В математике экспоненциальное поле — это поле , которое имеет дополнительную операцию над своими элементами, расширяющую обычную идею возведения в степень .
Поле — это алгебраическая структура, состоящая из набора элементов F , двух бинарных операций , сложения (+), такого что F образует абелеву группу с единицей 0 F , и умножения (·), такого что F , исключая 0 F , образует абелеву группу при умножении с единицей 1 F , и такое, что умножение является дистрибутивным над сложением, то есть для любых элементов a , b , c в F , каждый имеет a · ( b + c ) = ( a · b ) + (а · в ) . Если также существует функция E , отображающая F в F и такая, что для любых a и b в F выполняется
тогда F называется экспоненциальным полем, а функция E называется экспоненциальной функцией на F . [1] Таким образом, экспоненциальная функция на поле является гомоморфизмом между аддитивной группой F и ее мультипликативной группой.
Для любого поля существует тривиальная экспоненциальная функция, а именно карта, которая переводит каждый элемент в единичный элемент поля при умножении. Таким образом, каждое поле тривиально также является экспоненциальным полем, поэтому случаи, представляющие интерес для математиков, возникают, когда экспоненциальная функция нетривиальна.
Иногда требуется, чтобы экспоненциальные поля имели нулевую характеристику , поскольку единственная экспоненциальная функция на поле с ненулевой характеристикой является тривиальной. [2] Чтобы увидеть это первое замечание, что для любого элемента x в поле с характеристикой p > 0,
Можно не требовать, чтобы базовое множество F было полем, а вместо этого разрешалось быть просто кольцом R , и одновременно экспоненциальная функция ослаблялась, чтобы быть гомоморфизмом от аддитивной группы в R к мультипликативной группе единиц в R. Полученный объект называется экспоненциальным кольцом . [2]