В абстрактной алгебре , абелева группа называется конечно порожденным, если существует конечное число элементов в так что каждый в можно записать в виде для некоторых целых чисел . В этом случае мы говорим, что множествоявляется порождающим из или это генерировать .
Каждая конечная абелева группа конечно порождена. Конечно порожденные абелевы группы можно полностью классифицировать.
Примеры
- Эти целые числа ,, являются конечно порожденной абелевой группой.
- Эти целые числа по модулю, , являются конечной (следовательно, конечно порожденной) абелевой группой.
- Любая прямая сумма конечного числа конечно порожденных абелевых групп снова является конечно порожденной абелевой группой.
- Каждая решетка образует конечно порожденную свободную абелеву группу .
Других примеров нет (с точностью до изоморфизма). В частности, группаиз рациональных чисел не является конечно порожденной: [1] , еслирациональные числа, выберите натуральное число взаимно просты со всеми знаменателями; тогда не может быть сгенерирован . Группаненулевых рациональных чисел также не конечно порождена. Группы действительных чисел при сложении и ненулевые действительные числа при умножении также не конечно порождены. [1] [2]
Классификация
Фундаментальная теорема конечно порожденных абелевых групп можно сформулировать двумя способами, обобщающие две формы основной теоремы конечных абелевых групп . Теорема в обеих формах, в свою очередь, обобщает структурную теорему для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов , которая, в свою очередь, допускает дальнейшие обобщения.
Первичное разложение
Первичные состояния препаративных разложения , что каждая конечно порожденная абелева группа G изоморфна прямой сумме из первичных циклических групп и бесконечных циклических групп . Первичная циклическая группа - это группа, порядок которой является степенью простого числа . То есть каждая конечно порожденная абелева группа изоморфна группе вида
где n ≥ 0 - ранг , а числа q 1 , ..., q t - степени (не обязательно различных) простых чисел. В частности, G конечна тогда и только тогда, когда n = 0. Значения n , q 1 , ..., q t (с точностью до перестановки индексов) однозначно определяются G , то есть существует один и только один способ представить G как такое разложение.
Доказательство этого утверждения использует базисную теорему для конечной абелевой группы : каждая конечная абелева группой является прямой суммой из первичных циклических групп . Обозначим торсионную подгруппу группы G как tG . Тогда G / Tg является кручения абелева группа и , следовательно , она свободна абелева. tG - прямое слагаемое группы G , что означает, что существует подгруппа F группы G st, где . Тогда F также является свободным абелевым. Поскольку tG конечно порожден и каждый элемент tG имеет конечный порядок, tG конечно. По теореме о базисе для конечной абелевой группы tG можно записать как прямую сумму примарных циклических групп.
Разложение инвариантного фактора
Мы также можем записать любую конечно порожденную абелеву группу G в виде прямой суммы вида
где k 1 делит k 2 , что делит k 3, и так далее до k u . Снова ранг n и инвариантные множители k 1 , ..., k u однозначно определяются G (здесь с единственным порядком). Ранг и последовательность инвариантных факторов определяют группу с точностью до изоморфизма.
Эквивалентность
Эти утверждения эквивалентны в результате китайской теоремы об остатках , из которой следует, чтотогда и только тогда , когда J и K являются взаимно простыми .
История
История фундаментальной теоремы и ее авторитет усложняются тем фактом, что она была доказана, когда теория групп еще не была хорошо известна, и, таким образом, ранние формы, хотя по существу современные результат и доказательство, часто формулируются для конкретного случая. Вкратце, ранняя форма конечного случая была доказана в ( Gauss 1801 ). , конечный случай был доказан в ( Kronecker 1870 ) и изложен в теоретико-групповых терминах в ( Frobenius & Stickelberger 1878 ) . Конечно представлены случай , решается с помощью нормальной формы Смита , и , следовательно , часто приписывает к ( Smith 1861 ), [3] , хотя конечно генерироваться случай иногда вместо зачислен на ( Пуанкар 1900 ) ; подробности следуют.
Теоретик групп Ласло Фукс утверждает: [3]
Что касается основной теоремы о конечных абелевых группах, то неясно, как далеко во времени нужно вернуться, чтобы проследить ее происхождение. ... потребовалось много времени, чтобы сформулировать и доказать основную теорему в ее нынешнем виде ...
Основная теорема для конечных абелевых групп была доказана Леопольдом Кронекером в ( Kronecker 1870 ). , используя теоретико-групповое доказательство [4], хотя и не формулируя его в теоретико-групповых терминах; [5] современное изложение доказательства Кронекера дано в ( Stillwell 2012 ), 5.2.2 Теорема Кронекера, 176–177 . Это обобщило более ранний результат Карла Фридриха Гаусса из Disquisitiones Arithmeticae (1801), который классифицировал квадратичные формы; Кронекер процитировал этот результат Гаусса. Теорема была сформулирована и доказана на языке групп Фердинандом Георгом Фробениусом и Людвигом Штикельбергером в 1878 году. [6] [7] Другая теоретико-групповая формулировка была дана учеником Кронекера Ойгеном Нетто в 1882 году. [8] [9]
Фундаментальная теорема для конечно представленных абелевых групп была доказана Генри Джоном Стивеном Смитом в ( Smith 1861 ), [3], поскольку целочисленные матрицы соответствуют конечным представлениям абелевых групп (это обобщается на конечно представленные модули над областью главных идеалов), а Смит нормальная форма соответствует классификации конечно определенных абелевых групп.
Основная теорема для конечно порожденных абелевых групп была доказана Анри Пуанкаре в ( Poincaré 1900 ).
, используя матричное доказательство (которое обобщается на области главных идеалов). Это было сделано в контексте вычисления гомологии комплекса, в частности числа Бетти и коэффициентов кручения размерности комплекса, где число Бетти соответствует рангу свободной части, а коэффициенты кручения соответствуют части кручения. . [4]Доказательство Кронекера было обобщено на конечно порожденные абелевы группы Эмми Нётер в ( Noether 1926 ).
. [4]Следствия
Иными словами, основная теорема гласит, что конечно порожденная абелева группа является прямой суммой свободной абелевой группы конечного ранга и конечной абелевой группы, каждая из которых уникальна с точностью до изоморфизма. Конечная абелева группа только кручение подгруппа из G . Ранг G определяется как ранг части G без кручения ; это просто число n в приведенных выше формулах.
Следствие к основной теоремы является то , что каждая конечно порожденная кручения абелева группа является свободной абелевой. Конечно порожденное условие здесь существенно: без кручения, но несвободный абелев.
Каждая подгруппа и фактор-группа конечно порожденной абелевой группы снова конечно порожденная абелева. Конечно порожденные абелевы группы вместе с гомоморфизмами групп образуют абелеву категорию, которая является подкатегорией Серра в категории абелевых групп .
Неконечно порожденные абелевы группы
Отметим, что не всякая абелева группа конечного ранга конечно порождена; группа ранга 1- один контрпример, а группа ранга 0, заданная прямой суммой счетно бесконечного числа копий это еще один.
Смотрите также
- Теорема Жордана – Гёльдера является неабелевым обобщением
Заметки
- ^ a b Сильверман и Тейт (1992), стр. 102
- ^ де ла Харп (2000), стр. 46
- ^ a b c Fuchs, László (2015) [Первоначально опубликовано в 1958 году]. Абелевы группы . п. 85 . ISBN 978-3-319-19422-6.
- ^ а б в Стиллвелл, Джон (2012). «5.2 Структурная теорема для конечно порожденных». Классическая топология и комбинаторная теория групп . п. 175 .
- ^ Вуссинг, Ханс (2007) [1969]. Die Genesis des abstrackten Gruppenbegriffes. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie [ Генезис абстрактной концепции группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп. ]. п. 67 .
- ^ Г. Фробениус, Л. Штикельбергер, Uber Grubben von vertauschbaren Elementen, J. Reine u. Angew. Math., 86 (1878), 217-262.
- ^ Wussing (2007), стр. 234-235
- ↑ Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra , Eugen Netto, 1882 г.
- ^ Wussing (2007), стр. 234-235
Рекомендации
- Смит, Генри Дж. Стивен (1861). «О системах линейных неопределенных уравнений и сравнений». Фил. Пер. R. Soc. Лондон. 151 (1): 293–326. DOI : 10,1098 / rstl.1861.0016 . JSTOR 108738 .Перепечатано (стр. 367–409 ) в The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith , Vol. I , отредактированный JWL Glaisher . Оксфорд: Clarendon Press (1894), xcv +603 стр.
- Сильверман, Джозеф Н .; Тейт, Джон Торренс (1992). Рациональные точки на эллиптических кривых . Тексты для бакалавриата по математике . Springer. ISBN 978-0-387-97825-3.
- де ла Харп, Пьер (2000). Разделы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-31721-2.