Корень квадратный из 5

Список номеров Иррациональные числа ζ (3) √ 2 √ 3 √ 5 φ е π
Двоичный	10.0011 1100 0110 1110 …
Десятичная дробь	2,23606 79774 99789 69…
Шестнадцатеричный	2.3C6E F372 FE94 F82C …
Непрерывная дробь	${\ displaystyle 2 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4+ \ ddots}}}}}}} }}$

Квадратный корень из 5 является положительным вещественным числом , что при умножении на себя, дает простое число 5 . Его более точно называют главным квадратным корнем из 5 , чтобы отличить его от отрицательного числа с таким же свойством. Это число появляется в дробном выражении золотого сечения . В форме сурда это можно обозначить как:

${\ Displaystyle {\ sqrt {5}}. \,}$

Это иррациональное алгебраическое число . ^[1] Первые шестьдесят значащих цифр десятичного разложения :

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089… (последовательность A002163 в OEIS ).

которое можно округлить до 2,236 с точностью 99,99%. Приближение161/72(≈ 2,23611) можно использовать квадратный корень из пяти. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 72, он отличается от правильного значения менее чем на1/10 000 (прибл. 4,3 × 10 ⁻⁵ ). По состоянию на ноябрь 2019 года его числовое значение в десятичном формате составляло не менее 2000000000000 цифр. ^[2]

Доказательства иррациональности [ править ]

1 . Это доказательство иррациональности квадратного корня из 5 использует метод бесконечного спуска Ферма :

Предположим, что √ 5 рационально, и выразим его в наименьших возможных терминах (т. Е. Как полностью уменьшенная дробь ) какм/пдля натуральных чисел m и n . Тогда √ 5 может быть выражено более низкими терминами как5 н - 2 м/м - 2 н, противоречие. ^[3] (Два дробных выражения равны, потому что приравнивание их, перекрестное умножение и сокращение, как аддитивные, дает 5 n ² = m ² им/п= √ 5 , что верно по посылке. Второе дробное выражение для √ 5 выражается в младших членах, поскольку при сравнении знаменателей m - 2 n < n, поскольку m <3 n, посколькум/п<3, поскольку √ 5 <3 . И числитель, и знаменатель второго дробного выражения положительны, поскольку 2 < √ 5 <5/2 и м/п= √ 5. )

2 . Это доказательство иррациональности также является доказательством от противного :

Предположим, что √ 5 =а/б где а/б находится в сокращенном виде.

Таким образом, 5 =а ²/б ²и 5 b ² = a ² . Если бы b было четным, то b ² , a ² и a даже составляли бы дробьа/б не в сокращенном виде. Таким образом, b нечетно, и, следуя аналогичной процедуре, a нечетно.

Теперь пусть a = 2 m + 1 и b = 2 n + 1, где m и n - целые числа.

Подставляя в 5 b ² = a ^2, получаем:

${\ Displaystyle 5 (2n + 1) ^ {2} = (2m + 1) ^ {2}}$

что упрощает:

${\ displaystyle 5 \ left (4n ^ {2} + 4n + 1 \ right) = 4m ^ {2} + 4m + 1}$

изготовление:

${\ displaystyle 20n ^ {2} + 20n + 5 = 4m ^ {2} + 4m + 1}$

Вычитая 1 из обеих частей, получаем:

${\ displaystyle 20n ^ {2} + 20n + 4 = 4m ^ {2} + 4m}$

что сводится к:

${\ displaystyle 5n ^ {2} + 5n + 1 = m ^ {2} + m}$

Другими словами:

${\ Displaystyle 5n (п + 1) + 1 = м (м + 1)}$

Выражение x ( x + 1) является четным для любого целого числа x (поскольку либо x, либо x + 1 четно). Это говорит о том, что 5 × чет + 1 = чет или нечет = чет . Поскольку не существует одновременно четного и нечетного целого, мы пришли к противоречию и √ 5 иррационально.

Непрерывная дробь [ править ]

Его можно выразить в виде непрерывной дроби

${\ displaystyle [2; 4,4,4,4,4, \ ldots] = 2 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4 + {\ cfrac {1} {4+ { \ cfrac {1} {4+ \ dots}}}}}}}}.}$(последовательность A040002 в OEIS )

Подходящие и полуконвергентные этой непрерывной дроби следующие (черные члены - полуконвергенции):

${\displaystyle {\color {red}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {red}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {red}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {red}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {red}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {red}{\frac {2889}{1292}}},\dots }$

Подходящие дроби непрерывной дроби окрашены в красный цвет ; их числители - 2, 9, 38, 161, ... (последовательность A001077 в OEIS ), а их знаменатели - 1, 4, 17, 72, ... (последовательность A001076 в OEIS ).

Каждый из них является наилучшим рациональным приближением из √ 5 ; другими словами, оно ближе к √ 5, чем любое рациональное число с меньшим знаменателем.

Вавилонский метод [ править ]

Когда √ 5 вычисляется вавилонским методом , начиная с r ₀ = 2 и используя r _{n +1} =1/2( г _н +5/r _n) , То п - й аппроксимант г _п равно2 ^н й сходящейся последовательности сходящейся:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {9}{4}}=2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots }$

Вложенные квадратные расширения [ править ]

Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к :${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=3-10\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {9}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {9}{4}}-5\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Связь с золотым сечением и числами Фибоначчи [ править ]

Золотое отношение φ является средним арифметическим из 1 и √ 5 . ^[4] алгебраическое соотношение между √ 5 , золотое сечение и конъюгат золотой пропорции ( Φ =–1/φ= 1 - φ ) выражается следующими формулами:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -\Phi =2\varphi -1=1-2\Phi \\[5pt]\varphi &={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\\[5pt]\Phi &={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{aligned}}}$

(См. Раздел ниже для их геометрической интерпретации как разложения прямоугольника √ 5. )

Тогда √ 5 естественным образом фигурирует в закрытом выражении для чисел Фибоначчи , формуле, которая обычно записывается в терминах золотого сечения:

${\displaystyle F(n)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}.}$

Фактор √ 5 и ф (или продукт √ 5 и Φ ), а его обратная, представляют собой интересный образец непрерывных дробей и связаны с отношениями между числами Фибоначчи и числами Люка : ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}&=1.3819660112501051518\dots \\&=[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[5pt]{\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}&=0.72360679774997896964\ldots \\&=[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\ldots ].\end{aligned}}}$

Ряды подходящих к этим значениям представляют собой ряды чисел Фибоначчи и ряды чисел Люка в качестве числителей и знаменателей и наоборот, соответственно:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\ldots \ldots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[8pt]&{1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].\end{aligned}}}$

Геометрия [ править ]

Геометрически , √ 5 соответствует диагонали из прямоугольника , стороны которого имеют длину 1 и 2 , как это видно из теоремы Пифагора . Такой прямоугольник можно получить, разделив квадрат пополам или разместив рядом два равных квадрата. Вместе с алгебраическим соотношением между √ 5 и φ это формирует основу для геометрического построения золотого прямоугольника из квадрата, а также для построения правильного пятиугольника с учетом его стороны (поскольку соотношение сторон к диагонали в правильном пятиугольникφ ).

Образуя двугранный прямой угол с двумя равными квадратами, которые делят пополам прямоугольник 1: 2, можно увидеть, что √ 5 также соответствует отношению между длиной ребра куба и кратчайшим расстоянием от одной из его вершин до противоположной. , при прохождении поверхности куба (кратчайшее расстояние при прохождении через внутреннюю часть куба соответствует длине диагонали куба, которая является квадратным корнем из трехкратного числа ребер). ^{[ необходима цитата ]}

Число √ 5 может быть алгебраически и геометрически связано с √ 2 и √ 3 , так как это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами размером √ 2 и √ 3 (опять же, теорема Пифагора доказывает это). Прямоугольные треугольники таких пропорций можно найти внутри куба: стороны любого треугольника, определяемые центральной точкой куба, одной из его вершин и средней точкой стороны, расположенной на одной из граней, содержащих эту вершину, и противоположных ей. , находятся в соотношении √ 2 : √ 3 :√ 5 . Это следует из геометрических соотношений между кубом и величинами √ 2 (отношение ребер к диагонали или расстояние между противоположными ребрами), √ 3 (отношение ребер к диагонали куба) и √ 5 (отношение просто упомянутый выше).

Прямоугольник с пропорциями сторон 1: √ 5 называется прямоугольником из пяти корней и является частью серии корневых прямоугольников, подмножества динамических прямоугольников , основанных на √ 1 (= 1), √ 2 , √ 3 , √ 4 (= 2), √ 5 … и последовательно построенные по диагонали предыдущего корневого прямоугольника, начиная с квадрата. ^[6] Прямоугольник корня 5 особенно примечателен тем, что его можно разделить на квадрат и два равных золотых прямоугольника (размером Φ × 1), либо на два золотых прямоугольника разного размера (размерности Φ × 1 и 1 × φ ). ^[7] Его также можно разложить как объединение двух равных золотых прямоугольников (размерности 1 × φ ), пересечение которых образует квадрат. Все это можно рассматривать как геометрическую интерпретацию алгебраических соотношений между √ 5 , φ и Φ, упомянутых выше. Прямоугольник корень 5 может быть построен из прямоугольника 1: 2 (прямоугольник корень 4) или непосредственно из квадрата аналогично тому, как это сделано для золотого прямоугольника, показанного на иллюстрации, но продолжая дугу длины√ 5/2 в обе стороны.

Тригонометрия [ править ]

Подобно √ 2 и √ 3 , квадратный корень из 5 широко используется в формулах для точных тригонометрических констант , в том числе в синусах и косинусах каждого угла, величина которого в градусах делится на 3, но не на 15. ^[8] Самый простой из них. это

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1}},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, вычисление его значения важно для создания тригонометрических таблиц . ^{[ необходимая цитата ]} Поскольку √ 5 геометрически связано с полуквадратными прямоугольниками и пятиугольниками, оно также часто появляется в формулах для геометрических свойств фигур, полученных из них, например, в формуле для объема додекаэдра . ^{[ необходима цитата ]}

Диофантовы приближения [ править ]

Теорема Гурвица в диофантовых приближениях утверждает, что каждое иррациональное число x может быть аппроксимировано бесконечным числом рациональных чисел. м/пв самые низкие сроки таким образом, чтобы

${\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}$

и что √ 5 является наилучшим возможным в том смысле, что для любой постоянной, большей, чем √ 5 , существуют некоторые иррациональные числа x, для которых существует только конечное число таких приближений. ^[9]

С этим тесно связана теорема ^[10] о любых трех последовательных подходящих дробях п _я/q _я, п _{я +1}/д _{я +1}, p _{i +2}/д _{я +2}, числа α выполняется хотя бы одно из трех неравенств:

${\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.}$

И √ 5 в знаменателе является наилучшей возможной оценкой, поскольку подходящие дроби золотого сечения делают разницу в левой части произвольно близкой к значению в правой части. В частности, нельзя получить более жесткую границу, рассматривая последовательности из четырех или более последовательных сходящихся. ^[10]

Алгебра [ править ]

Кольцо ℤ [ √ -5 ] содержит числа вида а + б √ -5 , где и Ь являются целыми числами и √ -5 представляет собой мнимое число я √ 5 . Это кольцо является часто цитируемым примером целостной области, которая не является уникальной областью факторизации . ^{[ необходима цитата ]} Число 6 имеет две неэквивалентные факторизации внутри этого кольца:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,}$

Поле ℚ [ √ -5 ] , как и любой другой квадратичного поля , является абелево расширение рациональных чисел. Таким образом, теорема Кронекера – Вебера гарантирует, что квадратный корень из пяти может быть записан как рациональная линейная комбинация корней из единицы :

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{{\frac {2\pi }{5}}i}-e^{{\frac {4\pi }{5}}i}-e^{{\frac {6\pi }{5}}i}+e^{{\frac {8\pi }{5}}i}.\,}$

Личности Рамануджана [ править ]

Квадратный корень из 5 появляется в различных тождествах, открытых Шринивасой Рамануджаном, с участием непрерывных дробей . ^{[11] [12]}

Например, это случай непрерывной дроби Роджерса – Рамануджана :

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{\frac {2\pi }{5}}=e^{\frac {2\pi }{5}}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+{\sqrt[{5}]{5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1}}}-\varphi \right)e^{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}.}$

${\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

См. Также [ править ]

• Золотое сечение
• Квадратный корень
• Корень квадратный из 2
• Корень квадратный из 3

Ссылки [ править ]