Линейная алгебраическая группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , линейная алгебраическая группа является подгруппой в группу из обратимых матриц (при умножении матриц ) , что определяется с помощью полиномиальных уравнений. Примером является ортогональной группа , определяется соотношением , где является транспонированным из .${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ displaystyle M ^ {T} M = 1}$${\ Displaystyle M ^ {T}}$${\ displaystyle M}$

Многие группы Ли можно рассматривать как линейные алгебраические группы над полем из реальных или комплексных чисел. (Например, любую компактную группу Ли можно рассматривать как линейную алгебраическую группу над R (обязательно R -анизотропную и редуктивную), как и многие некомпактные группы, такие как простая группа Ли SL ( n , R ) .) Простые группы Ли были классифицированы Вильгельмом Киллингом и Эли Картаномв 1880-х и 1890-х гг. В то время не использовалось особо то обстоятельство, что структура группы может быть определена полиномами, т. Е. Что это алгебраические группы. К основоположникам теории алгебраических групп относятся Маурер , Шевалле и Колчин  ( 1948 ). В 1950-х годах Арманд Борель построил большую часть теории алгебраических групп в том виде, в котором она существует сегодня.

Одним из первых применений теории было определение групп Шевалле .

Примеры [ править ]

Для положительного целого числа , то линейная группа над полем , состоящая из всех обратимых матриц, является линейной алгебраической группой над . Он содержит подгруппы ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle GL (п)}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle U \ подмножество B \ подмножество GL (п)}$

состоящий из матриц вида

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc} 1 & * & \ dots & * \\ 0 & 1 & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & * \\ 0 & \ dots & 0 & 1 \ end {array}} \ right)}$и .${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{array}}\right)}$

Группа представляет собой пример унипотентной линейной алгебраической группы, группа представляет собой пример решаемой алгебраической группы называется подгруппой Борель из . Из теоремы Ли-Колчина следует, что любая связная разрешимая подгруппа в сопряжена в . Любая унипотентная подгруппа может быть сопряжена . ${\displaystyle U}$${\displaystyle B}$${\displaystyle GL(n)}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U}$

Другая алгебраическая подгруппа в - специальная линейная группа матриц с определителем 1. ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$

Группа называется мультипликативной группой , обычно обозначается . Группа -точек - это мультипликативная группа ненулевых элементов поля . Аддитивная группа , которой -точек изоморфны аддитивной группы , также может быть выражено в виде матричной группы, например , в качестве подгруппы в  : ${\displaystyle GL(1)}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }(k)}$${\displaystyle k^{*}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Эти два основных примера коммутативных линейных алгебраических групп, мультипликативная и аддитивная группы, ведут себя по-разному в терминах их линейных представлений (как алгебраических групп). Каждое представление мультипликативной группы является прямой суммой из неприводимых представлений . (Все ее неприводимые представления имеют размерность 1 в форме целого числа .) Напротив, единственное неприводимое представление аддитивной группы - это тривиальное представление. Таким образом, каждое представление (например, двумерное представление выше) является повторным расширением${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$тривиальных представлений, а не прямой суммы (если представление не является тривиальным). Структурная теория линейных алгебраических групп анализирует любую линейную алгебраическую группу в терминах этих двух основных групп и их обобщений, торов и унипотентных групп, как обсуждается ниже.

Определения [ править ]

Для алгебраически замкнутого поля к , большая части структуры алгебраического многообразия X над к кодируются в множестве X ( K ) из K - рациональные точки , что позволяет элементарное определение линейной алгебраической группы. Сначала определим функцию от абстрактной группы GL ( n , k ) до k как регулярную, если ее можно записать как полином от элементов матрицы A размера n × n и от 1 / det ( A ), где det - тоопределитель . Тогда линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем k является подгруппой G ( k ) абстрактной группы GL ( n , k ) для некоторого натурального числа n такого, что G ( k ) определяется обращением в нуль некоторого множества регулярных функции.

Для произвольного поля k алгебраические многообразия над k определяются как частный случай схем над k . На этом языке линейная алгебраическая группа G над полем k является гладкой замкнутой схемой подгрупп группы GL ( n ) над k для некоторого натурального числа n . В частности, G определяется обращением в нуль некоторого набора регулярных функций на GL ( n ) над k , и эти функции должны обладать тем свойством, что для любого коммутативного k- алгебра R , G ( R ) является подгруппой абстрактной группы GL ( n , R ). (Таким образом, алгебраическая группа G над k - это не просто абстрактная группа G ( k ), но, скорее, все семейство групп G ( R ) для коммутативных k -алгебр R ; это философия описания схемы ее функтором точек .)

В любом языке есть понятие гомоморфизма линейных алгебраических групп. Например, когда к алгебраически замкнуто, гомоморфизм из G ⊂ GL ( м ) до H ⊂ GL ( п ) есть гомоморфизм абстрактных групп G ( K ) → H ( K ) , которая определяется регулярными функциями G . Это превращает линейные алгебраические группы над k в категорию . В частности, это определяет, что означает изоморфность двух линейных алгебраических групп .

На языке схем линейная алгебраическая группа G над полем k - это, в частности, групповая схема над k , то есть схема над k вместе с k- точкой 1 ∈ G ( k ) и морфизмами

${\displaystyle m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G}$

над k, которые удовлетворяют обычным аксиомам умножения и обратных отображений в группе (ассоциативность, тождество, обратные). Линейная алгебраическая группа также гладкая, конечного типа над k и аффинна (как схема). Наоборот, любая аффинная групповая схема G конечного типа над полем k имеет точное представление в GL ( n ) над k для некоторого n . ^[1] Примером может служить вложение аддитивной группы G _a в GL(2), как упоминалось выше. В результате линейные алгебраические группы можно рассматривать либо как группы матриц, либо, более абстрактно, как гладкие аффинные групповые схемы над полем. (Некоторые авторы используют термин «линейная алгебраическая группа» для обозначения любой аффинной групповой схемы конечного типа над полем.)

Для полного понимания линейных алгебраических групп необходимо рассмотреть более общие (негладкие) групповые схемы. Например, пусть k - алгебраически замкнутое поле характеристики p > 0. Тогда гомоморфизм f : G _m → G _m, определенный как x ↦ x ^p, индуцирует изоморфизм абстрактных групп k * → k *, но f не является изоморфизмом алгебраических групп (поскольку x ^{1 / p} не является регулярной функцией). На языке групповых схем есть более ясная причина, почему fне изоморфизм: F сюръективно, но она имеет нетривиальное ядро , а именно групповой схемы М р о р е корни из единицы. Эта проблема не возникает в нулевой характеристике. Действительно, любая групповая схема конечного типа над полем k нулевой характеристики гладкая над k . ^[2] Схема группы конечного типа над любым полем к гладка над K тогда и только тогда , когда она геометрический уменьшается , а это означает , что изменение базы будет уменьшено , где это алгебраическое замыкание на к .${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$^[3]

Поскольку аффинная схема X определяется своим кольцом O ( X ) регулярных функций, аффинная групповая схема G над полем k определяется кольцом O ( G ) с его структурой алгебры Хопфа (вытекающей из умножения и обратной карты на G ). Это дает эквивалентность категорий (переворачивающих стрелки) между аффинными групповыми схемами над k и коммутативными алгебрами Хопфа над k . Например, алгебра Хопфа, соответствующая мультипликативной группе G _m = GL(1) - кольцо полиномов Лорана k [ x , x ⁻¹ ] с коумножением, заданным формулой

${\displaystyle x\mapsto x\otimes x.}$

Основные понятия [ править ]

Для линейной алгебраической группы G над полем к , то компонента единицы G ^O ( подключенный компонент , содержащий точку 1) является нормальной подгруппой конечного индекса . Значит есть расширение группы

${\displaystyle 1\to G^{\circ }\to G\to F\to 1,}$

где F - конечная алгебраическая группа. (Для k алгебраически замкнутой группы F можно отождествить с абстрактной конечной группой.) По этой причине изучение алгебраических групп в основном сосредоточено на связных группах.

Различные понятия абстрактной теории групп могут быть распространены на линейные алгебраические группы. Несложно определить, что означает коммутативность , нильпотентность или разрешимость линейной алгебраической группы по аналогии с определениями в абстрактной теории групп. Например, линейная алгебраическая группа разрешима, если она имеет композиционный ряд линейных алгебраических подгрупп, такой что фактор-группы коммутативны. Также нормализатор , центр и централизатор замкнутой подгруппы H линейной алгебраической группы Gестественно рассматривать как замкнутые подгруппы схем G . Если они гладкие над k , то они являются линейными алгебраическими группами, как определено выше.

Можно спросить, в какой степени свойства связной линейной алгебраической группы G над полем k определяются абстрактной группой G ( k ). Полезный результат в этом направлении является то , что если поле к является идеальным (например, нулевой характеристикой), или , если G является восстановительным (как определено ниже), то G является унирационально над к . Поэтому, если в дополнение к бесконечно, то группа G ( K ) является Зарискому плотным в G . ^[4]Например, при упомянутых предположениях G коммутативна, нильпотентна или разрешима тогда и только тогда, когда G ( k ) обладает соответствующим свойством.

В этих результатах нельзя опустить предположение о связности. Например, пусть G является группой ц ₃ ⊂ GL (1) кубических корней из единицы над рациональных чисел Q . Тогда G - линейная алгебраическая группа над Q, для которой G ( Q ) = 1 не плотна по Зарисскому в G , поскольку является группой порядка 3.${\displaystyle G({\overline {\mathbf {Q} }})}$

Над алгебраически замкнутым полем есть более сильный результат об алгебраических группах как алгебраических многообразиях: любая связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем является рациональным многообразием . ^[5]

Алгебра Ли алгебраической группы [ править ]

Алгебра Ли алгебраической группы G может быть определена несколькими эквивалентными способами: как касательного пространства Т ₁ ( G ) на единичный элемент 1 ∈ G ( K ), или как пространство левоинвариантных выводов . Если к алгебраически замкнуто, дифференцирование D : O ( G ) → O ( G ) над к координатного кольца G является левоинвариантна , если${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D\lambda _{x}=\lambda _{x}D}$

для любого x в G ( k ), где λ _x : O ( G ) → O ( G ) индуцировано левым умножением на x . Для произвольного поля k левая инвариантность вывода определяется как аналогичное равенство двух линейных отображений O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ). ^[6] Скобка Ли двух дифференцирований определяется как [ D ₁ , D ₂ ] = D ₁ D₂ - Д ₂ Д ₁ .

Таким образом, переход от G к является процессом дифференциации . Для элемента x ∈ G ( k ) производная в точке 1 ∈ G ( k ) отображения сопряжения G → G , g ↦ xgx ⁻¹ , является автоморфизмом элемента , дающим присоединенное представление :${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}).}$

Над полем нулевой характеристики связная подгруппа H линейной алгебраической группы G однозначно определяется своей алгеброй Ли . ^[7] Но не каждая подалгебра Ли соответствует алгебраической подгруппе группы G , как видно на примере тора G = ( G _м ) ² над C . В положительной характеристике может быть много различных связных подгрупп группы G с одной и той же алгеброй Ли (опять же, тор G = ( G _m ) ²${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$приведены примеры). По этим причинам, хотя алгебра Ли алгебраической группы важна, структурная теория алгебраических групп требует более глобальных инструментов.

Полупростые и унипотентные элементы [ править ]

Для алгебраически замкнутого поля k матрица g в GL ( n , k ) называется полупростой, если она диагонализуема , и унипотентной, если матрица g - 1 нильпотентна . Эквивалентно, г унипотентен , если все собственные значения из г равны 1. Иордана канонической формы для матриц следует , что каждый элемент г из GL ( п , K ) можно записать однозначно в виде произведения г =g _ss g _u такая, что g _ss полупроста, g _u унипотентна, а g _ss и g _u коммутируют друг с другом.

Для любого поля k элемент g из GL ( n , k ) называется полупростым, если он становится диагонализуемым над алгебраическим замыканием поля k . Если поле k совершенно, то полупростая и унипотентная части g также лежат в GL ( n , k ). Наконец, для любой линейной алгебраической группы G ⊂ GL ( n ) над полем k определим k- точку группы G как полупростую или унипотентную, если она полупроста или унипотентна в GL (п , л ). (Эти свойства фактически не зависят от выбора точного представления G .) Если поле к совершенно, то полупростые и унипотентные части K -точки из G автоматически в G . То есть ( разложение Жордана ): каждый элемент g группы G ( k ) можно однозначно записать как произведение g = g _ss g _u в G ( k ) такое, что g _ss полупросто, g _uунипотентна, а g _ss и g _u коммутируют друг с другом. ^[8] Это сводит проблему описания классов сопряженности в G ( k ) к полупростому и унипотентному случаям.

Тори [ править ]

Тор над алгебраически замкнутым полем к означает группу , изоморфную ( С _м ) ^п , то продукт из п копий мультипликативной группы над к , для некоторого натурального числа п . Для линейной алгебраической группы G , А максимальный тор в G означает тор в G , которая не содержатся ни в одном большой торе. Например, группа диагональных матриц в GL ( n ) над k является максимальным тором в GL ( n ), изоморфным (G _m ) ⁿ . Основным результатом теории является то , что любые две максимальные торы в группе G над алгебраически замкнутым полем к являются сопряженными некоторым элементом из G ( K ). ^[9] ранг в G означает , что размерность любого максимального тора.

Для произвольного поля к , А тора Т над к означает линейную алгебраическую группу над к , основание изменения в алгебраическом замыкании к изоморфно ( G _м ) ^п над , для некоторого натурального числа п . А разложимый тор над K означает группу , изоморфно ( G _м ) ^п над к для некоторого п . Примером нерасщепимого тора над действительными числами R является${\displaystyle T_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

${\displaystyle T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},}$

с групповой структурой, задаваемой формулой умножения комплексных чисел x + iy . Здесь Т является тором размерности 1 над R . Она не расщепляется, потому что ее группа вещественных точек T ( R ) является группой окружности , которая даже как абстрактная группа не изоморфна G _m ( R ) = R *.

Каждая точка тора над полем k полупроста. Наоборот, если G - связная линейная алгебраическая группа, в которой каждый элемент полупрост, то G - тор. ^[10]${\displaystyle G({\overline {k}})}$

Для линейной алгебраической группы G над общим полем k нельзя ожидать, что все максимальные торы в G над k будут сопряжены элементами из G ( k ). Например, как мультипликативная группа G _м и круг группы Т выше происходить как максимальные торы в SL (2) над R . Однако всегда верно, что любые два максимальных расщепляемых тора в G над k (то есть расщепляемые торы в G , которые не содержатся в большем расщепляющемся торе) сопряжены некоторым элементом из G( k ). ^[11] В результате имеет смысл определить k -ранг или расщепленный ранг группы G над k как размерность любого максимального расщепляемого тора в G над k .

Для любого максимального тора T в линейной алгебраической группе G над полем k Гротендик показал, что это максимальный тор в . ^[12] Отсюда следует, что любые два максимальных тора в G над полем k имеют одинаковую размерность, хотя они не обязательно должны быть изоморфны.${\displaystyle T_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Унипотентные группы [ править ]

Пусть U _n - группа верхнетреугольных матриц в GL ( n ) с диагональными элементами, равными 1, над полем k . Групповая схема над полем k (например, линейная алгебраическая группа) называется унипотентной, если она изоморфна замкнутой схеме подгрупп поля U _n для некоторого n . Несложно проверить нильпотентность группы U _n . В результате каждая унипотентная групповая схема нильпотентна.

Линейная алгебраическая группа G над полем k унипотентна тогда и только тогда, когда каждый элемент из унипотентен. ^[13]${\displaystyle G({\overline {k}})}$

Группа B _n верхнетреугольных матриц в GL ( n ) является полупрямым произведением

${\displaystyle B_{n}=T_{n}\ltimes U_{n},}$

где T _n - диагональный тор ( G _m ) ⁿ . В более общем смысле , каждая подключенная разрешима линейная алгебраическая группа является полупрямым произведением торы с унипотентной группой, T ⋉ U . ^[14]

Гладкая связная унипотентная группа над совершенным полем k (например, алгебраически замкнутым полем) имеет композиционный ряд, все фактор-группы которого изоморфны аддитивной группе G _a . ^[15]

Подгруппы Бореля [ править ]

Эти подгруппы Бореля имеют важное значение для структурной теории линейных алгебраических групп. Для линейной алгебраической группы G над алгебраически замкнутым полем k борелевская подгруппа группы G означает максимальную гладкую связную разрешимую подгруппу. Например, одна подгруппа Бореля группы GL ( п ) является подгруппа Б из верхних треугольных матриц (все элементы ниже диагонали равны нулю).

Основной результат теории состоит в том, что любые две борелевские подгруппы связной группы G над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом из G ( k ). ^[16] (Стандартное доказательство использует теорему Бореля о неподвижной точке : для связной разрешимой группы G, действующей на собственном многообразии X над алгебраически замкнутым полем k , существует k- точка в X, которая фиксируется действием группы G .) Сопряженность борелевских подгрупп в GL ( n ) составляет теорему Ли – Колчина: каждая гладкая связная разрешимая подгруппа в GL ( n ) сопряжена с подгруппой верхнетреугольной подгруппы в GL ( n ).

Для произвольного поля к , подгруппа Бореля B из G определяется как подгруппа над к таким образом , что над алгебраическим замыканием по к , является подгруппой Бореля группы . Таким образом, G может иметь или не иметь борелевскую подгруппу над k .${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle B_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Для замкнутой схемы подгруппы H из G , то фактор - пространство G / H является гладкой квазипроективны схемой над к . ^[17] гладкая подгруппа Р связной группы G называется параболическим , если G / P является проективным над к (или , что эквивалентно, собственно над к ). Важным свойством борелевских подгрупп B является то, что G / B - проективное многообразие, называемое многообразием флагов группыG . То есть борелевские подгруппы являются параболическими подгруппами. Более точно, для алгебраически замкнутых k подгруппы Бореля - это в точности минимальные параболические подгруппы группы G ; наоборот, любая подгруппа, содержащая борелевскую подгруппу, параболична. ^[18] Таким образом, можно перечислить все параболические подгруппы группы G (с точностью до сопряжения G ( k )), перечислив все линейные алгебраические подгруппы группы G , содержащие фиксированную борелевскую подгруппу. Например, подгруппы P ⊂ GL (3) над k , содержащие борелевскую подгруппу B верхнетреугольных матриц, суть Bсама, вся группа GL (3) и промежуточные подгруппы

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}}$ и ${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.}$

Соответствующие проективные однородные многообразия GL (3) / P суть (соответственно): флаговое многообразие всех цепочек линейных подпространств

${\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3}}$

с V _i размерности i ; точка; проективное пространство Р ² линий (1-мерных линейных подпространств ) в А ³ ; и двойственное проективное пространство P ² плоскостей в A ³ .

Полупростые и редуктивные группы [ править ]

Связная линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем называется полупростой, если каждая гладкая связная разрешимая нормальная подгруппа группы G тривиальна. В более общем смысле связная линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем называется редуктивной, если каждая гладкая связная унипотентная нормальная подгруппа группы G тривиальна. ^[19] (Некоторые авторы не требуют связности редуктивных групп.) Полупростая группа редуктивна. Группа G над произвольным полем k называется полупростой или редуктивной, если она полупроста или редуктивна. Например, группа SL (${\displaystyle G_{\overline {k}}}$n ) матриц размера n × n с определителем 1 над любым полем k полупрост, а нетривиальный тор редуктивен, но не полупрост. Точно так же GL ( n ) редуктивна, но не полупроста (поскольку ее центр G _m является нетривиальной гладкой связной разрешимой нормальной подгруппой).

Каждая компактная связная группа Ли имеет комплексификацию , которая является комплексной редуктивной алгебраической группой. Фактически, эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами с точностью до изоморфизма. ^[20]

Линейная алгебраическая группа G над полем к называется простой (или к - простой ) , если она полупрост, нетривиальная, и каждая гладким связная нормальная подгруппа в G над к тривиальна или равно G . ^[21] (Некоторые авторы называют это свойство «почти простым».) Это немного отличается от терминологии для абстрактных групп тем, что простая алгебраическая группа может иметь нетривиальный центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого числа n не менее 2 и любого поля k группа SL ( n ) над kявляется простым, и его центром является групповой схема М _п о л -й корнями из единицы.

Каждая связная линейная алгебраическая группа G над совершенным полем k является (единственным образом) расширением редуктивной группы R с помощью гладкой связной унипотентной группы U , называемой унипотентным радикалом группы G :

${\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1.}$

Если k имеет нулевую характеристику, то имеется более точное разложение Леви : любая связная линейная алгебраическая группа G над k является полупрямым произведением редуктивной группы на унипотентную группу. ^[22]${\displaystyle R\ltimes U}$

Классификация редуктивных групп [ править ]

Редуктивные группы включают в себя наиболее важные линейные алгебраические группы на практике, такие как классические группы : GL ( n ), SL ( n ), ортогональные группы SO ( n ) и симплектические группы Sp (2 n ). С другой стороны, определение редуктивных групп довольно «негативное», и неясно, можно ли ожидать много о них сказать. Примечательно, что Клод Шевалле дал полную классификацию редуктивных групп над алгебраически замкнутым полем: они определяются корневыми данными . ^[23]В частности, простые группы над алгебраически замкнутым полем k классифицируются (с точностью до факторов по схемам конечных центральных подгрупп) по их диаграммам Дынкина . Поразительно, что эта классификация не зависит от характеристики k . Например, исключительные группы Ли G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ и E ₈ могут быть определены в любой характеристике (и даже как групповые схемы над Z ). Классификация конечных простых групп говорит , что большинство конечных простых групп возникают как группа к-точки простой алгебраической группы над конечным полем k или как второстепенные варианты этой конструкции.

Каждая редуктивная группа над полем является фактор-схемой по схеме конечных центральных подгрупп произведения тора и некоторых простых групп. Например,

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

Для произвольного поля k редуктивная группа G называется расщепленной, если она содержит расщепляемый максимальный тор над k (т. Е. Расщепляемый тор в G, который остается максимальным над алгебраическим замыканием k ). Например, GL ( n ) является расщепляемой редуктивной группой над любым полем k . Шевалле показал, что классификация расщепляемых редуктивных групп одинакова для любого поля. Напротив, классификация произвольных редуктивных групп может быть сложной в зависимости от базового поля. Например, любая невырожденная квадратичная форма q над полем kопределяет редуктивную группу SO ( q ), и каждая центральная простая алгебра A над k определяет редуктивную группу SL ₁ ( A ). В результате проблема классификации редуктивных групп над k по существу включает в себя проблему классификации всех квадратичных форм над k или всех центральных простых алгебр над k . Эти проблемы легко решить для алгебраически замкнутых k , и они понятны для некоторых других полей, таких как числовые поля , но для произвольных полей есть много открытых вопросов.

Приложения [ править ]

Теория представлений [ править ]

Одна из причин важности редуктивных групп исходит из теории представлений. Всякое неприводимое представление унипотентной группы тривиально. В более общем смысле, для любой линейной алгебраической группы G, записанной как расширение

${\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1}$

с U унипотентными и R Восстановительное, каждое неприводимое представление G факторов через R . ^[24] Это фокусирует внимание на теории представлений редуктивных групп. (Для ясности, рассматриваемые здесь представления являются представлениями группы G как алгебраической группы . Таким образом, для группы G над полем k представления находятся на k -векторных пространствах, а действие группы G задается регулярными функциями. - важная, но другая проблема классификации непрерывных представлений группы G ( R) для реальной редуктивной группы G или аналогичные задачи над другими полями.)

Шевалле показал, что неприводимые представления расщепляемой редуктивной группы над полем k конечномерны и индексируются доминирующими весами . ^[25] Это то же самое, что происходит в теории представлений компактных связных групп Ли или конечномерной теории представлений комплексных полупростых алгебр Ли . Для нулевой характеристики k все эти теории по существу эквивалентны. В частности, каждое представление редуктивной группы G над полем нулевой характеристики является прямой суммой неприводимых представлений, и если G расщепляется, характерынеприводимых представлений задаются формулой характера Вейля . Борель-Вейль теорема дает геометрическое построение неприводимого представлений редуктивной группы G в нулевой характеристике, так как пространства сечений расслоений над флаговым многообразием G / B .

Теория представлений редуктивных групп (кроме торов) над полем положительной характеристики p менее изучена. В этой ситуации представление не обязательно должно быть прямой суммой неприводимых представлений. И хотя неприводимые представления индексируются доминирующими весами, размеры и характеры неприводимых представлений известны только в некоторых случаях. Андерсен, Янцен и Зергель ( 1994 ) определили эти характеры (доказывая гипотезу Люстига ), когда характеристика p достаточно велика по сравнению с числом Кокстера группы. Для малых простых чисел p нет даже точной гипотезы.

Групповые действия и геометрическая теория инвариантов [ править ]

Действие линейной алгебраической группы G на многообразии (или схемы) X над полем к морфизм

${\displaystyle G\times _{k}X\to X}$

который удовлетворяет аксиомам группового действия . Как и в других типах теории групп, важно изучать действия групп, поскольку группы возникают естественным образом как симметрии геометрических объектов.

Частью теории действий групп является геометрическая теория инвариантов , целью которой является построение фактормногообразия X / G , описывающего множество орбит линейной алгебраической группы G на X как алгебраическое многообразие. Возникают различные сложности. Например, если Х является аффинным многообразием, то можно попытаться построить X / G , как Spec в кольце инвариантов O ( X ) ^G . Однако Масаеши Нагата показал, что кольцо инвариантов не обязательно должно быть конечно порождено как k-алгебра (и поэтому Spec кольца - это схема, но не разновидность), отрицательный ответ на 14-ю проблему Гильберта . В положительном направлении кольцо инвариантов конечно порождено, если G редуктивна по теореме Хабуша , доказанной в нулевой характеристике Гильбертом и Нагатой.

Геометрическая теория инвариантов включает в себя дополнительные тонкости , когда восстановительная группа G действует на проективное многообразие X . В частности, теория определяет открытые подмножества «стабильных» и «полустабильных» точек в X , причем фактор-морфизм определен только на множестве полустабильных точек.

Связанные понятия [ править ]

Линейные алгебраические группы допускают варианты по нескольким направлениям. Отбросив существование обратного отображения , мы получаем понятие линейного алгебраического моноида . ^[26]${\displaystyle i\colon G\to G}$

Группы лжи [ править ]

Для линейной алгебраической группы G над действительными числами R группа вещественных точек G ( R ) является группой Ли по существу потому, что вещественные многочлены, описывающие умножение на G , являются гладкими функциями . Аналогично, для линейной алгебраической группы G над С , О ( С ) представляет собой комплексную группу Ли . Большая часть теории алгебраических групп была разработана по аналогии с группами Ли.

Есть несколько причин , почему группа Ли не может иметь структуру линейной алгебраической группы над R .

• Группа Ли с бесконечной группой компонент G / G ^o не может быть реализована как линейная алгебраическая группа.
• Алгебраическая группа G над R может быть связной как алгебраическая группа, в то время как группа Ли G ( R ) несвязна, и аналогично для односвязных групп. Например, алгебраическая группа SL (2) односвязна над любым полем, в то время как группы Ли SL (2, R ) имеет фундаментальную группу , изоморфную целые числа Z . Двойное покрытие H группы SL (2, R ), известное как метаплектическая группа , является группой Ли, которую нельзя рассматривать как линейную алгебраическую группу над R. Более того, H не имеет точного конечномерного представления.
• Анатолий Мальцев показал, что любую односвязную нильпотентную группу Ли можно однозначно рассматривать как унипотентную алгебраическую группу G над R. ^[27] (Как разновидность G изоморфна аффинному пространству некоторой размерности над R. ) Напротив, существуют односвязные разрешимые группы Ли, которые нельзя рассматривать как вещественные алгебраические группы. Например, универсальное покрытие H полупрямого произведения S ¹ ⋉ R ² имеет центр, изоморфный Z , который не является линейной алгебраической группой, и поэтому Hнельзя рассматривать в качестве линейной алгебраической группы над R .

Абелевы многообразия [ править ]

Неаффинные алгебраические группы ведут себя совершенно иначе. В частности, гладкая связная групповая схема, являющаяся проективным многообразием над полем, называется абелевым многообразием . В отличие от линейных алгебраических групп каждое абелево многообразие коммутативно. Тем не менее, у абелевых разновидностей есть богатая теория. Даже случай эллиптических кривых (абелевых многообразий размерности 1) занимает центральное место в теории чисел с приложениями, включая доказательство последней теоремы Ферма .

Категории таннакиана [ править ]

Конечномерные представления алгебраической группы G , вместе с тензорным произведением представлений, образуют tannakian категории Группы _G . Фактически, таннакиевы категории с «послойным функтором» над полем эквивалентны аффинным групповым схемам. (Любая аффинная групповая схема над полем k является проалгебраической в том смысле, что она является обратным пределом аффинных групповых схем конечного типа над k . ^[28] ) Например, группа Мамфорда – Тейта и мотивная группа Галуа являются построенный с использованием этого формализма. Некоторые свойства (про) алгебраической группыG можно прочитать из категории представлений. Например, над полем нулевой характеристики Rep _G является полупростой категорией тогда и только тогда, когда компонент идентичности G проредуктивен. ^[29]

См. Также [ править ]

• В группах типа Ли являются конечными простыми группами , построенные из простых алгебраических групп над конечными полями.
• Теорема Лэнга
• Обобщенное многообразие флагов , разложение Брюа , пара BN , группа Вейля , подгруппа Картана , группа присоединенного типа , параболическая индукция
• Реальная форма (теория Ли) , диаграмма Сатаке
• Адельная алгебраическая группа , гипотеза Вейля о числах Тамагавы
• Langlands классификация , Langlands программа , геометрическая программа Langlands
• Торсёры , неабелевость когомологии , специальная группа , Когомологический инвариант , существенная размерность , Кнезера-Титс , гипотеза II Серры
• Псевдоредуктивная группа
• Дифференциальная теория Галуа
• Распределение на линейной алгебраической группе

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Андерсен, HH ; Jantzen, JC ; Зёргель В. (1994), Представления квантовых групп в корне p- го единства и полупростых групп в характеристике p : независимость p, Astérisque, 220 , Société Mathématique de France , ISSN  0303-1179 , MR  1272539
• Борель, Арманд (1991) [1969], Линейные алгебраические группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR  1102012
• Бреккер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли , Springer Nature , ISBN 0-387-13678-9, Руководство MR  0781344
• Конрад, Брайан (2014), «Редуктивные групповые схемы» (PDF) , Autour des schémas en groupes , 1 , Париж: Société Mathématique de France , стр. 93–444, ISBN 978-2-85629-794-0, Руководство по ремонту  3309122
• Делинь, Пьер ; Милн, Дж. С. (1982), «Таннакианские категории» , Циклы Ходжа, мотивы и разновидности Шимуры , Лекционные заметки по математике, 900 , Springer Nature , стр. 101–228, ISBN 3-540-11174-3, MR  0654325
• Де Медтс, Том (2019), Линейные алгебраические группы (примечания к курсу) (PDF) , Гентский университет
• Хамфрис, Джеймс Э. (1975), Линейные алгебраические группы , Springer, ISBN 0-387-90108-6, MR  0396773
• Колчин, ER (1948), "Алгебраические Матричные группы и теория Пикара-Вессио однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений", Анналы математики , вторая серия 49 (1): 1-42, DOI : 10,2307 / 1969111 , ISSN  0003- 486X , JSTOR  1969111 , Руководство по ремонту  0024884
• Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , ISBN 978-1107167483, Руководство по ремонту  3729270
• Спрингер, Тонни А. (1998) [1981], Линейные алгебраические группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Биркхойзер, ISBN 0-8176-4021-5, MR  1642713

Внешние ссылки [ править ]

• "Линейная алгебраическая группа" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]