В математике , то теорема Зайферт-Ван Кампна из алгебраической топологии ( по имени Герберта Зайферт и Эгберт ван Кампен ), иногда просто называется теоремой Ван Кампена , выражает структуру фундаментальной группы в виде топологического пространства в терминах фундаментальных групп двух открытых линейно связных подпространств, покрывающих. Поэтому его можно использовать для вычислений фундаментальной группы пространств, построенных из более простых.
Теорема Ван Кампена для фундаментальных групп
Пусть X - топологическое пространство, которое представляет собой объединение двух открытых и линейно связанных подпространств U 1 , U 2 . Предположим, что U 1 ∩ U 2 линейно связно и непусто, и пусть x 0 - точка в U 1 ∩ U 2, которая будет использоваться в качестве базы всех фундаментальных групп. Отображения включения U 1 и U 2 в X индуцируют гомоморфизмы групп а также . Тогда X линейно связно и а также сформировать коммутативную выталкивающую диаграмму:
Естественный морфизм k является изоморфизмом. То есть фундаментальная группа X является свободным произведением фундаментальных групп U 1 и U 2 с объединением. [1]
Обычно морфизмы, индуцированные включением в эту теорему, сами по себе не инъективны, и более точная версия утверждения выражается в терминах выталкивания групп.
Теорема Ван Кампена для фундаментальных группоидов
К сожалению, приведенная выше теорема не вычисляет фундаментальную группу окружности, которая является наиболее важным базовым примером в алгебраической топологии. Причина в том, что круг не может быть реализован как объединение двух открытых множеств со связным пересечением. Эту проблему можно решить, работая с фундаментальным группоидом. на множестве A базовых точек, выбранных в соответствии с геометрией ситуации. Таким образом, для круга используются две базовые точки. [2]
Это группоид состоит из гомотопических классов относительно конечных точек путей в Й присоединении точек A ∩ X . В частности, если X - стягиваемое пространство и A состоит из двух различных точек X , то легко увидеть, что он изоморфен группоиду, который часто пишут с двумя вершинами и ровно одним морфизмом между любыми двумя вершинами. Этот группоид играет роль в теории группоидов, аналогичную роли группы целых чисел в теории групп. [3] Группоидтакже допускает для группоидов понятие гомотопии: это объект с единичным интервалом в категории группоидов.
Категория группоидов допускает все копределы и, в частности, все выталкивания.
- Теорема. Пусть топологическое пространство X покрыто внутренностями двух подпространств X 1 , X 2, и пусть A будет множеством, которое встречает каждую компоненту пути X 1 , X 2 и X 0 = X 1 ∩ X 2 . Тогда A встречает каждую компоненту пути X и диаграмму P морфизмов, индуцированных включением
- представляет собой выталкивающую диаграмму в категории группоидов. [4]
Эта теорема дает переход от топологии к алгебре, полностью определяя фундаментальный группоид ; затем нужно использовать алгебру и комбинаторику, чтобы определить фундаментальную группу в некоторой базовой точке.
Одна из интерпретаций теоремы состоит в том, что она вычисляет гомотопические 1-типы. Чтобы увидеть его полезность, можно легко найти случаи, когда X соединен, но представляет собой объединение внутренних частей двух подпространств, каждое из которых содержит, скажем, 402 компонента пути и пересечение которых имеет, скажем, 1004 компонента пути. Интерпретация этой теоремы как вычислительного инструмента для «фундаментальных групп» требует некоторого развития «комбинаторной теории группоидов». [5] [6] Из этой теоремы следует вычисление фундаментальной группы окружности как группы целых чисел, поскольку группа целых чисел получается из группоида идентифицируя в категории группоидов две его вершины.
Существует версия последней теоремы, когда X покрывается объединением внутренностей семействаподмножеств. [7] [8]
Вывод состоит в том, что если A встречает каждую компоненту пути всех 1,2,3-кратных пересечений множеств, то A встречает все компоненты пути X и диаграмму
морфизмов, индуцированных включениями, является соуравнителем в категории группоидов.
[...] люди по-прежнему упорно настаивают при вычислениях с фундаментальными группами в фиксации единственной базовой точки вместо того, чтобы ловко выбирать целый пакет точек, который инвариантен относительно симметрий ситуации, которые, таким образом, теряются в пути. В определенных ситуациях (например, теоремы спуска для фундаментальных групп а-ля Ван Кампен) гораздо более элегантно, даже необходимо для понимания чего-либо, работать с фундаментальными группоидами относительно подходящего пакета базовых точек [...]
Эквивалентные составы
На языке комбинаторной теории групп , если - топологическое пространство; а также - открытые линейно связные подпространства в ; непусто и линейно связно; а также; тогдаявляется свободным произведением с объединенной подгруппой в а также , относительно (не обязательно инъективных) гомоморфизмов а также . Данные групповые презентации :
объединение можно представить [9] как
В теории категорий ,является выталкиванием в категории групп диаграммы:
Примеры
2-сфера
Можно использовать теорему Ван Кампена для вычисления фундаментальных групп топологических пространств, которые можно разложить на более простые пространства. Например, рассмотрим сферу. Выберите открытые наборы а также где n и s обозначают соответственно северный и южный полюса. Тогда мы имеем свойство, , B и ∩ B являются открытыми связно множествами. Таким образом, мы видим, что существует коммутативная диаграмма, включающая A ∩ B в A и B, а затем еще одно включение из A и B ви что существует соответствующая диаграмма гомоморфизмов между фундаментальными группами каждого подпространства. Применение теоремы Ван Кампена дает результат
Однако A и B оба гомеоморфны R 2, который односвязен, поэтому и A, и B имеют тривиальные фундаментальные группы. Отсюда ясно, что основная группа тривиально.
Клиновая сумма пробелов
Учитывая два заостренных пространства а также мы можем сформировать их сумму клина ,, взяв частное путем определения их двух базовых точек.
Если допускает стягиваемую открытую окрестность а также допускает стягиваемую открытую окрестность (что имеет место, например, если а также являются комплексами CW ), то мы можем применить теорему Ван Кампена к принимая а также как два открытых множества, и мы заключаем, что фундаментальная группа клина является свободным произведением фундаментальных групп двух пространств, с которых мы начали:
- .
Ориентируемые поверхности рода g
Более сложным примером является вычисление фундаментальной группы ориентируемой поверхности S рода n , также известной как поверхностная группа рода n . Можно построить S, используя его стандартный фундаментальный многоугольник . Для первого открытого набора A выберите диск в центре многоугольника. Pick B , чтобы быть дополнением в S центральной точки A . Тогда пересечение A и B является кольцом, которое, как известно, гомотопически эквивалентно окружности (и поэтому имеет ту же фундаментальную группу, что и). потом, то есть целые числа, и . Таким образом, включение в отправляет любой генератор в тривиальный элемент. Однако включение в нетривиально. Чтобы понять это, сначала нужно вычислить. Это легко сделать, так как можно деформировать ретракт B (который является S с удаленной одной точкой) на ребра, помеченные
Это пространство, как известно, представляет собой сумму клина из 2 n окружностей (также называемую букетом окружностей ), фундаментальная группа которой, как известно, изоморфна свободной группе с 2 n образующими, которые в этом случае могут быть представлены ребрами сами себя:. Теперь у нас достаточно информации, чтобы применить теорему Ван Кампена. Генераторы - это петли( A односвязен, поэтому он не вносит никаких генераторов) и существует ровно одно отношение:
Используя образующие и соотношения, эта группа обозначается
Простая связность
Если X - это пространство, которое можно записать как объединение двух открытых односвязных множеств U и V, где U ∩ V непусто и линейно связно , то X односвязно. [10]
Обобщения
Как объяснялось выше, эта теорема была распространена Рональдом Брауном на несвязный случай с помощью фундаментального группоидана множестве A базовых точек. Теорема для произвольных покрытий с ограничением, что A пересекает все трехмерные пересечения множеств покрытия, дана в статье Брауна и Абдула Разака Саллеха. [11] Теорема и доказательство для фундаментальной группы, но с использованием некоторых группоидных методов, также приведены в книге Дж. Питера Мэя . [12] Версия , которая позволяет более двух перекрывающихся наборов , но с A одноэлементно также приводится в Аллен Хэтчер книге «s ниже, теорема 1.20.
Приложения фундаментального группоида на множестве базовых точек к теореме Жордана о кривой , покрывающим пространствам и пространствам орбит приведены в книге Рональда Брауна. [13] В случае пространств орбит удобно брать A, чтобы включить все неподвижные точки действия. Примером может служить действие сопряжения на круге.
Ссылки на многомерные версии теоремы, которые дают некоторую информацию о гомотопических типах, даны в статье о многомерных теориях групп и группоидах. [14] Таким образом, двумерная теорема Ван Кампена, которая вычисляет неабелевы вторые относительные гомотопические группы, была дана Рональдом Брауном и Филипом Дж. Хиггинсом. [15] Полный отчет и расширения на все измерения даны Брауном, Хиггинсом и Рафаэлем Сиверой, [16], в то время как расширение на n -кубы пространств дано Рональдом Брауном и Жан-Луи Лоде . [17]
Фундаментальные группы также появляются в алгебраической геометрии и являются основной темой первой Séminaire de géométrie algébrique Александра Гротендика (SGA1). Там появляется версия теоремы Ван Кампена, которая доказывается совершенно иначе, чем в алгебраической топологии, а именно теорией спуска. Аналогичное доказательство работает в алгебраической топологии. [18]
Смотрите также
- Многомерная алгебра
- Теория высших категорий
- Псевдокружность
- Рональд Браун (математик)
Заметки
- ^ 1950-, Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1441979391. OCLC 697506452 .CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )стр. 252, теорема 10.1.
- ^ http://planetmath.org/vankampenstheorem Р. Браун, Группоиды и теорема Ван Кампена, Proc. Лондонская математика. Soc . (3) 17 (1967) 385–401.
- ^ Рональд Браун. «Группоиды в математике». http://groupoids.org.uk/gpdsweb.html
- ^ Р. Браун. Топология и группоиды. , Booksurge PLC (2006). http://groupoids.org.uk/topgpds.html
- ^ http://planetmath.org/?method=src&from=objects&name=VanKampensTheorem&op=getobj PJ Higgins, Categories and Groupoids , Van Nostrand, 1971, Reprints of Theory and Applications of Categories, No. 7 (2005), pp 1–195. .
- ^ Р. Браун, Топология и группоиды. , Booksurge PLC (2006).
- ^ Рональд Браун, Филип Дж. Хиггинс и Рафаэль Сивера. Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , Трактаты Европейского математического общества, том 15, август 2011 г.
- ^ Многомерные обобщенные теоремы Ван Кампена (HD-GVKT) http://planetphysics.org/encyclopedia/HDGvKTVanKampenTheorems.html
- ^ 1950-, Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1441979391. OCLC 697506452 .CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )стр. 253, теорема 10.3.
- ^ Гринберг и Харпер 1981
- ^ Браун, Рональд и Разак Саллех, Абдул, "Теорема Ван Кампена для объединения несвязных пространств". Archiv der Mathematik (Базель) 42 (1984), вып. 1, 85–88.
- ^ Мэй, Дж. Питер, "Краткое введение в алгебраическую топологию", глава 2, (1999)
- ^ Браун, Рональд, "Топология и группоиды", Booksurge, (2006)
- ^ Рональд Браун. «Теория многомерных групп». 2007. http://www.bangor.ac.uk/~mas010/hdaweb2.htm
- ^ Браун, Рональд и Хиггинс, Филип Дж. «О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств», Труды Лондонского математического общества (3) 36 (1978), 193-212.
- ^ Браун, Рональд, Хиггинс, Филип Дж. И Сивера, Рафаэль, «Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды», EMS Tracts in Mathematics vol 15, 20011. http://groupoids.org.uk /nonab-at.html
- ^ Браун, Рональд и Лодей, Жан-Луи, "Теоремы Ван Кампена для диаграмм пространств , Топология 26 (1987), 311–334.
- ^ Дуади, Адриан и Дуади, Режин, "Algèbre et théories galoisiennes", Кассини (2005)
Рекомендации
- Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. (2002) Cambridge University Press, Кембридж, xii + 544 стр. ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0
- Питер Мэй, Краткий курс алгебраической топологии. (1999) Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-51183-9 (Раздел 2.7 дает теоретико-категориальное представление теоремы как копредел в категории группоидов) .
- Рональд Браун, Группоиды и теорема Ван Кампена, Proc. Лондонская математика. Soc . (3) 17 (1967) 385–401.
- Обсуждение Mathoverflow по многим базовым моментам
- Рональд Браун, Топология и группоиды (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8
- Р. Браун и А. Разак, Теорема Ван Кампена для объединения несвязных пространств, Архив. Математика. 42 (1984) 85–88. (В этой статье дается, вероятно, оптимальная версия теоремы, а именно группоидная версия теоремы для произвольного открытого покрытия и набора базовых точек, которые пересекают каждую компоненту пути каждого 1-2-3-кратного пересечения множеств крышка.)
- П. Дж. Хиггинс, Категории и группоиды (1971), Ван Ностранд Рейнхольд
- Рональд Браун, Теория многомерных групп (2007) (дает широкий взгляд на многомерные теоремы Ван Кампена, включающие множественные группоиды) .
- Гринберг, Марвин Дж .; Харпер, Джон Р. (1981), Алгебраическая топология. Первый курс , Серия лекций по математике, 58 , Бенджамин / Каммингс, ISBN 0805335579
- Зайферт, Х., Конструкция drei Dimensaler geschlossener Raume . Berichte Sachs. Акад. Лейпциг, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
- ER van Kampen. О связи между фундаментальными группами некоторых родственных пространств. Американский журнал математики, т. 55 (1933), стр. 261–267.
- Браун Р., Хиггинс П. Дж. О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств , Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 36 (1978) 193–212.
- Браун Р., Хиггинс П. Дж. И Сивера Р. 2011, EMS Tracts in Mathematics Vol.15 (2011) Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды ; (В первой из трех частей обсуждаются приложения 1- и 2-мерной версии теоремы Зейферта – ван Кампена. Последняя позволяет вычислять неабелевы вторые относительные гомотопические группы и фактически гомотопические 2-типы. Вторая часть применяется теорема Ван Кампена о высшей гомотопии для скрещенных комплексов, доказанная в части III.)
- "Результат теоремы Ван Кампена" . PlanetMath .
- Р. Браун, Х. Кампс, Т. Портер: Гомотопический двойной группоид хаусдорфового пространства II: теорема Ван Кампена », Теория и приложения категорий, 14 (2005) 200–220.
- Дилан Г. Л. Аллегретти, Симплициальные множества и теорема Ван Кампена (Обсуждает обобщенные версии теоремы Ван Кампена, примененные к топологическим пространствам и симплициальным множествам).
- Р. Браун и Ж.-Л. Лодей, "Теоремы Ван Кампена для диаграмм пространств", Топология 26 (1987) 311–334.
Эта статья включает материал из теоремы Ван Кампена о PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .