Соотношение серебра

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Silver ratio»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Серебряный прямоугольник

Список номеров Иррациональные числа ζ (3) √ 2 √ 3 √ 5 φ е π
Двоичный	10.0110 1010 0000 1001 1110 …
Десятичный	2,41421 35623 73095 0488…
Шестнадцатеричный	2.6A09 E667 F3BC C908 B2F…
Непрерывная дробь	${\ displaystyle \ textstyle 2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {\ ddots}}}}}}} }}$
Алгебраическая форма	1 + √ 2

Соотношение серебра в восьмиугольнике

В математике две величины находятся в соотношении серебра (или среднем серебре ) ^{[1] [2],} если отношение меньшего из этих двух величин к большему количеству такое же, как отношение большего количества к сумме меньшее количество и вдвое большее количество (см. ниже). Это определяет соотношение серебра как иррациональную математическую константу , значение которой плюс квадратный корень из 2 составляет приблизительно 2,4142135623. Его название - намек на золотое сечение ; аналогично тому, как золотое сечение является предельным соотношением последовательных чисел Фибоначчи., соотношение серебра является предельным соотношением последовательных чисел Пелла . Отношение серебра обозначается б _S .

Математики изучали соотношение серебра со времен греков (хотя, возможно, не давая специального названия до недавнего времени) из-за его связи с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами , числами Пелла , восьмиугольниками и т. Д.

Описанное выше отношение можно выразить алгебраически:

${\ displaystyle {\ frac {2a + b} {a}} = {\ frac {a} {b}} \ Equiv \ delta _ {S}}$

или эквивалентно,

${\ displaystyle 2 + {\ frac {b} {a}} = {\ frac {a} {b}} \ Equiv \ delta _ {S}}$

Доля серебра также может быть определена простой непрерывной дробью [2; 2, 2, 2, ...]:

${\ displaystyle 2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2+ \ ddots}}}}}} = \ delta _ {S}}$

В дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, ...) являются отношениями последовательных чисел Пелла. Эти дроби обеспечивают точные рациональные приближения серебряного сечения, аналогичные приближению золотого сечения соотношениями последовательных чисел Фибоначчи.

Серебряный прямоугольник соединен с правильным восьмиугольником . Если правильный восьмиугольник разделен на две равнобедренные трапеции и прямоугольник, то прямоугольник представляет собой серебряный прямоугольник с соотношением сторон 1: δ _S , а 4 стороны трапеций находятся в соотношении 1: 1: 1: δ. _S . Если длина ребра правильного восьмиугольника равна t , то размах восьмиугольника (расстояние между противоположными сторонами) равен δ _S t , а площадь восьмиугольника равна 2 δ _S t ² . ^[3]

Расчет [ править ]

Для сравнения, две величины a , b с a  >  b  > 0 считаются находящимися в золотом сечении φ, если,

${\ displaystyle {\ frac {a + b} {a}} = {\ frac {a} {b}} = \ varphi}$

Однако они находятся в соотношении серебра δ _S, если,

${\ displaystyle {\ frac {2a + b} {a}} = {\ frac {a} {b}} = \ delta _ {S}.}$

Эквивалентно,

${\ displaystyle 2 + {\ frac {b} {a}} = {\ frac {a} {b}} = \ delta _ {S}}$

Следовательно,

${\ displaystyle 2 + {\ frac {1} {\ delta _ {S}}} = \ delta _ {S}.}$

Умножение на δ _S и перестановка дает

${\ displaystyle {\ delta _ {S}} ^ {2} -2 \ delta _ {S} -1 = 0.}$

Используя формулу корней квадратного уравнения, можно получить два решения. Поскольку δ _S - это отношение положительных величин, оно обязательно положительно, поэтому

${\ displaystyle \ delta _ {S} = 1 + {\ sqrt {2}} = 2,41421356237 \ dots}$

Свойства [ править ]

Теоретико-числовые свойства [ править ]

Соотношение серебра - это число Писо – Виджаярагхавана ( число PV), так как его сопряженное 1 - √ 2 =−1/δ _S≈ −0,41 имеет абсолютное значение меньше 1. Фактически это второе наименьшее квадратичное число PV после золотого сечения. Это означает, что расстояние от δ ^п
_S к ближайшему целому числу 1/δ ^п
_S≈ 0,41 ^п . Таким образом, последовательность дробных частей от б ^п
_S, n = 1, 2, 3, ... (взятые как элементы тора) сходится. В частности, эта последовательность не является равнораспределенной по модулю 1 .

Полномочия [ править ]

Младшие степени отношения серебра равны

${\ displaystyle \ delta _ {S} ^ {- 1} = 1 \ delta _ {S} -2 = [0; 2,2,2,2,2, \ точки] \ приблизительно 0,41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{0}=0\delta _{S}+1=[1]=1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{1}=1\delta _{S}+0=[2;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 2.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1=[5;1,4,1,4,1,\dots ]\approx 5.82842}$

${\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2=[14;14,14,14,\dots ]\approx 14.07107}$

${\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\approx 33.97056}$

Силы продолжаются по шаблону

${\displaystyle \delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{n-1}}$

куда

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

Например, используя это свойство:

${\displaystyle \delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12=[82;82,82,82,\dots ]\approx 82.01219}$

Используя K ₀ = 1 и K ₁ = 2 в качестве начальных условий, формула Бине получается в результате решения рекуррентного соотношения

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

который становится

${\displaystyle K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1}\right)}$

Тригонометрические свойства [ править ]

Соотношение серебра тесно связано с тригонометрическими отношениями для π/8= 22,5 ° .

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}={\frac {\sqrt {1-1/\delta _{s}}}{2}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}={\frac {\sqrt {1+\delta _{s}}}{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1={\frac {1}{\delta _{s}}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\tan {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1=\delta _{s}}$

Таким образом, площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны a определяется выражением

${\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4.828427a^{2}.}$

Размеры бумаги и серебряные прямоугольники [ править ]

Прямоугольник, соотношение сторон которого соответствует соотношению сторон серебра (1: √ 2 , приблизительно 1: 1,4142135 в десятичной системе), иногда называют серебряным прямоугольником по аналогии с золотыми прямоугольниками . В размерах бумаги в соответствии с ISO 216 являются такими прямоугольниками. Прямоугольники 1: √ 2 (прямоугольники с формой бумаги ISO 216) обладают тем свойством, что при разрезании прямоугольника пополам по его длинной стороне получаются два меньших прямоугольника с таким же соотношением сторон.

Удаление максимально возможного квадрата из такого прямоугольника оставляет прямоугольник с пропорциями 1: ( √ 2 - 1), что совпадает с (1 + √ 2 ): 1 , соотношением серебра. Удаление самого большого квадрата из полученного прямоугольника снова оставляет квадрат с соотношением сторон 1: √ 2 . ^[4] Удаление максимально возможного квадрата из любого вида серебряного прямоугольника дает серебряный прямоугольник другого типа, а затем повторение процесса еще раз дает прямоугольник исходной формы, но меньший линейный коэффициент 1 + √ 2 . ^[3]

См. Также [ править ]

• Металлические средства
• Мозаика Амманна – Бенкера

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Буитраго, Антония Редондо (2008). «Полигоны, диагонали и среднее значение бронзы», Nexus Network Journal 9,2: Архитектура и математика , стр. 321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993 . 

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Серебряное сечение» . MathWorld .
• « Введение в непрерывные дроби: серебряные средства », числа Фибоначчи и золотое сечение .
• " Серебряный прямоугольник и его последовательность " в Тартапелаге Джорджо Пьетрокола