Золотой прямоугольник

Золотой прямоугольник со сторонами a b, расположенный рядом с квадратом со сторонами длиной a, дает аналогичный золотой прямоугольник.

В геометрии , А золотой прямоугольник представляет собой прямоугольник , на чьей стороне длина в золотой пропорции , , что (греческая буква фи ), где приблизительно 1,618. ${\ displaystyle 1: {\ tfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$ ${\ displaystyle 1: \ varphi}$ $\varphi$

Золотые прямоугольники демонстрируют особую форму самоподобия : все прямоугольники, созданные путем добавления или удаления квадрата, также являются золотыми прямоугольниками.

Метод построения золотого прямоугольника. Согласно теореме Пифагора , ^[a] диагональ, разделяющая половину квадрата, равна радиусу круга, крайняя точка которого также является углом золотого прямоугольника, добавленного к квадрату. ^[1]

Строительство [ править ]

Золотой прямоугольник можно построить только с помощью линейки и циркуля за четыре простых шага:

Нарисуйте простой квадрат.
Проведите линию от середины одной стороны квадрата до противоположного угла.
Используйте эту линию в качестве радиуса, чтобы нарисовать дугу, определяющую высоту прямоугольника.
Завершите золотой прямоугольник.

Отличительной особенностью этой формы является то, что при добавлении или удалении квадратной секции продукт представляет собой еще один золотой прямоугольник с тем же соотношением сторон, что и первый. Добавление или удаление квадратов может повторяться бесконечно, и в этом случае соответствующие углы квадратов образуют бесконечную последовательность точек на золотой спирали , уникальной логарифмической спирали с этим свойством. Диагональные линии, проведенные между первыми двумя порядками встроенных золотых прямоугольников, будут определять точку пересечения диагоналей всех встроенных золотых прямоугольников; Клиффорд А. Пиковер называл эту точку «Глазом Бога». ^[2]

История [ править ]

Пропорции золотого прямоугольника наблюдались еще в Вавилонской Скрижали Шамаша (ок. 888–855 до н.э.) ^[3]^[4], хотя Марио Ливио называет любое знание золотого сечения до древних греков «сомнительным». ^[5]

По словам Ливио, с момента публикации в 1509 году « пропорции божественности » Луки Пачоли «золотое сечение стало доступным для художников в теоретических трактатах, которые не были слишком математическими, которые они могли фактически использовать». ^[6]

Вилла Штайн 1927 года, спроектированная Ле Корбюзье , в архитектуре некоторых зданий использовано золотое сечение , имеет размеры, близкие к золотым прямоугольникам. ^[7]

Связь с правильными многоугольниками и многогранниками [ править ]

Евклид предлагает альтернативную конструкцию золотого прямоугольника, используя три многоугольника, описанные конгруэнтными кругами: правильный десятиугольник , шестиугольник и пятиугольник . Соответствующие длины a , b и c сторон этих трех многоугольников удовлетворяют уравнению a ² + b ² = c ² , поэтому отрезки прямых с такими длинами образуют прямоугольный треугольник (согласно обратной теореме Пифагора). Отношение длины стороны шестиугольника к десятиугольнику - это золотое сечение, поэтому этот треугольник образует половину золотого прямоугольника. ^[8]

Три золотых прямоугольника в икосаэдре

Выпуклая оболочка два противоположных краев регулярного икосаэдра образует золотой прямоугольник. Таким образом, двенадцать вершин икосаэдра можно разложить на три взаимно перпендикулярных золотых прямоугольника, границы которых соединены узором из колец Борромео . ^[9]

См. Также [ править ]

Числа Фибоначчи
Золотое сечение
Золотой ромб
Треугольник Кеплера
Леонардо Пизанский
Рабатмент прямоугольника
Соотношение серебра
Пластиковый номер

Примечания [ править ]

^ ${\tfrac {1}{2}}^{2}+1^{2}={\tfrac {5}{2^{2}}}$

Ссылки [ править ]

^ Posamentier, Альфред С .; Леманн, Ингмар (2011). Великолепное золотое сечение . Книги Прометея . п. 11 . ISBN 9-781-61614-424-1.
^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история самого удивительного числа в мире Фи . Нью-Йорк: Бродвейские книги . п. 85 . ISBN 0-7679-0816-3.
^ Olsen, Скотт (2006). Золотое сечение: величайший секрет природы . Гластонбери: Деревянные книги. п. 3 . ISBN 978-1-904263-47-0.
^ Ван Мерсберген, Одри М., Риторические прототипы в архитектуре: измерение Акрополя с помощью философской полемики , Ежеквартальное общение , Vol. 46, 1998 («Золотой прямоугольник имеет отношение длин сторон, равное 1: 1.61803+. Парфенон имеет эти размеры»).
↑ Ливио, Марио . «Золотое сечение в искусстве: в значительной степени опирается на золотое сечение» (PDF) . п. 6 . Проверено 11 сентября 2019 года .
^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история самого удивительного числа в мире Фи . Нью-Йорк: Бродвейские книги . п. 136 . ISBN 0-7679-0816-3.
↑ Ле Корбюзье, Модулор , стр. 35, цитируется по: Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 320. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-419-22780-6 : «И в картинах, и в архитектурных проектах используется золотое сечение».
^ Евклид,Элементы , Книга XIII, Предложение 10.
^ Бургер, Эдвард Б.; Starbird, Майкл П. (2005). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению . Springer. п. 382. ISBN. 9781931914413{{противоречивые цитаты}}.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме золотого прямоугольника .

Вайсштейн, Эрик В. «Золотой прямоугольник» . MathWorld .
Вайстейн, Эрик В. «Золотое сечение» . MathWorld .
Золотое сечение и физика эстетики
Демонстрация золотого прямоугольника с интерактивной анимацией
От золотого прямоугольника к золотым четырехугольникам Исследуем различные возможные золотые четырехугольники.

[1] ${\tfrac {1}{2}}^{2}+1^{2}={\tfrac {5}{2^{2}}}$

[2] Posamentier, Альфред С .; Леманн, Ингмар (2011). Великолепное золотое сечение . Книги Прометея . п. 11 . ISBN 9-781-61614-424-1.

[3] Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история самого удивительного числа в мире Фи . Нью-Йорк: Бродвейские книги . п. 85 . ISBN 0-7679-0816-3.

[4] Olsen, Скотт (2006). Золотое сечение: величайший секрет природы . Гластонбери: Деревянные книги. п. 3 . ISBN 978-1-904263-47-0.

[5] Ван Мерсберген, Одри М., Риторические прототипы в архитектуре: измерение Акрополя с помощью философской полемики , Ежеквартальное общение , Vol. 46, 1998 («Золотой прямоугольник имеет отношение длин сторон, равное 1: 1.61803+. Парфенон имеет эти размеры»).

[6] Ливио, Марио . «Золотое сечение в искусстве: в значительной степени опирается на золотое сечение» (PDF) . п. 6 . Проверено 11 сентября 2019 года .

[livio-7] Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история самого удивительного числа в мире Фи . Нью-Йорк: Бродвейские книги . п. 136 . ISBN 0-7679-0816-3.

[8] Ле Корбюзье, Модулор , стр. 35, цитируется по: Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 320. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-419-22780-6 : «И в картинах, и в архитектурных проектах используется золотое сечение».

[9] Евклид,Элементы , Книга XIII, Предложение 10.

[10] Бургер, Эдвард Б.; Starbird, Майкл П. (2005). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению . Springer. п. 382. ISBN. 9781931914413{{противоречивые цитаты}}.

[a]