В арифметической геометрии , то гипотеза Бомбьери-Ланг является нерешенной проблемой высказала предположение по Энрико Бомбьери и Serge Lang о плотности Зарисского множества рациональных точек зрения на алгебраическое многообразие из общего типа .
Заявление
Слабая гипотеза Бомбьери – Ланга для поверхностей утверждает, что если - гладкая поверхность общего типа, заданная над числовым полем, то -рациональные точки не образуют плотного множества в топологии Зарисского на. [1]
Общая форма гипотезы Бомбьери – Ланга утверждает, что если является алгебраическим многообразием общего типа, определенным над числовым полем , то -рациональные точки не образуют плотного множества в топологии Зарисского. [2] [3] [4]
Уточненная форма гипотезы Бомбьери – Ланга утверждает, что если является алгебраическим многообразием общего типа, определенным над числовым полем , то существует плотное открытое подмножество из так что для всех расширений числовых полей над , набор -рациональные точки в конечно. [4]
История
Гипотеза Бомбьери – Ланга была независимо сформулирована Энрико Бомбьери и Сержем Лангом. В лекции 1980 г. в Чикагском университете Энрико Бомбьери поставил задачу о вырождении рациональных точек для поверхностей общего типа. [1] независимо в ряде работ , начиная с 1971 годом, Серж Ланг высказал предположение более общее соотношение между распределением рациональных точек и алгебраической гиперболичностью , [1] [5] [6] [7] сформулировано в «рафинированной форме» гипотеза Бомбьери – Ланга. [4]
Обобщения и следствия
Гипотеза Бомбьери – Ланга является аналогом для поверхностей теоремы Фальтингса , которая утверждает, что алгебраические кривые рода больше единицы имеют только конечное число рациональных точек. [8]
Если это правда, то гипотеза Бомбьери – Ланга разрешила бы проблему Эрдеша – Улама , поскольку она означала бы, что не существует плотных подмножеств евклидовой плоскости, все попарные расстояния которых рациональны. [8] [9]
В 1997 году Люсия Капорасо , Барри Мазур , Джо Харрис и Патрисия Пачелли показали, что из гипотезы Бомбьери – Ланга следует гипотеза о равномерной ограниченности рациональных точек : существует постоянная в зависимости только от а также такое, что количество рациональных точек любого рода изгиб в любой степени числовое поле не более . [2] [3]
Рекомендации
- ^ a b c Дас, Пранабеш; Turchet, Amos (2015), «Приглашение к целым и рациональным точкам на кривых и поверхностях», в Gasbarri, Carlo; Лу, Стивен; Рот, Майк; Чинкель, Юрий (ред.), Рациональные точки, рациональные кривые и целые голоморфные кривые на проективных многообразиях , Современная математика, 654 , Американское математическое общество, стр. 53–73, arXiv : 1407.7750
- ^ а б Пунен, Бьорн (2012), Равномерная ограниченность рациональных точек и препериодических точек , arXiv : 1206.7104
- ^ а б Консейсао, Рикардо; Улмер, Дуглас ; Волох, Хосе Фелипе (2012), "Неограниченность числа рациональных точек на кривых над функциональными полями", New York Journal of Mathematics , 18 : 291–293
- ^ а б в Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000), «F.5.2. Гипотеза Бомбьери – Ланга» , Диофантова геометрия: Введение , Тексты для выпускников по математике, 201 , Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 479–482, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1210-2 , ISBN 0-387-98975-7, Руководство по ремонту 1745599
- ^ Ланг, Serge (1971), "числа трансцендентные и диофантовых приближений" , Бюллетень Американского математического общества , 77 (5), стр 635-678,. DOI : 10,1090 / S0002-9904-1971-12761-1 , ISSN 0002- 9904
- ^ Ланг, Serge (1974), "Высшие проблемы мерная диофантовых" , Бюллетень Американского математического общества , 80 (5), стр 779-788,. Дои : 10,1090 / S0002-9904-1974-13516-0 , ISSN 0002-9904
- ^ Ланг, Серж (1983), Основы диофантовой геометрии , Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 224, ISBN 0-387-90837-4
- ^ а б Тао, Теренс (20 декабря 2014 г.), «Проблема Эрдоша-Улама, многообразия общего типа и гипотеза Бомбьери-Ланга» , Что нового
- ^ Шаффаф, Джафар (май 2018 г.), «Решение проблемы Эрдеша – Улама на множествах рациональных расстояний с учетом гипотезы Бомбьери – Ланга», Дискретная и вычислительная геометрия , 60 (8), arXiv : 1501.00159 , doi : 10.1007 / s00454-018 -0003-3