Индуцированный гомоморфизм

В математике , особенно в области топологии, известной как алгебраическая топология , индуцированный гомоморфизм - это гомоморфизм, полученный каноническим способом из другого отображения. ^[1] Так , например, непрерывное отображение из топологического пространства X в пространство Y индуцирует гомоморфизм групп из фундаментальной группы из X в фундаментальную группу Y .

В более общем плане в теории категорий любой функтор по определению обеспечивает индуцированный морфизм в целевой категории для каждого морфизма в исходной категории. Например, фундаментальные группы , высшие гомотопические группы , сингулярные гомологии и когомологии Де Рама являются алгебраическими структурами, которые являются функториальными., что означает, что их определение обеспечивает функтор из категории (например) топологических пространств в категорию (например) групп или колец. Это означает, что каждое пространство связано с алгебраической структурой, в то время как каждое непрерывное отображение между пространствами связано с сохраняющим структуру отображением между структурами, называемым индуцированным гомоморфизмом. Часто обозначают гомоморфизм, индуцированный отображением h . ${\ displaystyle h _ {*}}$

Индуцированные гомоморфизмы часто наследуют свойства отображений, из которых они происходят; например, два отображения, обратные друг другу с точностью до гомотопии, индуцируют гомоморфизмы, обратные друг другу. Обычно индуцированные гомоморфизмы используются в следующем: показав, что гомоморфизм с определенными свойствами не может существовать, можно сделать вывод, что не может существовать непрерывного отображения со свойствами, которые могли бы его индуцировать. Благодаря этому отношения между пространствами и непрерывными отображениями, часто очень сложные, могут быть выведены из отношений между гомоморфизмами, которые они индуцируют. Последние могут быть проще для анализа, поскольку они включают алгебраические структуры, которые часто можно легко описать, сравнить и вычислить в.

В фундаментальных группах [ править ]

Пусть X и Y быть топологические пространства с точками х ₀ ∈ X , у ₀ ∈ Y . Пусть h : X → Y - непрерывное отображение такое, что h ( x ₀ ) = y ₀ . Тогда мы можем определить отображение фундаментальной группы $π$ ₁ ( X , x ₀ ) в фундаментальную группу $π$ ₁ ( Y , y ₀ ) ${\ displaystyle h _ {*}}$ следующим образом: любой элемент $π$ ₁ ( X , x ₀ ) , представленный петлей f в X, основанной на x ₀ , отображается в петлю в $π$ ₁ ( Y , y ₀ ), полученную компоновкой с h :

{\ displaystyle h _ {*} ([f]): = [h \ circ f]}

Здесь [f] обозначает класс эквивалентности f относительно гомотопии, как в определении фундаментальной группы. Из определений легко проверить, что это корректно определенная функция $π$ ₁ ( X , x ₀ ) → $π$ ₁ ( Y , y ₀ ) : петли в том же классе эквивалентности, то есть гомотопические петли в X , отображаются в гомотопические петли в Y , поскольку гомотопию можно составить с h ${\ displaystyle h _ {*}}$ также. Это также следует из определения групповой операции в фундаментальных группах (а именно, путем конкатенации петель), которая является гомоморфизмом групп: ${\ displaystyle h _ {*}}$

{\ displaystyle h _ {*} ([f + g]) = h _ {*} ([f]) + h _ {*} ([g])}

(где + обозначает конкатенацию в циклах, первый + в X , второй в Y ). ^[2] Полученный гомоморфизм - это гомоморфизм, индуцированный из h . ${\ displaystyle h _ {*}}$

Его также можно обозначить как $π$ ( h ). Действительно, $π$ дает функтор из категории отмеченных пространств в категорию групп: он связывает фундаментальную группу $π$ ₁ ( X , x ₀ ) с каждым точечным пространством ( X , x ₀ ) и связывает индуцированный гомоморфизм с каждой базой -точно сохраняющее непрерывное отображение f : ( X , x ₀ ) ( Y , y ₀ ) ${\ Displaystyle \ пи (ч) = ч _ {*}}$ . Чтобы доказать, что он удовлетворяет определению функтора, нужно дополнительно проверить, что он совместим с композицией: для сохраняющих базовую точку непрерывных отображений f : ( X , x ₀ ) ( Y , y ₀ ) и g : ( Y , y ₀ ) ( Z , z ₀ ) имеем:

{\ Displaystyle \ пи (г \ circ f) = \ pi (g) \ circ \ pi (f).}

Отсюда следует, что если h - не только непрерывное отображение, но и фактически гомеоморфизм между X и Y , то индуцированный гомоморфизм является изоморфизмом между фундаментальными группами (поскольку гомоморфизм, индуцированный обратным к h, является обратным по приведенному выше уравнению ). (См. Раздел III.5.4, стр. 201, в книге Х. Шуберта.) ^[3] ${\ Displaystyle \ пи (ч)}$ ${\ Displaystyle \ пи (ч)}$

Приложения [ править ]

1. Тор не гомеоморфен R ^2, поскольку их фундаментальные группы не изоморфны (их фундаментальные группы не имеют одинаковой мощности ). В более общем смысле односвязное пространство не может быть гомеоморфным неодносвязному пространству; у одного есть тривиальная фундаментальная группа, а у другого - нет.

2. Фундаментальная группа единичной окружности изоморфна группе целых чисел . Таким образом, одна точка компактификацией из R имеет фундаментальную группу , изоморфную группе целых чисел (так как одна точка компактификацией R гомеоморфно единичной окружности). Это также показывает, что одноточечная компактификация односвязного пространства не обязательно должна быть односвязной.

3. Обратное утверждение теоремы не обязательно. Например, R ² и R ³ имеют изоморфные фундаментальные группы, но все еще не гомеоморфны. Их фундаментальные группы изоморфны, потому что каждое пространство односвязно. Однако эти два пространства не могут быть гомеоморфными, потому что удаление точки из R ² оставляет неодносвязное пространство, но удаление точки из R ³ оставляет односвязное пространство (если мы удалим строку, лежащую в R ³ , пространство не будет быть односвязным. Фактически это обобщается на R ^n, удаляя ( n - 2) -мерное подпространство изR ⁿ выходит из неодносвязного пространства).

4. Если A является сильным деформационным ретрактом топологического пространства X , то отображение включения из A в X индуцирует изоморфизм между фундаментальными группами (так что фундаментальную группу X можно описать, используя только петли в подпространстве A ).

Другие примеры [ править ]

Точно так же существуют индуцированные гомоморфизмы высших гомотопических групп и групп гомологий . Любая теория гомологий имеет индуцированные гомоморфизмы. Например, симплициальные гомологии , сингулярные гомологии и гомологии Бореля – Мура имеют индуцированные гомоморфизмы (IV.1.3, стр. 240–241) ^[3]. Точно так же любые когомологии возникают индуцированные гомоморфизмы, хотя и в противоположном направлении (от группы, ассоциированной с Y в группу, связанную с X ). Например, Чеха , когомологий де Рама и сингулярных когомологийвсе имеют индуцированные гомоморфизмы (IV.4.2–3, стр. 298–299). ^[3] Обобщения, такие как кобордизм, также индуцировали гомоморфизмы.

Общее определение [ править ]

Учитывая некоторые категории топологических пространств (возможно , с некоторой дополнительной структурой) , такие как категории всех топологических пространств Top или категория заостренных топологических пространств, то есть, топологические пространства с отмеченной базовой точкой, и функтор из этой категории в некоторую категорию алгебраических структур , таких как категории групп Grp или абелевых групп Ab , которые затем связывает такую алгебраическую структуру для каждого топологического пространства, то для каждого морфизма из (который обычно представляет собой непрерывное отображение, возможно , сохраняя некоторую другую структуру , такую как базовую точку ) этот функтор индуцирует индуцированный морфизм ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle F: T \ to A}$ $A$ $f:X\to Y$ $T$ $F(f):F(X)\to F(Y)$ in (который является гомоморфизмом групп, если является категорией групп) между алгебраическими структурами и ассоциированными с и , соответственно. $A$ $A$ $F(X)$ $F(Y)$ $X$ $Y$

Если это не функтор но контравариантный функтор то по определению оно индуцирует морфизмы в направлении , противоположном: . Группы когомологий дают пример. $F$ $F(f):F(Y)\to F(X)$

Ссылки [ править ]

^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0.
^ Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1441979391. OCLC 697506452 .стр. 197, предложение 7.24.
^ a b c Шуберт, Х. (1975). Topologie, Eine Einführung (Mathematische Leitfäden) . BG Teubner Verlagsgesellschaft, Штутгарт.

Джеймс Мункрес (1999). Топология, 2-е издание, Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .

[1] Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0.

[2] Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1441979391. OCLC 697506452 .стр. 197, предложение 7.24.

[Sb-3] Шуберт, Х. (1975). Topologie, Eine Einführung (Mathematische Leitfäden) . BG Teubner Verlagsgesellschaft, Штутгарт.

[1]