивительными; так, например, около двадцати лет назад [с 1977 года] доказательство существования неэквивалентных дифференцируемых структур на сферах высокой размерности считалось неожиданным, но никому не приходило в голову назвать такой факт красивым, тогда или сейчас . [12]

Напротив, Монастырский пишет:

Очень трудно найти в прошлом изобретение, аналогичное прекрасному построению Милнором различных дифференциальных структур на семимерной сфере ... Первоначальное доказательство Милнора было не очень конструктивным, но позже Э. Брискорн показал, что эти дифференциальные структуры можно описать в предельно явной и красивой форме. [13]

Это несогласие иллюстрирует как субъективную природу математической красоты, так и ее связь с математическими результатами: в данном случае не только существование экзотических сфер, но и их конкретная реализация.

Красота в опыте [ править ]

Соединению пяти кубиков приписывают "холодную и суровую красоту".

Интерес к чистой математике , отдельной от эмпирических исследований, был частью опыта различных цивилизаций , в том числе древних греков , которые «занимались математикой для красоты». [14] Эстетическое удовольствие, которое математические физики обычно испытывают в общей теории относительности Эйнштейна , приписывается ( среди прочего, Полем Дираком ) ее «великой математической красоте». [15] Красота математики проявляется, когда физическая реальность объектов представлена математическими моделями . Теория групп, разработанный в начале 1800-х годов с единственной целью решения полиномиальных уравнений, стал плодотворным способом классификации элементарных частиц - строительных блоков материи. Точно так же изучение узлов дает важное понимание теории струн и петлевой квантовой гравитации .

Некоторые считают, что для того, чтобы ценить математику, нужно заниматься математикой. [16] Например, Math Circle - это программа дополнительного образования после уроков, где учащиеся изучают математику с помощью игр и заданий; Есть также некоторые учителя, которые поощряют участие учеников , обучая математике кинестетическим способом (см. кинестетическое обучение ).

На общем уроке кружка математики учащиеся используют поиск закономерностей, наблюдение и исследование, чтобы сделать свои собственные математические открытия. Например, математическая красота проявляется в упражнении «Математический кружок» по симметрии, предназначенном для учащихся 2-х и 3-х классов, где учащиеся создают свои собственные снежинки, складывая квадратный лист бумаги и вырезая рисунки по своему выбору по краям сложенного листа. Когда бумага развернута, проявляется симметричный рисунок. В повседневных уроках математики в начальной школе симметрия может быть представлена ​​как таковая в художественной манере, когда учащиеся видят эстетически приятные результаты по математике.

Некоторые учителя предпочитают использовать математические манипуляции для эстетического представления математики. Примеры манипуляций включают плитки алгебры , прутья кухонь и блоки узоров . Например, можно научить методу завершения квадрата , используя плитки алгебры. Стержни Cuisenaire могут использоваться для обучения дробям, а блоки шаблонов могут использоваться для обучения геометрии. Использование математических манипуляций помогает учащимся получить концептуальное понимание, которое нельзя сразу увидеть в письменных математических формулах. [17]

Другой пример красоты в опыте связан с использованием оригами . Оригами, искусство складывания бумаги, обладает эстетическими качествами и множеством математических связей. Можно изучить математику складывания бумаги , наблюдая за рисунком складок на развернутых частях оригами. [18]

Комбинаторика , изучение счета, имеет художественные представления, которые некоторые считают математически красивыми. [19] Есть много наглядных примеров, иллюстрирующих комбинаторные концепции. Некоторые из тем и объектов, рассматриваемых на курсах комбинаторики с визуальными представлениями, включают, среди прочего:

  • Теорема четырех цветов
  • Молодая картина
  • Пермутоэдр
  • Теория графов
  • Разделение набора

Красота и философия [ править ]

Некоторые математики считают, что математика ближе к открытию, чем к изобретательству, например:

Нет ни одного научного первооткрывателя, поэта, художника или музыканта, который не сказал бы вам, что он нашел готовым свое открытие, стихотворение или картину - что оно пришло к нему извне, и что он не создавал его сознательно изнутри. .

-  Уильям Кингдон Клиффорд , из лекции в Королевском институте под названием «Некоторые из условий умственного развития»

Эти математики полагают, что подробные и точные результаты математики можно разумно считать истинными, независимо от вселенной, в которой мы живем. Например, они будут утверждать, что теория натуральных чисел в основе своей верна и не требует какого-либо конкретного контекста. Некоторые математики экстраполировали эту точку зрения, согласно которой математическая красота является истиной, а в некоторых случаях становится мистикой .

В философии Платона было два мира: физический, в котором мы живем, и другой абстрактный мир, содержащий неизменную истину, включая математику. Он считал, что физический мир был просто отражением более совершенного абстрактного мира. [20]

Венгерский математик Пауль Эрдеш [21] говорил о воображаемой книге, в которую Бог записал все самые прекрасные математические доказательства. Когда Эрдеш хотел выразить особую признательность за доказательство, он восклицал: «Это из Книги!»

Французский философ двадцатого века Ален Бадью утверждает, что онтология - это математика. [22] Бадью также верит в глубокую связь между математикой, поэзией и философией.

В некоторых случаях натурфилософы и другие ученые, которые широко использовали математику, сделали скачки между красотой и физической истиной, но это оказалось ошибочным. Например, на одном из этапов своей жизни Иоганнес Кеплер считал, что пропорции орбит известных в то время планет Солнечной системы были устроены Богом таким образом, чтобы соответствовать концентрическому расположению пяти Платоновых тел , каждая из которых лежала на circumsphere одного многогранника и insphereдругого. Поскольку существует ровно пять Платоновых тел, гипотеза Кеплера могла учитывать только шесть планетных орбит и была опровергнута последующим открытием Урана .

Красота и математическая теория информации [ править ]

В 1970 - е годы, Авраам родинок и Фредер Нейк проанализировали связь между красотой, обработки информации и теории информации . [23] [24] В 1990-х Юрген Шмидхубер сформулировал математическую теорию зависимой от наблюдателя субъективной красоты на основе алгоритмической теории информации : самые красивые объекты среди субъективно сопоставимых объектов имеют короткие алгоритмические описания (т. Е. Колмогоровскую сложность ) относительно того, что наблюдатель уже знает. [25] [26] [27]Шмидхубер четко различает красивое и интересное. Последнее соответствует первой производной субъективно воспринимаемой красоты: наблюдатель постоянно пытается улучшить предсказуемость и сжимаемость наблюдений, обнаруживая такие закономерности, как повторения и симметрии, а также фрактальное самоподобие . Всякий раз, когда процесс обучения наблюдателя (возможно, прогнозирующая искусственная нейронная сеть ) приводит к улучшенному сжатию данных, так что последовательность наблюдения может быть описана меньшим количеством битчем раньше, временный интерес данных соответствует прогрессу сжатия и пропорционален вознаграждению за внутреннее любопытство наблюдателя. [28] [29]

Математика и искусство [ править ]

Основные статьи: математика и искусство , математика и музыка , математика и архитектура

Музыка [ править ]

Примеры использования математики в музыке включают стохастического музыку из Яниса Xenakis , Фибоначчи в инструменте «s Lateralus , контрапункт Иоганна Себастьяна Баха , полиритмических структур (как в Стравинский » s Обряд Весны ), то метрическая модуляция из Эллиота Картера , перестановка теории в сериализма начиная с Арнольда Шёнберга , а также применение Шепарда тонов в Карлхайнц Штокхаузен «s Hymnen .

Изобразительное искусство [ править ]

Диаграмма из картины Леона Баттисты Альберти 1435 года Делла Питтура , с колоннами в перспективе на сетке

Примеры использования математики в изобразительном искусстве включают приложения теории хаоса и фрактальной геометрии к компьютерному искусству , исследования симметрии Леонардо да Винчи , проективные геометрии в развитии перспективной теории искусства эпохи Возрождения , сетки в оп-арте , оптическую геометрию. в камеры обскуры от Джамбаттиста делла Порта , и несколько перспективных в аналитической кубизма и футуризма .

Голландский графический дизайнер М.С. Эшер создал математически вдохновленные гравюры на дереве , литографии и меццо-тинты . В них представлены невозможные конструкции, исследования бесконечности , архитектура , визуальные парадоксы и мозаики . Британский художник-конструкционист Джон Эрнест создавал рельефы и картины, вдохновленные теорией групп. [30] Ряд других британских художников конструкционистских и системных школ также черпают вдохновение в математических моделях и структурах, включая Энтони Хилла и Питера Лоу .[31] Компьютерное искусство основано на математических алгоритмах .

См. Также [ править ]

  • Аргумент от красоты
  • Клеточный автомат
  • Описательная наука
  • Эвристика беглости речи
  • Золотое сечение
  • Математика и архитектура
  • Нейроэстетика
  • Нормативная наука
  • Философия математики
  • Теория беглости обработки эстетического удовольствия
  • Пифагореизм
  • Теория всего

Заметки [ править ]

  1. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - красота" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 31 октября 2019 .
  2. ^ «Цитаты Харди» . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Проверено 31 октября 2019 .
  3. ^ Рассел, Бертран (1919). «Изучение математики». Мистицизм и логика: и другие очерки . Лонгман . п. 60 . Проверено 22 августа 2008 . Правильно рассматриваемая математика обладает не только истиной, но и высшей красотой, красотой, холодной и строгой, как красота скульптуры, не обращаясь к какой-либо части нашей более слабой природы без великолепных атрибутов Рассела.
  4. ^ Девлин, Кейт (2000). «У математиков разные мозги?». Математический ген: как эволюционировало математическое мышление и почему числа похожи на сплетни . Основные книги . п. 140 . ISBN 978-0-465-01619-8. Проверено 22 августа 2008 .
  5. ↑ Элиша Скотт Лумис опубликовал более 360 доказательств в своей книге «Предложение Пифагора» ( ISBN 0-873-53036-5 ). 
  6. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Квадратичная теорема взаимности" . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 октября 2019 .
  7. ^ Рота (1997) , стр. 173.
  8. ↑ Галлахер, Джеймс (13 февраля 2014 г.). «Математика: почему мозг видит в математике красоту» . BBC News онлайн . Проверено 13 февраля 2014 .
  9. ^ Фейнман, Ричард П. (1977). Лекции Фейнмана по физике . Я . Эддисон-Уэсли. С. 22–10. ISBN 0-201-02010-6.
  10. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Основные теоремы исчисления" . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 октября 2019 .
  11. ^ Харди, GH "18". Извинения математика .
  12. ^ Рота (1997) , стр. 172.
  13. ^ Монастырский (2001), Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса
  14. ^ Ланг, стр. 3
  15. ^ Чандрасекхар, стр. 148
  16. ^ Филлипс, Джордж (2005). «Предисловие» . Математика - это не зрелищный вид спорта . Springer Science + Business Media . ISBN 0-387-25528-1. Проверено 22 августа 2008 . «... в мире математики нет ничего, что соответствовало бы аудитории в концертном зале, где пассивные слушают активных. К счастью, все математики - деятели , а не зрители.
  17. ^ Сауэлл, E (1989). «Эффекты манипулятивных материалов в обучении математике». Журнал исследований в области математического образования . 20 (5): 498–505. DOI : 10.2307 / 749423 . JSTOR 749423 . 
  18. ^ Халл, Томас. «Проект оригами: упражнения для изучения математики». Тейлор и Фрэнсис, 2006.
  19. ^ Brualdi, Ричард. «Вводная комбинаторика». Пирсон, 2009.
  20. ^ Linnebo, Øystein (2018), "платонизм в философии математики" , в Залта, Эдвард Н. (ред.), Стэнфорд энциклопедия философии (весна 2018 -е изд.), Метафизика Research Lab Стэнфордского университета , извлекаться 2019- 10–31
  21. ^ Шехтер, Брюс (2000). Мой мозг открыт: математические путешествия Пола Эрдёша . Нью-Йорк: Саймон и Шустер . С. 70–71. ISBN 0-684-85980-7.
  22. ^ «Ален Бадью: Онтология и структурализм» . Журнал "Прекращение огня" . 2014-04-02 . Проверено 31 октября 2019 .
  23. ↑ A. Moles: Théorie de l'information et perception esthétique , Paris, Denoël, 1973 ( Теория информации и эстетическое восприятие)
  24. ^ F Нака (1974). Ästhetik als Informationsverarbeitung. ( Эстетика как обработка информации). Grundlagen und Anwendungen der Informatik im Bereich ästhetischer Produktion und Kritik. Springer, 1974, ISBN 3-211-81216-4 , ISBN 978-3-211-81216-7  
  25. ^ Дж. Шмидхубер. Искусство невысокой сложности . Леонардо , журнал Международного общества искусств, наук и технологий ( Леонардо / ISAST ), 30 (2): 97–103, 1997. doi : 10.2307 / 1576418 . JSTOR  1576418 .
  26. ^ Дж. Шмидхубер. Статьи по теории красоты и искусству малой сложности с 1994 года: http://www.idsia.ch/~juergen/beauty.html
  27. ^ Дж. Шмидхубер. Простые алгоритмические принципы открытия, субъективная красота, избирательное внимание, любопытство и творчество. Proc. 10-й международный Конф. on Discovery Science (DS 2007), стр. 26–38, LNAI 4755, Springer, 2007. Также в Proc. 18-й международный Конф. по теории алгоритмического обучения (ALT 2007) с. 32, LNAI 4754, Springer, 2007. Совместная приглашенная лекция для DS 2007 и ALT 2007, Сендай, Япония, 2007. arXiv : 0709.0674 .
  28. ^ .J. Шмидхубер. Любопытные системы управления построением моделей. Международная совместная конференция по нейронным сетям, Сингапур, том 2, 1458–1463. IEEE press, 1991 г.
  29. ^ Теория красоты и любопытства Шмидхубера в немецком телешоу: http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit--aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml Архивировано 3 июня 2008 г., на Вайбак машина
  30. ^ Использование Джоном Эрнестом математики и особенно теории групп в его художественных работах анализируется в книге Джона Эрнеста, художника-математика Пола Эрнеста в журнале Philosophy of Mathematics Education , № 24 декабря 2009 г. (специальный выпуск по математике и искусству): http: //people.exeter.ac.uk/PErnest/pome24/index.htm
  31. ^ Франко, Франческа (2017-10-05). «Группа Систем (Глава 2)» . Искусство генеративных систем: работа Эрнеста Эдмондса . Рутледж. ISBN 9781317137436.

Ссылки [ править ]

  • Айгнер, Мартин и Зиглер, Гюнтер М. (2003), Доказательства из КНИГИ , 3-е издание, Springer-Verlag.
  • Чандрасекар, Субраманян (1987), Истина и красота: эстетика и мотивация в науке, University of Chicago Press, Чикаго, Иллинойс.
  • Адамар, Жак (1949), Психология изобретений в математической области, 1-е издание, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2-е издание, 1949 г. Перепечатано, Dover Publications, New York, NY, 1954.
  • Харди, Г. Х. (1940), «Апология математика» , 1-е издание, 1940. Перепечатано, С. П. Сноу (предисловие), 1967. Перепечатано, Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания, 1992.
  • Хоффман, Пол (1992), Человек, который любил только числа , Гиперион.
  • Хантли, HE (1970), Божественная пропорция: исследование математической красоты , Dover Publications, Нью-Йорк, Нью-Йорк.
  • Лумис, Элиша Скотт (1968), Пифагорейское предложение , Национальный совет учителей математики. Содержит 365 доказательств теоремы Пифагора.
  • Ланг, Серж (1985). Красота занятий математикой: три публичных диалога . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96149-6 . 
  • Пайтген, Х.-О., и Рихтер, PH (1986), Красота фракталов , Springer-Verlag.
  • Ребер, Р .; Brun, M .; Миттерндорфер, К. (2008). «Использование эвристики в интуитивном математическом суждении». Психономический бюллетень и обзор . 15 (6): 1174–1178. DOI : 10,3758 / PBR.15.6.1174 . hdl : 1956/2734 . PMID  19001586 . S2CID  5297500 .
  • Стромайер, Джон, и Вестбрук, Питер (1999), Божественная гармония, Жизнь и учения Пифагора , Berkeley Hills Books, Беркли, Калифорния.
  • Рота, Джан-Карло (1997). «Феноменология математической красоты». Synthese . 111 (2): 171–182. DOI : 10,1023 / A: 1004930722234 . JSTOR  20117626 . S2CID  44064821 .
  • Монастырский, Михаил (2001). «Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса» (PDF) . Может. Математика. Soc. Примечания . 33 (2 и 3).

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Cellucci Карло (2015), "Математическая красота, понимание, и открытие", Основы науки , 20 (4): 339-355, DOI : 10.1007 / s10699-014-9378-7 , S2CID  120068870
  • Зеки, С .; Romaya, JP; Бенинкаса, ДМТ; Атия, MF (2014), "Опыт математической красоты и его нейронные корреляты", Frontiers в человеческом Neuroscience , 8 : 68, DOI : 10,3389 / fnhum.2014.00068 , PMC  3923150 , PMID  24592230

Внешние ссылки [ править ]

  • Математика, Поэзия и красота
  • Математика прекрасна?
  • Джастин Маллинз
  • Эдна Сент-Винсент Миллей (поэт): только Евклид смотрел на красоту обнаженной
  • Теренс Тао , что такое хорошая математика?
  • Блог Mathbeauty
  • Коллекция Aesthetic Appeal в Интернет-архиве
  • Математический роман Джим Холт 5 декабря 2013 г., выпуск Нью-Йоркского обзора книг, обзор книги « Любовь и математика: сердце скрытой реальности » Эдварда Френкеля