Натуральный логарифм 2

Десятичное значение натурального логарифма от 2 (последовательность A002162 в OEIS ) составляет приблизительно

${\ displaystyle \ ln 2 \ приблизительно 0,693 \, 147 \, 180 \, 559 \, 945 \, 309 \, 417 \, 232 \, 121 \, 458.}$

Логарифм 2 в других основаниях получается по формуле

${\ displaystyle \ log _ {b} 2 = {\ frac {\ ln 2} {\ ln b}}.}$

В частности, десятичный логарифм ( OEIS :  A007524 )

${\ displaystyle \ log _ {10} 2 \ приблизительно 0,301 \, 029 \, 995 \, 663 \, 981 \, 195.}$

Обратное к этому числу - двоичный логарифм 10:

${\ displaystyle \ log _ {2} 10 = {\ frac {1} {\ log _ {10} 2}} \ приблизительно 3.321 \, 928 \, 095}$( OEIS :  A020862 ).

По теореме Линдемана – Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в более общем смысле, любого положительного алгебраического числа, отличного от 1), является трансцендентным числом .

Представления серий [ править ]

Возрастающий альтернативный факториал [ править ]

${\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - {\ frac {1} {2 }} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {6}} + \ cdots. }$Это хорошо известный « переменный гармонический ряд ».

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}$

Двоичный возрастающий постоянный факториал [ править ]

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {5}{6}}-6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {7}{12}}+24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {47}{60}}-120\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}$

Другие изображения серий [ править ]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}={\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}=-{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}={\frac {2\ln 2}{3}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2}$ с помощью ${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2N}{\frac {1}{n}}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4k^{2}-3k}}=\ln 2+{\frac {\pi }{6}}}$(суммы обратных десятиугольных чисел )

Использование дзета-функции Римана [ править ]

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\zeta (2n)=1-\ln 2.}$

( γ - постоянная Эйлера – Маскерони и ζ дзета-функция Римана .)

Представления типа BBP [ править ]

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}$

(См. Дополнительные сведения о представлениях типа Бейли – Борвейна – Плуфа (BBP) .)

Применение трех общих рядов натурального логарифма к 2 напрямую дает:

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.}$

Применение их к дает:${\displaystyle \textstyle 2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+{\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.}$

Применение их к дает:${\displaystyle \textstyle 2=({\sqrt {2}})^{2}}$

${\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{({\sqrt {2}}+1)^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2+{\sqrt {2}})^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt {2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(17+12{\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}.}$

Применение их к дает:${\displaystyle \textstyle 2={\left({\frac {16}{15}}\right)}^{7}\cdot {\left({\frac {81}{80}}\right)}^{3}\cdot {\left({\frac {25}{24}}\right)}^{5}}$

${\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+{\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.}$

Представление в виде интегралов [ править ]

Натуральный логарифм 2 часто встречается в результате интегрирования. Некоторые явные формулы для него включают:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2}$

Другие представления [ править ]

Расширение Pierce - OEIS :  A091846

${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .}$

Расширение Engel - OEIS :  A059180

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .}$

Расширение котангенса - OEIS :  A081785

${\displaystyle \ln 2=\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname {arccot}(14187)-\cdots }).}$

Простое расширение непрерывной дроби - OEIS :  A016730

${\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right]}$,

который дает рациональные приближения, первые несколько из которых: 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 и 61/88.

Эта обобщенная цепная дробь :

${\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]}$, ^[1]

также выражается как

${\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

Загрузка других логарифмов [ править ]

Учитывая значение ln 2 , схема вычисления логарифмов других целых чисел состоит в том, чтобы табулировать логарифмы простых чисел и на следующем слое логарифмы составных чисел c на основе их факторизации

${\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots }$

Здесь задействованы

В третьем слое логарифмы рациональных чисел r =а/бвычисляются с ln ( r ) = ln ( a ) - ln ( b ) , а логарифмы корней через ln ⁿ √ c =1/пln ( c ) .

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 довольно плотно распределены; найти степени 2 ^i, близкие к степеням b ^j других чисел b , сравнительно легко, и последовательные представления ln ( b ) находятся путем соединения 2 с b с помощью логарифмических преобразований .

Пример [ править ]

Если p ^s = q ^t + d с некоторым малым d , тоp ^s/q ^t = 1 + d/q ^t и поэтому

${\displaystyle s\ln(p)-t\ln(q)=\ln \left(1+{\frac {d}{q^{t}}}\right)=\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m+1}{\frac {({\frac {d}{q^{t}}})^{m}}{m}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {d}{2q^{t}+d}}\right)}^{2n+1}.}$

Выбор q = 2 представляет ln ( p ) через ln 2 и серию параметраd/q ^tкоторый желает сохранить маленьким для быстрой конвергенции. Взяв, например, 3 ² = 2 ³ + 1 , получаем

${\displaystyle 2\ln(3)=3\ln 2-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{8^{k}k}}=3\ln 2+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {1}{2\cdot 8+1}}\right)}^{2n+1}.}$

Фактически это третья строка в следующей таблице расширений этого типа:

Начиная с натурального логарифма q = 10, можно использовать следующие параметры:

Известные цифры [ править ]

Это таблица последних записей при вычислении цифр ln 2 . По состоянию на декабрь 2018 года в нем было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме ^{[2] [3]} натурального числа, за исключением 1.

См. Также [ править ]

• Правило 72 # Непрерывное начисление процентов , в котором l 2 фигурируют на видном месте
• Период полураспада # Формулы полураспада в экспоненциальном распаде , в которых ln 2 занимает видное место
• Уравнение Эрдеша – Мозера : все решения должны исходить из сходящейся к ln 2 .

Ссылки [ править ]

• Брент, Ричард П. (1976). «Быстрое вычисление элементарных функций с высокой точностью». J. ACM . 23 (2): 242–251. DOI : 10.1145 / 321941.321944 . Руководство по ремонту  0395314 .
• Улер, Гораций С. (1940). «Пересчет и расширение модуля и логарифмов 2, 3, 5, 7 и 17» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 26 (3): 205–212. DOI : 10.1073 / pnas.26.3.205 . Руководство по ремонту  0001523 . PMC  1078033 . PMID  16588339 .
• Суини, Дура В. (1963). «О вычислении постоянной Эйлера» . Математика вычислений . 17 (82): 170–178. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1963-0160308-X . Руководство по ремонту  0160308 .
• Чемберленд, Марк (2003). "Бинарные BBP-формулы для логарифмов и обобщенных простых чисел Гаусса – Мерсенна" (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 6 : 03.3.7. Руководство по ремонту  2046407 . Архивировано из оригинального (PDF) 06.06.2011 . Проверено 29 апреля 2010 .
• Гуревич, Борис; Гильера Гоянес, Хесус (2007). «Построение биномиальных сумм для π и полилогарифмических констант, вдохновленное формулами BBP» (PDF) . Прикладная математика. Электронные заметки . 7 : 237–246. Руководство по ремонту  2346048 .
• У, Цян (2003). «О мере линейной независимости логарифмов рациональных чисел» . Математика вычислений . 72 (242): 901–911. DOI : 10.1090 / S0025-5718-02-01442-4 .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Натуральный логарифм 2» . MathWorld .
• «таблица натуральных логарифмов» . PlanetMath .
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль. «Постоянный логарифм: log 2» .