В математике , в частности теории групп , то свободный продукт представляет собой операцию , которая принимает два группы G и H и создает новую группу G * H . Результат содержит как G, так и H как подгруппы , порождается элементами этих подгрупп и является « универсальной » группой, обладающей этими свойствами, в том смысле, что любые два гомоморфизма из G и H в группу K однозначно факторизуются через гомоморфизм из G* Н в К . Если одна из групп G и H не тривиальна, свободное произведение всегда бесконечно. Построение свободного произведения по духу аналогично построению свободной группы (универсальной группы с заданным набором образующих).
Бесплатный продукт - это параллельный продукт в категории групп . То есть свободное произведение играет ту же роль в теории групп, что несвязное объединение в теории множеств или прямая сумма в теории модулей . Даже если группы коммутативны, их свободный продукт - нет, если одна из двух групп не является тривиальной группой . Следовательно, свободное произведение не является копроизведением в категории абелевых групп .
Свободный продукт играет важную роль в алгебраической топологии из - за теоремы ван Кампена , в котором говорится о том , что фундаментальная группа из союза двух линейно связных топологических пространств , пересечение которых также связно всегда является амальгамированное продукт фундаментальных групп пространств . В частности, фундаментальная группа суммы клина двух пространств (т. Е. Пространство, полученное соединением двух пространств в одной точке) является просто свободным произведением фундаментальных групп пространств.
Свободные произведения также важны в теории Басса – Серра , изучении групп, действующих автоморфизмами на деревьях . В частности, любая группа, действующая с конечными стабилизаторами вершин на дереве, может быть построена из конечных групп, используя объединенные свободные произведения и расширения HNN . Используя действие модулярной группы на определенную тесселяцию на гиперболической плоскости , то из этой теории , что модульная группа является изоморфной к свободному произведению циклических групп порядков 4 и 6 амальгамированных над циклической группой порядка 2.
Строительство [ править ]
Если G и H группы, слово в G и H является произведением вида
где каждый ев я либо элемент G или элемент Н . Такое слово можно сократить с помощью следующих операций:
- Удалите экземпляр элемента идентичности (либо G, либо H ).
- Заменить пару вида г 1 г 2 его продуктом в G , или пару ч 1 ч 2 по его продукту в H .
Каждое сокращенное слово является чередующимся произведением элементов группы G и элементов H , например
Свободное произведение G * Н является группой, элементы которой являются уменьшенными словами в G и H , при операции конкатенации с последующим восстановлением.
Например, если G - бесконечная циклическая группа , а H - бесконечная циклическая группа , то каждый элемент G ∗ H является альтернированным произведением степеней x и y . В этом случае G ∗ H изоморфна свободной группе, порожденной x и y .
Презентация [ править ]
Предположим, что
является представлением для G (где S G - набор образующих, а R G - набор отношений), и предположим, что
является презентация для H . потом
То есть G ∗ H порождается генераторами G вместе с генераторами H , с отношениями, состоящими из отношений из G вместе с отношениями из H (предположим, что здесь нет противоречий в обозначениях, так что это фактически дизъюнктные объединения ).
Примеры [ править ]
Например, предположим, что G - циклическая группа порядка 4,
и H - циклическая группа порядка 5
Тогда G ∗ H - бесконечная группа
Поскольку в свободной группе нет отношений, свободный продукт свободных групп всегда является свободной группой. В частности,
где F n обозначает свободную группу на n образующих.
Другой пример - модульная группа . Он изоморфен свободному произведению двух циклических групп [1]
Обобщение: бесплатный продукт с объединением [ править ]
Более общая конструкция бесплатного продукта с объединением , соответственно, представляет собой особый вид выталкивания в той же категории . Предположим, что и даны, как и раньше, вместе с мономорфизмами (т.е. гомоморфизмами инъективных групп ):
- а также
где - произвольная группа. Начни с бесплатного продукта и присоединяйся как отношения
за каждый ин . Другими словами, взять наименьшую нормальную подгруппу из , содержащую все элементы на левой стороне вышеприведенного уравнения, которые неявно рассматриваются в с помощью включений и в их свободном продукте. Свободное произведение с объединением и относительно и является фактор-группой
Слияние привело к отождествлению между in и in , элемент за элементом. Это конструкция, необходимая для вычисления фундаментальной группы двух связных пространств, соединенных линейно-связным подпространством, с ролью фундаментальной группы подпространства. См .: Теорема Зейферта – ван Кампена .
Karrass и Solitar дали описание подгрупп бесплатного продукта с объединением. [2] Например, гомоморфизмы из и в фактор-группу , которые индуцированы и оба инъективны, как и индуцированный гомоморфизм из .
Бесплатные продукты с объединением и тесно связанное с ним понятие расширения HNN являются основными строительными блоками в теории групп Басса – Серра, действующих на деревьях.
В других ветках [ править ]
Аналогичным образом можно определить свободные произведения алгебраических структур, отличных от групп, включая алгебры над полем . Свободные произведения алгебр случайных величин играют ту же роль в определении « свободы » в теории свободной вероятности, что декартовы произведения играют в определении статистической независимости в классической теории вероятностей .
См. Также [ править ]
- Прямое произведение групп
- Копродукт
- График групп
- Теорема Куроша о подгруппах
- Нормальная форма для свободных групп и бесплатное произведение групп
- Универсальная собственность
Заметки [ править ]
- ^ Alperin, Роджер С. (апрель 1993). «PSL 2 (Z) = Z 2 * Z 3 ». Амер. Математика. Ежемесячно . 100 : 385–386. DOI : 10.1080 / 00029890.1993.11990418 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
- ^ А. Каррасс и Д. Солитэр (1970) Подгруппы свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой , Труды Американского математического общества 150: 227–255.
Ссылки [ править ]
- «Бесплатный продукт» . PlanetMath .
- «Свободный продукт с объединенной подгруппой» . PlanetMath .
- Категории и группоиды, Филип Хиггинс