Нецелое представление использует не- целых чисел в качестве системы счисления , или основани, позиционной системы счисления . Для нецелого основания β> 1 значение
является
Числа d i - неотрицательные целые числа меньше β. Это также известно как β-разложение - понятие, введенное Реньи (1957) и впервые подробно изученное Парри (1960) . Каждое действительное число имеет хотя бы одно (возможно, бесконечное) β-расширение. Множество всех β-разложений, имеющих конечное представление, является подмножеством кольца Z [β, β −1 ] .
Есть приложения β-разложений в теории кодирования ( Kautz 1965 ) и моделях квазикристаллов ( Burdik et al. 1998 ; Thurston 1989 ).
Строительство
β-разложения являются обобщением десятичных разложений . Хотя бесконечные десятичные разложения не уникальны (например, 1.000 ... = 0,999 ... ), все конечные десятичные разложения уникальны. Однако даже конечные β-разложения не обязательно уникальны, например φ + 1 = φ 2 для β = φ , золотого сечения . Канонический выбор для β-разложения данного действительного числа может быть определен с помощью следующего жадного алгоритма , в основном разработанного Реньи (1957) и сформулированного, как здесь, Фруни (1992) .
Пусть β > 1 - основание, а x - неотрицательное действительное число. Обозначим через ⌊ х ⌋ в функции пола из х , то есть наибольшее целое число меньше или равно х , и пусть { х } = х - ⌊ х ⌋ быть дробная часть х . Существует целое число k такое, что β k ≤ x < β k +1 . Набор
а также
Для k - 1 ≥ j > −∞ положим
Другими словами, каноническое β-расширение x определяется путем выбора наибольшего d k, такого что β k d k ≤ x , а затем выбора наибольшего d k −1 такого, что β k d k + β k −1 d k - 1 ≤ x и т. Д. Таким образом, он выбирает лексикографически наибольшую строку, представляющую x .
С целочисленным основанием это определяет обычное основание системы счисления для числа x . Эта конструкция расширяет обычный алгоритм на, возможно, нецелые значения β .
Преобразование
Следуя шагам выше, мы можем создать β-разложение для действительного числа . Шаги идентичны для, хотя сначала n нужно умножить на−1, чтобы он был положительным, результат нужно умножить на−1, чтобы снова сделать его отрицательным.
Во-первых, мы должны определить наше значение k (показатель ближайшей степени β больше n , а также количество цифр в, где является п записано в базовом р ). Значение k для n и β можно записать как:
После того, как значение k найдено,можно записать как d , где
для k - 1 ≥ j > −∞ . Первые k значений d появляются слева от десятичной точки.
Это также можно записать в следующем псевдокоде:
функция toBase ( n , b ) { k = floor ( log ( b , n )) + 1 precision = 8 result = ""for ( i = k - 1 , i > - precision - 1 , i - ) { if ( result . length == k ) result + = "."цифра = этаж (( n / b ^ i ) mod b ) n - = цифра * b ^ i результат + = цифра }вернуть результат }
Обратите внимание, что приведенный выше код действителен только для а также , так как он не преобразует каждую цифру в их правильные символы или правильные отрицательные числа. Например, если значение цифры10 он будет представлен как10 вместо А .
Пример кода реализации
К основанию π
- Javascript: [1]
функция toBasePI ( число , точность = 8 ) { пусть k = Math . этаж ( Math . log ( num ) / Math . log ( Math . PI )) + 1 ; если ( k < 0 ) k = 0 ; пусть цифры = []; for ( let i = k - 1 ; i > ( - 1 * precision ) - 1 ; i - ) { let digit = Math . этаж (( число / Math . pow ( Math . PI , i )) % Math . PI ); число - = цифра * Математ . pow ( Math . PI , i ); цифры . нажать ( цифра ); если ( число <= 0 ) перерыв ; } если ( цифр . длина > k ) цифр . splice ( k , 0 , "." ); вернуть цифры . присоединиться ( "" ); }
По основанию π
- Javascript: [1]
function fromBasePI ( num ) { пусть numberSplit = num . сплит ( /\./g ); пусть numberLength = numberSplit [ 0 ]. длина ; пусть output = 0 ; пусть цифры = numberSplit . присоединиться ( "" ); for ( let i = 0 ; i < digits . length ; i ++ ) { output + = digits [ i ] * Math . pow ( Math . PI , numberLength - i - 1 ); } возвратный вывод ; }
Примеры
База √ 2
База √ 2 ведет себя очень похоже на основание 2, поскольку все, что нужно сделать для преобразования числа из двоичного в основание √ 2, - это поставить нулевую цифру между каждой двоичной цифрой; например, 1911 10 = 11101110111 2 становится 101010001010100010101 √ 2, а 5118 10 = 1001111111110 2 становится 1000001010101010101010100 √ 2 . Это означает, что каждое целое число может быть выражено с основанием √ 2 без десятичной точки. Основание также может быть использовано , чтобы показать соотношение между стороной о наличии квадрата к его диагонали , как квадрат с длиной стороны 1 √ 2 будет иметь диагональ 10 √ 2 и квадрат с длиной стороны 10 √ 2 воли имеют диагональ 100 √ 2 . Другое использование основания - показать соотношение серебра, поскольку его представление в базе √ 2 просто 11 √ 2 . Кроме того, площадь правильного восьмиугольника со стороной 1 √ 2 равна 1100 √ 2 , площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны 10 √ 2 равна 110000 √ 2 , площадь правильного восьмиугольника со стороной 100 √ 2 равна 11000000 √ 2 и т. Д.
Золотая база
В золотом основании некоторые числа имеют более одного эквивалента десятичного основания: они неоднозначны . Например: 11 φ = 100 φ .
База ψ
Также есть числа в базе ψ, которые тоже неоднозначны. Например, 101 ψ = 1000 ψ .
База е
С основанием е с натуральным логарифмом ведет себя подобно общего логарифм как Ln (1 е ) = 0, п (10 х ) = 1, п (100 х ) = 2 и п (1000 е ) = 3.
Основание e является наиболее экономичным выбором системы счисления β> 1 ( Hayes, 2001 ), где экономия системы счисления измеряется как произведение системы счисления и длины строки символов, необходимых для выражения заданного диапазона значений.
База π
Основание π может быть использована для более легко показать зависимость между диаметром от более круга к его окружности , что соответствует его периметру ; так как окружность = диаметр × π, круг с диаметром 1 π будет иметь длину окружности 10 π , круг с диаметром 10 π будет иметь длину окружности 100 π и т. д. Кроме того, поскольку площадь = π × радиус 2 , круг с радиусом 1 π будет иметь площадь 10 π , круг с радиусом 10 π будет иметь площадь 1000 π, а круг с радиусом 100 π будет иметь площадь 100000 π . [2]
Характеристики
Ни в какой позиционной системе счисления каждое число не может быть однозначно выражено. Например, в базе десять, число 1 имеет два представления: 1.000 ... и 0,999 ... . Множество чисел с двумя различными представлениями плотно в вещественных числах ( Петковшек, 1990 ), но вопрос классификации действительных чисел с помощью уникальных β-разложений значительно более тонкий, чем вопрос о целочисленных основаниях ( Глендиннинг и Сидоров 2001 ).
Другая проблема - классифицировать действительные числа, β-разложения которых периодичны. Пусть β> 1 и Q (β) наименьшее поле рациональных чисел, содержащих β. Тогда любое действительное число из [0,1), имеющее периодическое β-разложение, должно лежать в Q (β). С другой стороны, обратное не обязательно. Обратное верно, если β - число Пизо ( Schmidt 1980 ), хотя необходимые и достаточные условия не известны.
Смотрите также
- Бета-кодировщик
- Нестандартные позиционные системы счисления
- Десятичное разложение
- Силовая серия
- Нумерация Островского
Рекомендации
- ^ а б в https://decimalsystem.js.org
- ^ "Странные базы чисел" . DataGenetics . Проверено 1 февраля 2018 .
- Bugeaud, Yann (2012), Распределение по модулю один и диофантово приближение , Cambridge Tracts in Mathematics, 193 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-11169-0, Zbl 1260,11001
- Бурдик, Ч .; Frougny, Ch .; Газо, JP; Krejcar, R. (1998), "Бета-целые числа как естественные системы подсчета для квазикристаллов", Journal of Physics A: Mathematical and General , 31 (30): 6449–6472, Bibcode : 1998JPhA ... 31.6449B , CiteSeerX 10.1. 1.30.5106 , DOI : 10,1088 / 0305-4470 / 31/30/011 , ISSN 0305-4470 , МР 1644115.
- Фруни, Кристиана (1992), «Как писать целые числа в нецелочисленной базе» , LATIN '92 , Lecture Notes in Computer Science, 583/1992, Springer Berlin / Heidelberg, стр. 154–164, doi : 10.1007 / BFb0023826 , ISBN 978-3-540-55284-0, ISSN 0302-9743.
- Глендиннинг, Пол ; Сидоров, Н. (2001), "Уникальные представления действительных чисел в нецелых основаниях" , Математический Research Letters , 8 (4): 535-543, DOI : 10,4310 / mrl.2001.v8.n4.a12 , ISSN 1073 2780 , Руководство по ремонту 1851269.
- Hayes, Брайан (2001), "Третья база" , американский ученый , 89 (6): 490-494, DOI : 10,1511 / 2001.40.3268 , архивируются с оригинала на 2016-03-24.
- Каутц, Уильям Х. (1965), «Коды Фибоначчи для управления синхронизацией», Институт инженеров по электротехнике и электронике. Сделки по теории информации , ИТ-11 (2): 284-292, DOI : 10,1109 / TIT.1965.1053772 , ISSN 0018-9448 , МР 0191744.
- Парри, В. (1960), «О β-разложениях действительных чисел», Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 11 (3–4): 401–416, doi : 10.1007 / bf02020954 , hdl : 10338.dmlcz / 120535 , ISSN 0001-5954 , MR 0142719 , S2CID 116417864.
- Petkovšek, Марко (1990), "Неоднозначные числа плотны", Американский Математический Ежемесячный , 97 (5): 408-411, DOI : 10,2307 / 2324393 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2324393 , МР 1048915.
- Реньи, Alfréd (1957), "Представления для действительных чисел и их эргодических свойств", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 8 (3-4): 477-493, DOI : 10.1007 / BF02020331 , ЛВП : 10338.dmlcz / 102491 , ISSN 0001-5954 , Руководство 0097374 , S2CID 122635654.
- Шмидт, Клаус (1980), «О периодических разложениях чисел Пизо и чисел Салема», Бюллетень Лондонского математического общества , 12 (4): 269–278, doi : 10.1112 / blms / 12.4.269 , hdl : 10338. dmlcz / 141479 , ISSN 0024-6093 , MR 0576976.
- Терстон, WP (1989), "Группы, мозаики и конечные автоматы", Лекции коллоквиума AMS
дальнейшее чтение
- Сидоров, Никита (2003), «Арифметическая динамика», Безуглый, Сергей; Коляда, Сергей (ред.), Вопросы динамики и эргодической теории. Обзорные статьи и мини-курсы, представленные на международной конференции и американо-украинском семинаре по динамическим системам и эргодической теории, Кацивели, Украина, 21–30 августа 2000 г. , Лондон. Математика. Soc. Лект. Note Ser., 310 , Cambridge: Cambridge University Press , стр. 145–189, ISBN. 978-0-521-53365-2, Zbl 1051,37007
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «База» . MathWorld .