В математике , то Морделлы-Weil теорема утверждает , что для абелева многообразия над числовым полем , группа из K - рациональных точек зренияявляется конечно-порожденной абелевой группой , называемой группой Морделл-Вейль . Случай сэллиптической кривой а также рациональное число поля Q является теорема Морделла , отвечая на вопрос , по- видимому , создаваемую Анри Пуанкаре около 1901; она была доказана Луи Морделлом в 1922 году. Это основополагающая теорема диофантовой геометрии и арифметики абелевых многообразий .
Поле | Теория чисел |
---|---|
Предполагается | Анри Пуанкаре |
Предполагается в | 1901 г. |
Первое доказательство | Андре Вайль |
Первое доказательство в | 1929 г. |
Обобщения | Теорема Фальтингса Гипотеза Бомбьери – Ланга Гипотеза Морделла – Ланга |
История
Процесс касательной хорды (одна из форм теоремы сложения для кубической кривой ) был известен еще в семнадцатом веке. Процесс бесконечного спуска в Ферме был хорошо известен, но Морделл удался установить конечность фактор - группы что является важным шагом в доказательстве. Конечно, конечность этой группы является необходимым условием длябыть конечно порожденным; и это показывает, что ранг конечен. В этом заключается основная трудность. Это можно доказать с помощью прямого анализа удвоения точки на Е .
Несколькими годами позже Андре Вейль занялся этой темой, произведя обобщение на якобианы кривых высшего рода над произвольными числовыми полями в своей докторской диссертации [1], опубликованной в 1928 году. Для проведения доказательства с той же базовой структурой потребовались более абстрактные методы. . Вторая половина доказательства требует некоторого типа функции высоты , с помощью которой можно ограничить `` размер '' точек. Некоторая мера координат подойдет; высоты логарифмические, так что (грубо говоря) вопрос о том, сколько цифр требуется для записи набора однородных координат . Однако для абелевого многообразия не существует априори предпочтительного представления в виде проективного многообразия .
Обе части доказательства были значительно улучшены последующими техническими достижениями: в когомологиях Галуа применительно к спуску и в изучении наилучших функций высоты (которые являются квадратичными формами ).
Дальнейшие результаты
Теорема оставила без ответа ряд вопросов:
- Расчет ранга. Это по-прежнему сложная вычислительная задача, и не всегда есть эффективные решения .
- Значение ранга: см. Гипотезу Берча и Суиннертона-Дайера .
- Возможные торсионные подгруппы: Барри Мазур в 1978 году доказал, что группа Морделла – Вейля может иметь только конечное число торсионных подгрупп. Это случай эллиптической кривой гипотезы о кручении .
- Для кривой в его якобиевом многообразии как, может ли пересечение с участием быть бесконечным? Из-за теоремы Фальтингса это неверно, если только.
- В том же контексте может содержат бесконечно много точек кручения ? Из-за гипотезы Манина – Мамфорда , доказанной Мишелем Рейно, это неверно, если только это не случай эллиптической кривой.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Вейль, Андре (1928). L'arithmétique sur les courbes algébriques (PhD). Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB, Упсала. Архивировано из оригинала на 2014-12-22.
- Вайль, Андре (1929). "L'arithmétique sur les courbes algébriques". Acta Mathematica . 52 (1). С. 281–315. DOI : 10.1007 / BF02592688 . Руководство по ремонту 1555278 .
- Морделл, Луи Джоэл (1922). «О рациональных решениях неопределенных уравнений третьей и четвертой степени» . Proc. Camb. Фил. Soc . 21 . С. 179–192.
- Джозеф Х., Сильверман (1986). Арифметика эллиптических кривых . Тексты для выпускников по математике . 106 . Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-0-387-09494-6 . ISBN 0-387-96203-4. Руководство по ремонту 2514094 .