Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Кеплер треугольник представляет собой прямоугольный треугольник , образованный тремя квадратами с участками в геометрической прогрессии в соответствии с золотым сечением .

Кеплер треугольник является прямоугольный треугольник с длинами ребер в геометрической прогрессии . Соотношение прогрессии равно √ 𝜙 , где 𝜙 - золотое сечение , [a] и может быть записано:, или приблизительно 1: 1,272: 1,618 . [1] Квадраты ребер этого треугольника также находятся в геометрической прогрессии согласно самому золотому сечению.

Треугольники с таким соотношением названы в честь немецкого математика и астронома Иоганна Кеплера (1571–1630), который впервые продемонстрировал, что этот треугольник характеризуется соотношением его короткой стороны и гипотенузы, равным золотому сечению. [2] Треугольники Кеплера объединяют два ключевых математических понятия - теорему Пифагора и золотое сечение - которые глубоко очаровали Кеплера, как он выразился:

У геометрии есть два великих сокровища: одно - это теорема Пифагора, другое - деление прямой на крайнее и среднее отношение. Первое мы можем сравнить с массой золота, второе - с драгоценным камнем. [3]

Некоторые источники утверждают , что треугольник с размерами близко аппроксимирующих треугольник Kepler может быть признан в Великой пирамиды в Гизе , [4] [5] делает его золотой пирамиды .

Вывод [ править ]

Тот факт , что треугольник с ребрами , и , образует прямоугольный треугольник непосредственно следует из переписывания , определяющего квадратичный полином для золотого сечения :

в виде теоремы Пифагора :

Отношение к среднему арифметическому, геометрическому и гармоническому [ править ]

Для положительных вещественных чисел и Ь , их среднее арифметическое , среднее геометрическое и средним гармоническим являются длины сторон прямоугольного треугольника , если и только если этот треугольник является треугольником Kepler. [6]

Построение треугольника Кеплера [ править ]

Метод построения треугольника Кеплера через золотой прямоугольник

Треугольник Кеплера можно построить только с помощью линейки и циркуля , сначала создав золотой прямоугольник :

  1. Постройте единичный квадрат
  2. Проведите линию от середины одной стороны квадрата до противоположного угла.
  3. Используйте эту линию как радиус, чтобы нарисовать дугу, определяющую высоту прямоугольника.
  4. Завершите золотой прямоугольник
  5. Используйте более длинную сторону золотого прямоугольника, чтобы нарисовать дугу, которая пересекает противоположную сторону прямоугольника и определяет гипотенузу треугольника Кеплера.

Кеплер построил это иначе. В письме своему бывшему профессору Майклу Местлину он писал: «Если на линии, которая разделена в крайнем и среднем соотношении, построить прямоугольный треугольник, такой, что прямой угол находится на перпендикуляре, помещенном в точку сечения, тогда меньшая нога будет равна большему сегменту разделенной линии ". [2]

Математическое совпадение [ править ]

Круг и квадрат имеют примерно одинаковый периметр.

В треугольнике Кеплера со сторонами рассмотрим:

  • круг, который его ограничивает, и
  • квадрат со стороной, равной среднему краю треугольника.

Тогда периметры квадрата ( ) и круга ( ) совпадают с погрешностью менее 0,1%.

Это математическое совпадение . Квадрат и круг не могут иметь точно такой же периметр, потому что в этом случае можно было бы решить классическую (невозможную) задачу о квадратуре круга . Другими словами, потому что это трансцендентное число .

Согласно некоторым источникам, треугольники Кеплера фигурируют в конструкции египетских пирамид. Диагональ пола Камеры Царя плюс ширина камеры, разделенная на длину камеры, очень близка к золотому сечению. [5] [7] Однако, по мнению различных ученых, исследовавших эту взаимосвязь, древние египтяне, вероятно, не знали математического совпадения, включающего число и золотое сечение . [8]

См. Также [ править ]

  • Золотой треугольник
  • Специальные прямоугольные треугольники

Ссылки [ править ]

Сноски

  1. ^

Цитаты

  1. ↑ Роджер Герц-Фишлер (2000). Форма Великой пирамиды . Издательство Университета Уилфрида Лорье . п. 81. ISBN 0-88920-324-5.
  2. ^ a b Ливио, Марио (2002). Золотое сечение: история самого удивительного числа в мире Фи . Нью-Йорк: Бродвейские книги . п. 149 . ISBN 0-7679-0815-5.
  3. ^ Карл Финк; Вустер Вудрафф Беман; Дэвид Юджин Смит (1903). Краткая история математики: авторизованный перевод Geschichte der Elementar-Mathematik доктора Карла Финка (2-е изд.). Чикаго: Open Court Publishing Co., стр. 223 .
  4. ^ The Best of Astraea: 17 статей по науке, истории и философии . Веб-радио Astrea. 2006. с. 93. ISBN 1-4259-7040-0.
  5. ^ a b В квадрате круга, Пол Калтер
  6. ↑ Ди Доменико, Анджело, «Золотое сечение - прямоугольный треугольник - арифметические, геометрические и гармонические средства», The Mathematical Gazette 89, 2005.
  7. ^ Великая пирамида, Великий Discovery и Великое Совпадение , Марк Herkommer, 24 июня 2008 (вебархив)
  8. ^ Марковский, Джордж (январь 1992). «Заблуждения о золотом сечении» (PDF) . Журнал математики колледжа . Математическая ассоциация Америки . 23 (1): 2–19. DOI : 10.2307 / 2686193 . JSTOR 2686193 . Не похоже, чтобы египтяне знали о существовании φ, не говоря уже о том, чтобы включать его в свои постройки.  

Внешние ссылки [ править ]